探究變化 突破難點 總結方法

倉春燕

[摘? 要] 教學“用方程解決行程問題”時，可以以線形示意圖為切入點，帶領學生在操作活動中經歷不同情況、不同條件下探尋正確的線形示意圖的過程，學會有條理地思考與表達.

[關鍵詞] 探究;體驗;突破;總結

基于價值判斷的教學分析

“用方程解決行程問題”的教學價值往往被解讀為找到等量關系列方程的技能，這固然是用方程解決行程問題的教學價值和學習要求，但它的價值不僅于此. 我們在找等量關系之前，還需解決如下問題：一，如何在整體層面上理解這個動態過程;二，如何通過媒介展示這個動態過程，以便快速地找出等量關系后列方程. 因此，“用方程解決行程問題”的教學價值還需繼續挖掘.

學生是在經歷了從問題到方程、解一元一次方程的基礎上學習用一元一次方程解決實際問題的. 小學時學生已學習過用算術方法解決行程問題，所以教學時可讓學生在溫故的基礎上深刻體會用方程解決問題的優勢，并逐步建立起用方程刻畫現實問題的數學模型，從而達到知新的目的. 在此過程中，我們不可避免地要借助媒介——“線形示意圖”來尋找相等關系.

基于教學分析的教學過程

1. 復習回顧，探尋策略

與學生一起回顧行程問題涉及的路程、速度和時間的關系：路程=速度×時間.

（教師板書課題：用方程解決行程問題）

（1）利用舊知，解決問題

甲、乙兩站相距360 km，一列快車由甲站開出，每小時行駛72 km;一列慢車由乙站開出，每小時行駛48 km. 若兩車同時出發，相向而行，設兩車行駛x h相遇，則可以列出方程：______.

（學生迅速根據“兩車行駛的路程之和等于甲、乙兩站之間的距離”列出方程： 72x+48x=360）

（2）引出新知，尋求方法

甲、乙兩站相距360 km，一列快車由甲站開出，每小時行駛72 km;一列慢車由乙站開出，每小時行駛48 km. 若兩車同時出發，同向而行（快車在后、慢車在前），設行駛x h后快車追上慢車，則可以列出方程：______.

（學生思考片刻，認為直接列方程不容易，于是筆者引導學生畫出線形示意圖）

2. 體驗畫圖，探究變化

（1）初步感受線形示意圖的畫法并用它來找等量關系

筆者提示學生：假如有困難，可以畫出線形示意圖，并找到兩題的相同之處和不同之處.

學生發現：第一題是兩車相向而行，最后相遇;而第二題是快車追慢車，最后追上. 兩題的相同點是兩車的最終位置是同一個點，但畫圖時要注意各自的運動方向，以及兩車出發點的位置. 經過分析，不少學生已經能夠畫出示意圖（如圖1和圖2）.

學生可以迅速地從線形示意圖上看出，第二題可根據等量關系“快車行駛的路程-慢車行駛的路程=兩地的距離”列出方程：72x-48x=360.

（2）探究不同線形示意圖所表示的不同情況

教師要引導學生發現：相遇問題，兩車行駛的方向不同;而追及問題，兩車行駛的方向相同.

（教師在黑板上板書：按方向不同分成兩類）

生1：對于兩車出發的時間，可以是同時出發，也可以是不同時出發;對于兩車的出發地點，可以從同一地方出發，也可以從不同地方出發.

師：很顯然，圖1和圖2都屬于從同一時間、不同地點出發，可將生1所說的另外兩種情形分別補充在對應的分類和各自的線形示意圖下.

師：請同學們根據上述不同情況仔細觀察線形示意圖（圖3和圖4），說出它們是哪種情形，并分別找出各自的等量關系.

（學生先獨立思考，然后小組討論，教師巡視傾聽，有目的地選擇分析清楚、表述清晰的學生來回答）

生2：圖3是方向相反的相遇問題，慢車先出發一段時間，快車才出發，屬于不同時間不同地點出發的情況. 圖4是追及問題，慢車本來就在快車前面，又先出發了一段時間，然后快車才出發去追慢車，圖4也屬于不同時間不同地點出發的情況.

（教師邊聽邊板書，有目的地將各自的情形寫在對應線形示意圖下，同時引導學生找到等量關系）

生3：圖3中，慢車先行駛的路程+慢車和快車一起行駛的路程之和=兩地之間的距離;圖4中，兩地之間的距離+慢車先行駛的路程+慢車后面行駛的路程=快車行駛的路程.

師：請同學們根據黑板上的分類想一想，是否還有不同的情況是我們沒有考慮到的.

生4：相遇問題和追及問題中還有同時同地點出發、不同時間同地點出發這兩種情況.

（根據學生的回答，結合已有的線形示意圖，板書完成所有分類，如表1）

師：請同學們嘗試著畫一畫還沒有畫出線形示意圖的情形.

（分成兩組，左半組畫相遇問題的另外兩種情形，右半組畫追及問題的另外兩種情形）

設計意圖 為了分類的完整性，學生發現同時同地點出發沒有研究的意義，并發現還有環形行程線路可以研究，可在兩組中各挑一位學生在黑板上畫出這兩種情形.

師：請同學們找出圖5～圖8四個圖的等量關系.

生5：圖5中，快車行駛的路程+慢車行駛的路程=環形一圈的長;圖6中，快車行駛的路程-慢車行駛的路程=環形一圈的長;圖7中，慢車先行駛的路程+慢車和快車一起行駛的路程之和=環形一圈的長;圖8中，慢車先行駛的路程+慢車后行駛的路程=快車行駛的路程.

