基于多想少算的數學解題策略*

☉四川師范大學數學與軟件科學學院 李雪梅

☉內 江 師 范 學 院 趙思林

基于多想少算的數學解題策略*

☉四川師范大學數學與軟件科學學院 李雪梅

☉內 江 師 范 學 院 趙思林

《數學考試大綱》要求學生的運算能力會根據法則、公式進行正確運算、變形和數據處理，能根據問題的條件，尋找與設計合理的、簡捷的運算途徑，這就要求我們在平時的解題訓練中要努力選取合理的方法，尋找簡捷的途徑，減少運算量，提高運算速度，從而達到多想少算的效果.數學作為思維的科學，更應“多動腦”，即“多想少算”.［1］這里，“多想”是多做有價值的多向、多面、多次之想，“少算”是少做盲目、繁雜、低效之算.高考數學命題將“多考點想，少考點算”作為一條基本的命題理念，在近年的高考試題中得到了充分的體現.多想少算作為解高考數學題的基本策略，其具體的思維策略有很多，比如：代換策略、類比策略、運用定義策略、數學思想策略、分離參數策略、聯想策略、逆向思維策略、猜想策略、極限策略、基本量策略等.

一、代換策略

在求解數學問題的過程中，把其中某個代數式看成一個整體，用一個新變量作代換，從而使問題的解答便于進行，這種方法叫做代換法.代換法既是一種重要的解題方法，也蘊含有豐富的解題技巧，其應用目的是把復雜的結構形式轉化為簡單的結構形式，把隱含的條件顯露處理，把分散的條件聯系起來，使問題化難為易，化繁為簡，化陌生為熟悉.在實際應用時，應根據所給問題的特點，靈活選取適當的代換方法，從而提高解題能力.

例1（2017年高考全國卷Ⅱ理23題）已知a＞0，b＞0，a2+b2=2，證明：

（1）（a+b）（a3+b3）≥4；

（2）a+b≤2.

證明：（1）因為a＞0，b＞0，a2+b2=2，所以（a+b）（a3+b3）=（a+b）2（a2+b2-ab）=（a2+b2+2ab）（a2+b2-ab）=（2+2ab）（2-ab）=-2（ab）2+2ab+4.

所以，當ab=1時，（a+b）（a3+b3）取到最小值4，即（a+b）（a3+b3）≥4.

點評：本題是一道證明不等式的問題，在求解過程中運用了等量代換法，從而簡化了問題的求解過程.高考中數學題目類型繁多，解題方法靈活多變，其中代換法不但能開拓靈活巧妙的解題思路，而且有化難為易、化繁為簡的作用.其中代換法在不等式證明、三角證明、求極限等題目中都有體現，因此教師在教學中應注意加強代換法的滲透教學.

二、類比策略

類比是根據兩個不同的對象之間某些屬性類似，從一類對象的某種屬性猜想到另一類對象也具有這種屬性的一種推理方法.類比思維方法是數學創造性思維中很重要的一種思維方法，當我們的思維遇到障礙時，運用類比推理，往往能實現知識的遷移，將已學過的知識或已掌握的解題方法遷移過來，使得“柳暗花明又一村”.正如康德提到：“每當理智缺乏可靠論證的思路時，類比這個方法往往能指引我們前進.”

例2已知x，y，z均為實數，且xy≠-1，yz≠-1，zx≠

證明：設A=α-β，B=β-γ，C=γ-α，于是x=tanα，y=tanβ，z=tanγ.

所以tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC成立.

點評：本題觀察結論中需要我們求證的等式，可以發現等式的結構特征與tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC（A+B+C=k，k∈Z）相類似，所以可以類比到這個三角恒等式上，用三角函數換元法求解.本題通過觀察發現所證不等式與三角恒等式結構之間的類似，進而進行類比求解.因此，其解法較新穎、靈活，考查了學生的數學思維能力及對知識的理解深度，是一道值得研究的題目.

三、運用定義策略

中國科學院李邦河院士認為：“數學根本上是玩概念的，不是玩技巧.”［2］利用概念的定義解題，可以深化理解概念，縮短解題過程，優化思維品質，開發學習潛能.

圖1

例3（2016年江蘇卷10題）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，F是橢圓的右焦點，直線與橢圓交于B，C兩點，且∠BFC=90°，則該橢圓的離心率是________.

解析：由題意得F（c，0），直線與橢圓方程聯立可得，由∠BFC=90°可得則

由b2=a2-c2可得，則

點評：本題考查橢圓的標準方程、離心率及直線與橢圓相交問題等知識點.在求解過程中將直線方程與橢圓方程聯立求得B，C兩點的坐標，再利用向量法求解，從而求得橢圓的離心率.本題的關鍵在于要熟知橢圓的定義及其離心率的定義，只有掌握了定義才能夠解答題目.

