同余定理在小學數學競賽中的應用

肖麗

【摘要】本研究基于高觀點視角，例析同余定理在小學數學競賽中的應用，探討運用其解決小學奧數問題的優越性。

【關鍵詞】小學數學競賽 同余定理 應用

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）40-0114-02

同余定理是初等數論中的重要內容，其不僅為公開密鑰體質的建立做了重要的理論基礎，同時在生活中也具有廣泛應用。因此同余定理在各級各類數學競賽中備受青睞，特別是在小學數學競賽中，運用同余定理能優化解題思路，使問題解決思路簡單化。

一、同余定理概述

1.同余定理。同余的定義：給定一個正整數m，把它叫作模。如果用m去除任意兩個整數a和b所得的余數相同，我們就說a，b對模m同余，記作a≡b（modm）。如果余數不同，我們就說a，b對模m不同余，記作a？堍b（modm）。

2.同余的有關性質。根據同余的定理，可獲得如下性質：

性質1：若a≡b（modm），c≡d（modm）；則a±c≡b±d（modm）。

性質2：若a≡b（modm），c≡d（modm）；則a×c≡b×d（modm）。特殊情況，當a=c，b=d時，a2≡b2（modm），由此可以延伸到an≡bn（modm）。

性質3：a≡b（modm），則an≡bn（modm）。一般的，若ax≡b（modm），ay≡c（modm），則有ax+y≡bc（modm）。

性質4：若a1≡b1（modm），a2≡b2（modm），….，an≡bn（modm），則a1+a2+…an≡b1+b2+…bn（modm）。（性質7可以看成是性質2的一個延展。）

在同余中還有一個非常重要的定理——費爾馬小定理。費爾馬小定理：如果p是素數，a是自然數，且（a，p）=1，則ap-1≡1（modp）。考生們在記憶這些性質時，可以用螺旋上升的方式來記憶。接下來我們就利用這些性質來解決相關的競賽題目，從定義出發，充分利用性質，由此來鞏固對同余的記憶。

二、例析同余定理在小學數學競賽中的運用

例1：512×321+891×53-611×29除以13的余數是多少？

解析：該例題是性質4和性質5的混合運用。

解：已知512≡5（mod13），321≡9（mod13），891≡7（mod13），

53≡1（mod13），611≡0（mod13），29≡3（mod13）

所以原式≡5×9+7×1-0×3≡45+7-0≡52（mod13）≡0（mod13）

即512×321+891×53-611×29除以13的余數是0。

這一類的題目，如果直接計算，除了計算量大以外，還容易由計算錯誤。如果直接運用同余的定理就要簡單許多。考生需要注意的是對公式的運用，分清楚a，b和模m。在解題過程中還需要注意的是，余數相乘后所得到的數如果比m大，那就還需要再做一次同余，并且需要注意能整的特殊情況。

例2：自然數26520、24903、24177除以m的余數相同，則m的最大值是多少？

解析：該題主要涉及到了性質4以及最大公約數的相關性質。

解：因為26520≡24903≡24177（modm）所以m|24903-24177=726=2×3×112

m|26520-24903=1617=3×72×11m|26520-24177=2343=3×11×71

顯然m應該是這三個數的公約數，所以m的最大值為3×11=33。

該類題目在解題時是不能直接計算的，它的解題過程充分利用了同余的性質，既簡便了計算過程，也強化了性質的延伸理解。

例3：今天是星期二，再過200200天是星期幾？

解析：該例題運用的是費馬小定理，如果經過的天數比較小的話可以直接運用同余的性質直接計算。

解：因為7是質數。且6=7-1，所以由費馬小定理知：

200200≡2006×33+2≡（2006）33×2002≡133×2002（mod7）

又因為2002≡2（mod7）所以200200≡133×2≡2（mod7）

因為今天是星期二，所以再過200200天是星期四。

這一類題目還有其他的表達方式，如“200200除以7的余數是多少？”。在解題過程需要理解題意，注意明確周期數，最后利用同余的性質求出余數。

例4：求5555+6666+8888-9999的個位數字。

分析：該例題除了同余的計算外，最主要的是自然數an的個位數字的變化規律。

a4k+1≡a（mod10）、a4k+2≡a2（mod10）、a4k+3≡a3（mod10）、a4k≡a4（mod10）

解：因為5555≡553≡53≡5（mod10），6666≡662≡62≡6（mod10），

8888≡884≡84≡6（mod10），9999≡993≡93≡9（mod10），

所以，原式≡5+6+6-9≡8（mod10）即5555+6666+8888-9999的個位數字為8。

本例是利用同余求自然數的個位數字。求自然數的各位數字就是求該自然數除以10的余數，即求自然數模10和哪個一位數同余就行了。需要強調的是所模的數永遠是10。這一個題綜合同余的性質以及自然數的個位數的性質，比較全面，所以對于考生而言有一定的難度。

三、總結

在本文中通過對同余的定義和性質的介紹，以及對幾類例題的求解，能讓考生對同余有了進一步的總結和認識。但同余的題目千變萬化，考生只有掌握了同余的本質，才能有效的解決各類題目。在學習的過程中，由于題目的趣味性，能激發學生探究數學的興趣，不再是只為解決題目而學習，而是因興趣而學習。

參考文獻：

[1]閔嗣鶴.初等數論[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]張亞芳.同余定理在數學競賽中的應用[J].數學學習與研究，2008（2）.

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