至此，行程問題中一些主要變化情況的線形示意圖都畫出來了，下面就需要運用線形示意圖來解決實際問題了.

3. 突破難點，解決問題

例1 敵、我兩軍相距37 km，敵軍以6 km/h的速度逃跑，我軍同時以9 km/h的速度追擊，并在即將追上敵軍時與敵軍發生了戰斗. 已知發生戰斗時我軍距敵軍1 km，問：戰斗是在開始追擊后幾小時發生的？

設計意圖 這是一個追及問題，但與上面的情形均不同——最后沒追上，所以最終雙方的位置不一樣，不過這不影響同學們用已熟悉的線形示意圖來展現這一變化. 此題主要考查了學生靈活應用知識的能力，避免學生停留在模仿層面.

例2 運動場跑道一周的長是400 m，小紅跑步的速度是爺爺的5/3倍，他們從同一地點沿跑道的同一方向同時出發，5 min后小紅第一次追上爺爺. 小紅和爺爺跑步的速度各是多少？

變式 運動場跑道一周的長是400 m，小紅跑步的速度是爺爺的5/3倍，他們從同一地點沿跑道的同一方向同時出發，5 min后小紅第一次追上爺爺. 如果小紅追上爺爺后立即轉身沿相反方向跑，幾分鐘后小紅又一次與爺爺相遇？

設計意圖 對于環形路線問題，前面只探索了如何畫出線形示意圖，并沒有用它來解決實際問題，之所以安排這樣一個例題，目的是讓學生在實際問題中感知并嘗試用剛剛所畫的線形示意圖來解決. 變式能讓學生再次充分體會畫線形示意圖找等量關系的優勢，能完善原有的知識框架，也能充實本節課的研究內容.

4. 梳理小結，總結方法

師生共同回顧線形示意圖在不同條件下的變化情況，以及根據找到的等量關系如何列方程. 教學中教師應引導學生突破如何畫線形示意圖這一難點，讓學生感悟數形結合思想，鼓勵他們探究數學中的相關變化.

基于教學過程的教學思考

行程問題一直是教學中的難點，之所以難，是因為這類問題題型多，綜合變化多，要求學生對動態過程進行演繹和推理. 本節課在眾多的題型和變化中，僅局限于兩個物體的運動，先研究最基本的直線行程，當直線行程已無研究價值時，研究環形行程. 學生以把文字描述的行程過程還原成對應的數學圖形為突破點，探究行駛方向、出發時間、出發地點三種情況的組合變化所對應的不同的線形示意圖，教學時應強化如何畫圖，從而帶領學生找出等量關系，最后列方程解決問題.

1. 在畫圖體驗中深化對運動過程的分析與理解

本節課意在讓學生初步掌握行程問題中的一些基本題型，課本上畫線形示意圖只是明確其是過程的輔助工具，并沒有要求學生能畫出不同情形的線形示意圖. 本節課如此安排，似乎浪費了一些時間，但它是最有利于我們分析運動過程的工具，所以研究不同情形的示意圖還是非常有必要的. 如果單純地就一題而畫一圖，學生只能就題論題，換條件后可能就不會畫圖，從而難以找到等量關系列方程. 所以，本節課從簡單的情形入手，與學生一起探索如何畫圖以及畫圖的關鍵點. 且教學中通過條件的變化組合，能讓學生經歷畫出不同情形示意圖的過程，在體驗中深化對過程的理解.

2. 在不同情形的變化拓展中提升對問題的理解能力

本節課引導學生對不同情形進行分類后，筆者沒有讓學生畫圖，而是直接給出兩種情形的示意圖，讓學生找出對應的情況. 之所以這樣安排，是著眼于學生已有的能力，讓學生在探究如何畫復雜示意圖的過程中有一個梯度，起到給學生示范如何畫復雜情形示意圖的作用. 隨后讓學生自己嘗試著畫剩下情形的示意圖，學生便有圖可依，會自己嘗試著改變圖形以體現條件的變化. 這樣既能促進學生養成畫圖的習慣，也能內化數形結合的本質，提升學生的思維能力.

3. 在思維活動中通過總結達到思維內化、應用提升

本節課最終總結出的技巧并沒有直白地告訴學生，而是讓學生在活動過程中通過思維內化而得到，這更符合知識學習的本質. 現代意義的問題解決更注重解決問題的過程、策略，以及思維方法，更注重解決問題過程中情感、態度與價值觀的培養，強調過程與結果并重. 只要我們長期堅持這樣的數學知識學習過程，學生必能將學習過程中的思維過程、思維方法內化為將來走向社會解決問題的基本素養. 其實，數學作為一門基礎學科，會在培養學生的基本能力中起著潛移默化的作用.

結語

“探究—突破—總結”不僅是畫線路圖解決行程問題的過程，還是所有探究式學習活動的過程，所以這樣的教學過程及設計理念適合所有的探究活動設計與建構.

新一輪課程改革倡導自主、探索、合作的學習方式，倡導“以學生為主體”的理念，作為一線教師，急需逐步改變學生被動學習的現狀，所以教師在改變教學方法的同時，更需要換位思考，即站在學生的角度思考問題，切實可行地從學生的難點入手，關注知識的本質，激發學生的興趣，引導他們開啟思維，探究問題的前因后果，達到融會貫通、主動學習、內化思維的目的.