《復變函數論》的幾點教學體會

劉樂+賈耿華

摘要：復變函數是數學專業的一門專業課，具有高度的抽象性，學生學習起來難度較大。筆者采用多種教學手段相結合，結合自己的教學實踐，總結了幾點教學體會，在實踐中取得了良好的教學效果。

關鍵詞：復變函數；教學改革；啟發式教學法

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）51-0164-02

復變函數課程是數學與應用數學專業的一門基礎專業課，是數學分析課程的后續課程，已經滲入到代數學、微分方程、概率統計等多個數學分支[1-2]。該課程具有高度的抽象性，學生普遍反映學習難度較大。如何降低復變函數的學習難度、提高課堂的教學效果以及學生的學習興趣是我們教師迫切需要解決的問題。

一、復變函數的教學現狀

學生方面：一方面，復變函數是以復數域為基礎理論的一門學科，自變量與因變量都取自復數，高中新課改后，復數域這一部分理論被精簡了很多，但是大學的教學內容并沒有做出相應的調整。因此，學生們從高中到大學的知識銜接出現很大的問題，增加了學習復變函數的難度。另一方面，復變函數研究的數學理論從實數域擴展到復數域，該課程與數學分析在很多地方具有相似之處，因此數學分析的學習效果對復變函數的學習效果有很大影響。教師、教法方面：復變函數這門課程理論多，內容又抽象，在課堂上教師過于注重理論的講授，不注重激發學生的學習興趣，不注重提高學生分析解決問題的能力。

二、教學體會

在教學過程中，如何提高學生的學習興趣，降低學習難度，取得良好的教學效果呢？我認為可以從以下幾個方面來考慮：

1.適當補授中學刪除而復變函數中需要用到的內容。復變函數中要講到幅角，而因為幅角的多值性，需要用到反三角函數，而反三角函數在中學并沒有涉及，鑒于現在學生復數域理論知識的嚴重匱乏，在授課的第一周給學生補充與復變函數課程有關的一些基本理論。學生有了牢固的基礎知識，才有興趣去學習后面復雜的理論。

2.板書教學方式與多媒體教學方式相結合。傳統的教學方式是教師以講授課本內容為主，在教學中需要大量推導演算等，這樣就把相當一部分時間浪費在了板書上，所以授課需要板書與多媒體相結合。一方面，在講授新課之前，教師利用多媒體來復習上節課的內容，并復習數學分析中與本節課相關的內容，一來使學生加深對學過的知識的理解，二來教師可節省出一部分時間去更詳細地講授新知識。另一方面，多媒體教學能夠降低復變函數的抽象性，增加教學內容的直觀性，從而提高學生的學習積極性。例如，復對數函數w=Lnz=ln|z|+i（argz+2kπ）（k=0，±1，±2，…）是無窮多值函數，在復平面上，從原點起沿負實軸割破復平面就可以得到w=Lnz的無窮多個單值解析分支w■=（Lnz）■=ln|z|+i（argz+2kπ）（k=0，±1，±2，…）。這部分內容太抽象，學生很難理解。如果利用Matlab畫出對數函數的圖像，可以讓學生更清楚地看到對數函數的多值性，自變量取同一個值，得到的因變量的值有無窮多個，他們的實部相同，虛部相差kπ，k∈R，并且學生還可以了解若不割破復平面，復對數函數就無法分解出無窮多個單值解析分支。

3.采用比較式教學法。復變函數是研究復數域上函數的一門學科，而數學分析是研究實數域上函數的一門學科，二者既有相同點，又有不同點，所以教師在授課時，應該有意識地引導學生比較這兩門課程的異同。比如，在一致收斂條件下，無論復函數項級數還是實函數項級數都是逐項可積的，而且和函數還保留了原有函數項的連續性。盡管復函數項級數在一致收斂條件下是逐項可微的，但實函數項級數在一致收斂條件下則不一定是逐項可微的。從而說明區域上的解析與區間上的可導是有本質區別的，復變函數中解析概念要比可導概念強得多。

