例談導數在高考中的應用

余煒煒

摘要：導數，它是一種工具，一種研究函數的工具，已經成為了高中數學中必不可少的一部分，也是高考中的一個考試熱點，它在求函數的切線方程、單調性、最（極）值、證明不等式以及生活中的優化問題等都有著非常重要的應用。希望能夠通過導數在數學題中的應用，來拓展學生在解題中的思路。

關鍵詞：導數；函數；高考；應用

高中數學在這幾年新課改下增加了一些內容，導數就是其中一個。作為高等數學中的內容，導數其實是微積分的初步知識，因此，中學引入導數這個知識點，也為以后進入大學繼續深造打下良好的基礎。另外，我們都知道不管是初等數學還是高等數學，函數都是抽象的，很多學生學不好數學的一個重要原因就是由于函數，但是函數又是高中數學的主線之一，在高考中的比例比較重，所以我們有必要把函數學好。自從導數加入到高中數學后，它就成為了研究函數的一種載體，給中學生提供了一種更好用、更方便的方法，提供了一種重要的思想，這也在很大程度上激發了他們學習數學的興趣和積極性。導數在高考中經常出現在一道大題和一道小題上，而大題又經常以壓軸題的形式出現，可以說是難題。本文就通過一些高考出現的考題，來談一談導數在高考中的應用

一、 利用導數解決切線問題

近幾年，導數的幾何意義在高考中是考查的熱點，它經常與解析幾何交匯命題，考查學生解決綜合問題的能力，大部分是以小題的形式出現，偶爾的時候也會出現在大題的第一問上。而導數的幾何意義主要是用來解決有關切線的斜率問題，這是由于導數的幾何意義是：函數y=f（x）在點 M（x0，y0）處的導數f′（x0）就是過點M的切線的斜率。

二、 利用導數解決函數的性質問題

中學數學經常要研究函數的性質，諸如定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性、對稱性、有界性等等，而圖像是研究這些性質最好用的一種方法。因此，如果我們能夠作出相關函數的圖像，那這些問題就比較容易解決了。但是這里的關鍵地方就在于，我們要準確地畫出函數的圖像才行。如果研究的函數是基本初等函數，像y=2x等，那么我們可以通過描點法畫出函數的圖像，但是如果涉及的函數是比較復雜的非基本初等函數呢？比如y=ax+lnx，y=x3+2x2-3x+1等等，再畫圖形就有點心有余而力不足了。而引入導數這個知識點后，我們發現解決這類型的函數題目就不會感到那么困難了。我們只需要利用求導數判斷出函數的單調區間，極值點、最值點，有的時候再結合一些特殊情況就可以作出大致的圖像，從而進一步研究性質。下面我們一起來看一道2014年安徽省高考的題目。

三、 利用導數解決不等式問題

從最近幾年高考來看，有關不等式證明的題目，綜合性都很強，重難點也不太好把握，往往越短的一道題目，我們由于不知道從何入手，反而越不容易解答。傳統的證明不等式有很多方法：比較法、綜合法、分析法、數學歸納法、放縮法等等，而新課改后，導數成為了證明不等式的一種很實用的方法，這并不是說傳統的方法不能用了，而是由于有的不等式題目用初等數學方法是很難證明的，但是如果我們能夠以導數為工具，根據所要證明的不等式的特點，構造恰當的函數，把不等式的證明問題轉化為函數的最值問題，再利用單調性或者其他的知識來解決，就會發現問題已經簡單化了。

四、 利用導數解決實際問題

利用導數，我們不僅僅能夠解決求解切線方程、研究函數性質、證明不等式等問題，還能夠解決一些實際應用題，比如生活中的優化問題——利潤最大、費用最省、效率最高等等。在2011年的高考中，就出現過好幾個省的應用題考查導數的知識。

【例4】（2011·山東）某企業擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：米）其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設計要求容器的容積為803π立方米，且 l≥2r。假設該容器的建造費用僅與其表面積有關。已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千米，半球形部分每平方米建造費用為c（c>3）千米。設該容器的建造費用為y千米

（1）寫出y關于x的函數表達式，并求該函數的定義域。

（2）求該容器的建造費用最小時的r。

五、 結束語

隨著時代的發展，導數在高中數學中的地位不斷提升，它還與越來越多的其他知識相交匯，比如數列，立體幾何、三角函數等等，幾乎貫穿于高中數學的六大模塊。導數不僅僅是高中數學的重要知識，它還蘊含著豐富的數學思想，為我們解決數學問題帶來了很大的方便，也很好地幫助我們學好中學數學。因此，中學數學引入導數是很有必要且有意義的。

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