例4（2017年北京卷理、文5題）已知函數則（fx）（ ）.

A.是奇函數，且在R上是增函數

B.是偶函數，且在R上是增函數

C.是奇函數，且在R上是減函數

D.是偶函數，且在R上是減函數

解析，所以函數是奇函數，并且3x是增函數是減函數，根據增函數-減函數=增函數，所以函數（fx）是增函數.選A.

點評：本題考查了奇函數、偶函數的定義，以及如何判斷一個函數是增函數還是減函數.既考查了函數奇偶性，又考查了函數的單調性，題目雖然不是很難，但是考查的知識點還是比較全面具體的，因此本題具有一定的研究價值.

四、數學思想策略

思想是數學的靈魂，是對數學知識、方法、規律的一種本質認識.所謂數學思想是指從具體的數學內容中提煉出來的對數學知識的本質認識，它在數學認識活動中被普遍使用，是建立數學理論和解決數學問題的指導思想.

解析：由y=loga（x+1）+1在［0，+∞）上遞減，則0＜a＜1.又由f（x）在R上單調遞減，則02+（4a-3）·0+3a≥（f0）=1，

圖2

由圖像（圖2）可知，在［0，+∞）上|（fx）|=2-x有且僅有一個解，故在（-∞，0）上|（fx）|=2-x同樣有且僅有一個解.

（4a-2）2-4（3a-2）=0，解得或1（舍）.選C.

點評：此題以選擇題的形式出現顯然大大降低了難度，學生可以根據選項運用排除法進行解答，若此題以解答題的學生出現，我們就可以采用分類討論，運用數形結合思想使問題化難為易，變抽象為具體，從而達到事半功倍的效果.

當1≤3a≤2時，由圖像（圖2）可知，符合條件.

綜上

五、分離參數策略

分離參數作為高中數學中的一種常用的方法，有極為重要、廣泛的應用.不少數學問題中對參數進行分類討論往往比較煩瑣，因此常用分離參數的方法解決問題，從而提高數學教學的有效性和學生分析問題、解決問題的能力.

例6若關于x的不等式ax2-|x+1|+2a＜0的解集為?，求實數a的取值范圍.

解析：現將條件轉換成“對任意的x∈R，均有ax2-|x+1|+2a≥0”，再將參數a分離出來，轉化成函數問題.

①當t=0時，g（0）=0；

點評：本題要求根據含參數不等式及其解集，求參數a的取值范圍，解決此類問題的較常用且較簡單快捷的方法是分離參數.這種方法可以避免分類討論的麻煩，從而使問題得以順利解決.分離參數法在解決有關不等式恒成立、不等式有解、函數有零點、函數單調性中參數的取值范圍問題時經常用到.解題的關鍵是分離出參數之后將原問題轉化為求函數的最值或值域問題.

六、聯想策略

聯想是將研究對象的特點與個體自身的知識經驗聯系起來進行想象的思維形式，是一種自覺的、有目的的想象.聯想分析法是指運用聯想的方式分析并解決數學問題的一種方法.聯想分析法能在較短的時間內，洞察問題結論，發現解題思路，從而快速求解數學題目.

例7（2009年四川卷）已知函數（fx）是定義在實數集R上不恒為零的偶函數，且對任意實數x都有x（fx+1）=）的值是（ ）.

解析：在解決抽象函數問題時，可以聯想具體的函數并類比它的性質，從而得出結論.本題聯想到函數y=xsin2πx滿足題設的條件x（fx+1）=（1+x）（fx），可以用特殊值法，取y=xsin2πx，則

點評：本題由抽象函數聯想到具體函數，通過類比具體函數的性質，從而得出結論.在求解這類題目時，對學生的思維層次及對知識的熟練程度都有一定的要求，當學生對相關知識都比較熟練的時候聯想比較容易發生，從而“熟能生巧”，快速解決問題.

七、逆向思維策略

逆向思維又稱為反向思維，是從對立的角度考慮問題的思維方式.當正向思考有困難時，不妨轉換思考方式，進行逆向思考，常能化難為易，使問題迅速而準確地解決.善于逆向思維是思維靈活的一種表現.

例8在由數字0，1，2，3，4，5所組成的沒有重復數字的四位數中，不能被5整除的數共有_______個.

分析：不能被5整除的數要分類討論，情況較多，討論起來比較復雜，因此我們換一個角度思考，從反面入手考慮，用間接法求解.

解：顯然，不能被5整除的數末位數字不是0，也不是5.末位數字是0或者5的數可以被5整除.

點評：本題按習慣從“正面入手”求解比較復雜.因此，我們考慮問題的反面，即先求出可以被5整除的四位數，進而求出不能被5整除的四位數.從反面考慮問題，優化了解題的過程，從而快速求解，達到了事半功倍的效果.