4.采用啟發式教學法。以唯一性定理為例，在前一節課推導了函數f（z）=e■在z=0點的泰勒展式e■=1+z+■+…+■+…，展式成立的范圍是z<∞.而數學分析中函數f（x）=e■的泰勒展式e■=1+x+■+…+■+…，展式成立的范圍是x<∞，兩個展式形式上一模一樣，這樣學生的頭腦中就會產生一個疑問，這是為什么呢？教師此時指出本節課要學習的解析函數的唯一性定理剛好解答了同學們心中的疑問。

5.讓學生成為教學的參與者。目前課堂上實行“滿堂灌，填鴨式”的教學方法，學生只能坐在下面被動地聽課，沒有真正參與到教學中來。筆者在實際教學中盡量回避這一點，充分考慮到了“做”的重要性。譬如，復變函數冪級數理論與實的冪級數理論中的阿貝爾引理以及收斂半徑的求法是相似的，在講授這部分內容時，筆者可以讓學生提前復習一下實冪級數中的阿貝爾引理以及求收斂半徑的方法，組織學生自主教學，分組討論，讓學生真正參與到教學中來，分享學習成功帶來的喜悅。

6.引導學生要善于歸納總結。復變函數有一章節的內容是復積分，復積分的計算方法有：參數方程法、牛頓-萊布尼茨公式、柯西積分公式、解析函數的無窮可微性定理等等。在剛開始學習復積分時，學生會覺得復積分的計算很復雜。講授完留數定理這一部分內容后，教師和學生可以一起歸納總結應該怎樣去計算復積分：首先看積分路徑是否封閉，若積分路徑不封閉，可以考慮利用參數方程法、牛頓-萊布尼茨公式來計算復積分；若積分路徑封閉，可以根據留數定理去計算復積分，因為柯西積分公式、解析函數的無窮可微性定理是留數定理的特殊情況。下面舉例說明如何利用留數定理簡單計算閉路的復積分。

例[1] 計算積分■■dz，其中C：|z|=2.

解：方法一：因為f（z）=■在C內有兩個奇點z■=-1，z■=1，不能直接用柯西積分公式，因此需要在C內做兩個互不包含的兩個正向圓周C■，C■，使得C■內只包含奇點z■=-1，C■內只包含奇點z■=1。因此，有

■■dz=■■dz+■■dz=■■dz+■■dz

=2πi■■+2πi■■=■πi+■πi=■πi.

方法二（利用留數定理）：因為f（z）=■在C內有兩個奇點z=-1，z=1，因此只需求出f（z）在z=-1與z=1處的留數。由z=-1為f（z）的一階極點可得

■f（z）=■■=■

同理，由z=1為f（z）的一階極點可得

■f（z）=■■=■

由留數定理可得■■dz=2πi（■f（z）+■f（z））=■πi.

顯然，第二種方法省略了做兩個互不包含的兩個正向圓周C■，C■，使得C■內只包含奇點z■=-1，C■內只包含奇點z■=1，這一步驟，就顯得簡單了。

三、結束語

以上就是我講授復變函數課程的幾點教學體會，并結合案例進行了具體分析。采用多種教學方法相結合，不僅提高了學生分析問題、解決問題的能力，也培養了學生自主思考問題的能力，同時也使得學生深刻認識到復變函數理論與數學分析理論的異同，降低了學習該門課程的難度，充分調動了學生的學習主動性，取得了良好的教學效果。

參考文獻：

2.Department of Mathematics and Physics，Luoyang Institute of Science and Technology，Luoyang，Henan 471023，China）

Abstract：The complex function is a professional course of mathematics， students with high abstract， more difficult to learn. The author combination of various teaching methods， combined with their own teaching practice， summarizes some experience of teaching， good teaching effect is achieved in practice.

Key words：complex function；teaching reform；heuristic teaching method