高中數學排列組合解題方法探究

閆子琪

【摘要】在高中數學學習當中，排列組合因為其具有簡單的表達方式，同時具有較強的靈活性，因此在高中數學當中是非常重要的學習知識點。就近年來的高考試題來看，不管是從選擇題上，還是填空題上，或是解答題上，排列組合都占有了較高的分值。所以，對于我們學習來說，一定要重視排列組合方面內容的掌握。

【關鍵詞】高中數學；排列組合；解題技巧；原則

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2017）12-0268-02

排列組合問題聯系實際生動有趣，但題型多樣，思路靈活，是學生學習的一個難點問題。解決排列組合問題，首先要認真審題，弄清楚是排列問題、組合問題還是排列與組合綜合問題；其次要抓住問題的本質特征，采用合理恰當的方法來處理。因此，在平時的數學學習中，教師應教給學生排列組合的解題方法，使我們領會到排列組合解題的趣味性，提高學習興趣，并在不知不覺中掌握解題技巧。

一、遵循的原則

1.認真、仔細、不遺漏的原則

因為排列和組合問題具有大的相似性，所以不少同學在進行解題時很容易將兩者弄混，同時因為要解決這兩種問題，所需要的思路是顯然不同的，所以一旦錯誤就會造成明顯的錯誤后果。因此，在審題時一定要認真、仔細、不遺漏，要對題目究竟是組合問題，還是排列問題多花些時間來進行判斷。只有先把題目審清楚，才可以通過正確的解題思路來進行解題。比如，當遇到不同元素的性質時需要對其進行分類，當遇到事件問題需要對其進行分步，只有把這兩樣標準進行統一起來，才可能不出現遺漏和重復的問題。

2.整體、全面進行分析的原則

從排列組合問題來看，其中通常會有很多的限制條件，同時還會有先后順序問題，這些都使得問題解決的難度加大，因此在對這些問題進行分析時，必須遵循一定的思維邏輯，沒有邏輯的進行思考只能讓頭緒越來越亂。此外，在不影響題目意思的情況下，還應該具有將問題進行分解的能力，把復雜的問題進行分解，使其可以簡化，這樣有助于我們更加容易的找出解題的關鍵。

二、常用的基本方法

1.間接法

即部分符合條件排除法，采用正難則反，等價轉換的策略。為求完成某件事的方法種數，如果我們分步考慮時，會出現某一步的方法種數不確定或計數有重復，就要考慮用分類法，分類法是解決復雜問題的有效手段，而當正面分類情況種數較多時，則就考慮用間接法計數。

例1：從6名男生，5名女生中任選4人參加競賽，要求男女至少各1名，有多少種不同的選法？

A.240 B.310 C.720 D.1080 正確答案：B

解析：此題從正面考慮的話情況比較多，如果采用間接法，男女至少各一人的反面就是分別只選男生或者女生，這樣就可以變化成C（11，4）-C（6，4）-C（5，4）=310。

2.特殊優先法

特殊元素，優先處理；特殊位置，優先考慮。位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法，若以元素分析為主，需先安排特殊元素，再處理其它元素。若以位置分析為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其它位置。若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其它條件。

例2：從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導游、導購、保潔四項不同的工作，若其中甲、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作，則不同的選派方案共有（ ）。

A.280種 B.96種 C.180種 D.240種 正確答案：D

解析：由于甲、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作，所以翻譯工作就是“特殊”位置，因此翻譯工作從剩下的四名志愿者中任選一人有C（4，1）=4種不同的選法，再從其余的5人中任選3人從事導游、導購、保潔三項不同的工作有A（5，3）=10種不同的選法，所以不同的選派方案共有 C（4，1）×A（5，3）=240種，所以選D。

3.捆綁法

所謂捆綁法，指在解決對于某幾個元素要求相鄰的問題時，先整體考慮，將相鄰元素視作一個整體參與排序，然后再單獨考慮這個整體內部各元素間的順序。注意：要求某幾個元素必須排在一起的問題，可以用捆綁法來解決問題。即將需要相鄰的元素合并為一個元素，再與其它元素一起作排列，同時要注意合并元素內部也必須排列。

例3：5個男生和3個女生排成一排，3個女生必須排在一起，有多少種不同排法？

A.240 B.320 C.450 D.480 正確答案：B

解析：采用捆綁法，把3個女生視為一個元素，與5個男生進行排列，共有 A（6，6）=6×5×4×3×2種，然后3個女生內部再進行排列，有A（3，3）=6種，兩次是分步完成的，應采用乘法，所以排法共有：A（6，6）×A（3，3）=320（種）。

4.插空法

所謂插空法，指在解決對于某幾個元素要求不相鄰的問題時，先將其他元素排好，再將指定的不相鄰的元素插入已排好元素的間隙或兩端位置。注意：a.首要特點是不鄰，其次是插空法，一般應用在排序問題中；b.將要求不相鄰元素插入排好元素時，要注釋是否能夠插入兩端位置；c.對于捆綁法和插空法的區別，可簡單記為“相鄰問題捆綁法，不鄰問題插空法”。

例4：若有甲、乙、丙、丁、戊五個人排隊，要求甲和乙兩個人必須不站在一起，且甲和乙不能站在兩端，則有多少種排隊方法？

A.9 B.15 C.12 D.20 正確答案：C

解析：先排好丙、丁、戊三個人，然后將甲、乙插到丙、丁、戊所形成的兩個空中，因為甲、乙不站兩端，所以只有兩個空可選，方法總數為A（3，3）×A（2，2）=12種。

5.插板法

所謂插板法，指在解決若干相同元素分組，要求每組至少一個元素時，采用將比所需分組數目少的板插入元素之間形成分組的解題策略。需要注意的是其首要特點是元素相同，其次是每組至少含有一個元素，一般用于組合問題中。

例5：將8個完全相同的球放到3個不同的盒子中，要求每個盒子至少放一個球，一共有多少種方法？

A.28 B.24 C.32 D.48 正確答案：A

解析：解決這道問題只需要將8個球分成三組，然后依次將每一組分別放到一個盒子中即可。因此問題只需要把8個球分成三組即可，于是可以將8個球排成一排，然后用兩個板插到8個球所形成的空里，即可順利的把8個球分成三組。其中第一個板前面的球放到第一個盒子中，第一個板和第二個板之間的球放到第二個盒子中，第二個板后面的球放到第三個盒子中去。因為每個盒子至少放一個球，因此兩個板不能放在同一個空里且板不能放在兩端，于是其放板的方法數是C（8，2）=28種。

三、結束語

在解決解答排列、組合問題時，一定要遵循相應的原則，根據題型的不同，來相應的采取不同的方法和技巧，這樣就可以在解題時十分的簡單，易懂，最為重要的是可以有效的準確解題，提高解題的效率。

參考文獻

[1]江賽玭.淺談排列組合應用題的解題技巧[J].讀與寫（教育教學刊），2014（4）.

[2]祁仲秋.高中數學排列組合的教學策略研究[J].語數外學習（高中數學教），2014（10）.endprint