例9（2017年浙江卷16題）從6男2女共8名學生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務隊，要求服務隊中至少有1名女生，共有______種不同的選法（.用數字作答）

解析：由題意可得，總的選擇方法為種，其中不滿足題意的選法有種，則滿足題意的選法有

點評：本題若采用正向思維解答存在一定的難度，學生可能會遺漏掉一些情況.因此采用逆向思維法求解，首先計算出總的選擇方法和不滿足題意的情況，再相減即可得到滿足題意的選法.在高考中，遇到類似問題而無法求解時，不妨嘗試利用逆向思維求解，“反其道而思之”，從問題的反面深入地進行探索，往往可以使問題簡單化.

八、猜想策略

猜想是人們依據已有知識經驗，對研究的問題和對象做出合乎一定經驗與事實的預測性判斷，它是一種極具創造性的思維活動.牛頓曾指出“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現.”因此，在解決數學問題時，可在一定前提下進行合理的、大膽的猜想，培養觀察、猜想、估計，以及直覺思維的能力和敏銳的數學眼光.

例10若對任意常數a，且a≠0，都有問：（fx）是否為周期函數？若是，求出它的一個周期.

分析：本題的實質是判斷滿足上述條件的函數是否為周期函數，進一步聯想到等式與等式的結構極為相似，分析后者可知tanx的周期為π，是常數的4倍，故猜想結構相似的函數（fx）是以4a為周期的函數，即有（f4a+x）=（fx），通過驗證可知猜想正確.

點評：這里的猜想并不是憑空想象，而是由題目條件和已有經驗，對問題從整體上把握而產生的合情猜想，它是觀察題目所給的條件，運用聯想而產生的直覺猜想.

九、極限策略

極限思想在現代數學學科中有著廣泛的應用，這是由它本身固有的思維功能決定的，極限思想揭示了變量與常量、無限與有限的對立統一關系，是唯物辯證法的對立統一規律在數學領域中的應用.因此，在求解比較困難，感到無從下手的題目時，不妨嘗試利用極限思想解答.

例11在△ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，若AC邊上的高h等于c-a，那么的值是（ ）.

解析：本題若直接用常規方法求解比較煩瑣，因此要轉換思路進行解答.這里，若令A→0°，則h→0，又因為h=c-a，從而C→0°.

點評：本題利用極限的思想求解，簡化了解答過程，化難為易，通過無限逼近的思想即可求解.極限的思想指用極限的概念分析問題和解決問題，它是數學中一種重要的思想，并且極限思想方法也是數學分析乃至全部高等數學必不可少的一種重要方法.

十、基本量策略

在數學運算過程中，常需要根據題目的已知條件，設定未知條件，并且分析已知量與未知量之間的關系，從而列出相應的等式求解.在這些已知量、未知量中，選定其中的一些量，則其余的量就可以用它們來表達.這些量，我們稱之為基本量.在解題過程中如何適當選取基本量是分析及解決數學問題的一個非常重要的環節.

例12 （2017年高考全國卷Ⅱ理17題）△ABC的內角A、B、C所對邊的長分別為a，b，c，已知

（1）求cosB；

（2）若a+c=6，△ABC的面積為2，求b.

解析：利用三角形內角和定理可知A+C=π-B，再利用誘導公式化簡sin（A+C），利用降冪公式化簡sin2B，結2合sin2B+cos2B=1，求出cosB；再利用（1）中結論B=90°，以及勾股定理和面積公式，求出a+c、ac，從而求出b.

點評：解三角形問題是高考的高頻考點，命題大多放在解答題的第一題，主要利用三角形的內角和定理，正、余弦定理，三角形面積公式等知識解題，解題時要靈活利用三角形的邊角關系進行 “邊化角”，“角化邊”，另外還要注意a+c，ac，a2+c2三者之間的關系，這類題目小而靈活，考查知識全面.此外，本題在求解過程中也滲透了基本量策略.

培養學生解決數學問題的能力，是高中數學教學的目標之一，在實際教學中，教師應主要培養學生的解題能力，并提倡“多想少算”，即要多思考，鍛煉自己的思維能力，從而跳出以往的思維定勢，進而在解題中迅速找到簡潔的解題途徑.

1.趙思林.中學數學研究性教學與案例［M］.成都：四川大學出版社，2016.

2.李邦河.數的概念的發展［J］.數學通報，2009（8）.

*項目來源：教育部“本科教學工程”四川省地方屬高校本科專業綜合改革試點項目——內江師范學院數學與應用數學“專業綜合改革試點”項目（ZG0464）；四川省“西部卓越中學數學教師協同培養計劃”項目（ZY16001），內江師范學院2016年度校級學科建設特色培育項目（T160009，T160010，T160011）.趙思林系本文通訊作者.