在方格中如何求相似的格點三角形

耿冀平

原題：已知△ABC中，AC=2AB=4，BC=6

（1）如圖1，點M為AC的中點，在線段AB上取點N，使△AMN與△ABC相似，求線段MN的長

（2）在給定的方格紙中，作出和△ABC相似且面積最大的格點三角形，請你畫出其中的一個，并求出它的面積（注：格點三角形是指以小正方形的頂點為頂點的三角形）

分析：（1）注意找到兩種對應相似，也就是我們通常所說的“正A”和“反A”型的相似。

（2）這問是個操作且設計性題，在中考中時常會出現(xiàn)。很多學生一時無從下手，這個三角形怎么去確定呢，既要相似，又要面積最大。方格中畫格點三角形要通過計算和設計得出的，這就考查了學生的綜合能力。

探究1：給定三條線段都能構(gòu)成格點三角形嗎？

如右圖，把題目中的△ABC放到方格中，根據(jù)題目AC=2==AB=4==，BC=6=，有一個等式6+2=8，4+0=4再結(jié)合圖形來分析AD=4，BD=8，BC=6，CD=2，CD+BC=BD，AB=，恰好構(gòu)成如上圖的格點三角形，證明了數(shù)與形的統(tǒng)一性。那么到底什么樣的三條邊能構(gòu)成格點三角形呢？

設AB=，BC=，AC=，當a+b=c且x+y=z時，三邊恰好能構(gòu)成格點三角形（a，b，c，x，y，z均為非負整數(shù)，且沒有順序要求）

如右圖，我們假設AF=a，BF=x，AB=，BE=b，CE=y，BC=，根據(jù)圖形得：AD=a+b，CD=x+y，由于a+b=c，x+y=z，則AC=正好構(gòu)成△ABC。

探究2：如何來確定相似且面積最大的格點三角形。

由相似，我們知道長邊對長邊，短邊對短邊，我們先來找最長邊。在10×10的方格中，最長的邊是它的對角線等于10，把它看成4的對應邊，根據(jù)相似比==，可得另兩邊為5和3。10=，5==，3==，7+3=10，9+1=10，正好能構(gòu)成格點三角形，相似且面積最大的三角形如右圖。

探究3：如何來確定相似且面積最小的格點三角形。

找最小的三角形，我們先來找最短邊。在10×10的方格中，最短邊為1，我們把它看成2的對應邊，根據(jù)相似比==，得另兩邊為2和，同理我們檢驗當最短邊取、、2、時都構(gòu)不成格點三角形；……