淺議模型思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

梁潔瓊

[摘? 要] 在課堂教學(xué)過(guò)程中，我們不僅要教會(huì)學(xué)生必備的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，更要滲透思想與方法，真正詮釋數(shù)學(xué)的價(jià)值和內(nèi)涵. 本文結(jié)合“不等式與不等式組”，談如何滲透數(shù)學(xué)模型思想，以此真正詮釋數(shù)學(xué)的魅力.

[關(guān)鍵詞] 模型;初中數(shù)學(xué);滲透;價(jià)值

模型思想是數(shù)學(xué)基本思想中的一種，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》將模型思想列為十大核心概念之一. 在初中階段，模型思想是連接數(shù)學(xué)與生活的橋梁，它能讓學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外面世界的聯(lián)系，從而更好地理解數(shù)學(xué)的內(nèi)涵與本質(zhì). 在教學(xué)中滲透模型思想，不僅有利于教學(xué)目標(biāo)的完成，而且能提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的形成與發(fā)展. 下面，筆者以“不等式與不等式組”一章中的部分教學(xué)片段為例，談?wù)勛约涸跀?shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想的看法.

源于生活，感知模型

模型的建立是一種由具體的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)槌橄蟮臄?shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，這種模型的建立對(duì)學(xué)生的抽象思維能力提出了較高的要求，而初中生的抽象概括能力處于發(fā)展的初步階段，且模型思想是學(xué)生在模型建立過(guò)程中積累起來(lái)的一種固有數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這種素養(yǎng)并不是與生俱來(lái)的，需要慢慢積累，因此，提升模型思想的感悟至關(guān)重要. “不等式與不等式組”一章的起始課是模型建立的基礎(chǔ)，在章節(jié)的起始課，我們要盡量提供與學(xué)生生活相關(guān)的素材，讓平時(shí)給人以嚴(yán)肅面孔的數(shù)學(xué)變得生動(dòng)形象，讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活.

例如，在起始課引入不等式時(shí)便可以由以下實(shí)例展開教學(xué).

觀察下面三個(gè)例子：①俗語(yǔ)“瘦死的駱駝比馬大”;②爸爸的收入不比媽媽低;③公路上的限速標(biāo)志上寫著“100 km/h”.

師：上述例子反映了怎樣的一種關(guān)系？你能自己再列舉出一些具有類似關(guān)系的例子嗎？

通過(guò)觀察，學(xué)生很容易回答出第一個(gè)問(wèn)題的答案，即上述例子反映出的是不等關(guān)系，教師提出第二個(gè)問(wèn)題的目的是讓學(xué)生找到生活中具有不等關(guān)系的例子，從而更深刻地體會(huì)這種不等關(guān)系在生活中的廣泛存在性，進(jìn)而對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容產(chǎn)生期待.

緊接著，可展示如下幾個(gè)較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)例子：④m與5的和小于7;⑤a的一半不大于4;⑥晚自習(xí)的鈴聲響了，原有40人的教室里僅有x人，過(guò)了10分鐘，又來(lái)了4個(gè)人，但仍然有人缺席.

師：你能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述上述6個(gè)數(shù)學(xué)例子嗎？

生：對(duì)于①，用x表示“瘦死的駱駝的體重”，用y表示“馬的體重”，則有x>y;對(duì)于②，用m表示爸爸的收入，用n表示媽媽的收入，則有m≥n;對(duì)于③，設(shè)汽車的速度為a km/h，則a≤100;對(duì)于④，m+5<7;對(duì)于⑤，1/2a≤4;對(duì)于⑥，x+4<40.

教師在此基礎(chǔ)上揭示定義：用符號(hào)“>”“<”“≥”“≤”及“≠”表示不等關(guān)系的式子叫不等式. 然后進(jìn)一步總結(jié)：不等式是描述不等關(guān)系的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，現(xiàn)實(shí)生活中的很多問(wèn)題都可以通過(guò)不等式來(lái)刻畫. 以此讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)和生活的密切聯(lián)系，感知不等式模型.

不等式起始課的作用之一就是“引導(dǎo)”，即從日常生活中的實(shí)例，上升到數(shù)學(xué)問(wèn)題，自然引出不等關(guān)系，讓學(xué)生體會(huì)不等關(guān)系與不等式，從具體到抽象，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)不等式的興趣，并從整體上初步了解本章的知識(shí)線索. 教師的這種循循善誘、由淺入深、由此及彼的啟發(fā)式教學(xué)，不僅能讓學(xué)生深刻感受到模型思想的存在，還能讓學(xué)生感悟到模型思想的價(jià)值與魅力.

回歸本質(zhì)，構(gòu)建模型

在本章的起始課，學(xué)生對(duì)不等式有了初步的認(rèn)識(shí)，也學(xué)會(huì)了用不等式來(lái)表示簡(jiǎn)單的不等關(guān)系，而初中階段最常用的不等式模型是一元一次不等式（組），因此一元一次不等式（組）是本章教學(xué)的重點(diǎn)，也是后面學(xué)會(huì)建立不等式模型解決實(shí)際問(wèn)題的基礎(chǔ). 所以本節(jié)課的重點(diǎn)是讓學(xué)生通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升模型思想在學(xué)生思維中的地位，充分啟迪學(xué)生模型思想的建立.

師：在本章的第一節(jié)課中，我們用不等式刻畫了現(xiàn)實(shí)生活和數(shù)學(xué)中的多種不等關(guān)系，現(xiàn)在我們?cè)賮?lái)回顧一下這些問(wèn)題（PPT再現(xiàn)第一節(jié)課的問(wèn)題）.

師：觀察下面這些不等式，你能將它們分類嗎？你的分類標(biāo)準(zhǔn)是什么？①x>y;②m≥n;③a≤100;④m+5<7;⑤1/2a≤4;⑥x+4<40.

意圖？搖 引導(dǎo)學(xué)生按照不等式中未知數(shù)的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類，從而得出結(jié)論：①②中含有兩個(gè)未知數(shù)，屬于一類;③④⑤⑥中只含有一個(gè)未知數(shù)，屬于另一類. 兩者對(duì)比呈現(xiàn)，能讓學(xué)生在知識(shí)結(jié)構(gòu)中初步建構(gòu)出一元一次不等式模型.

師（追問(wèn)）：你能概括出這類不等式的特征嗎？

意圖？搖 引導(dǎo)學(xué)生類比已學(xué)過(guò)的一元一次方程的定義，從未知數(shù)的個(gè)數(shù)和次數(shù)出發(fā)，概括出這類不等式的特征.

在此，教師不僅通過(guò)類比的方法引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)了新的認(rèn)知，還讓學(xué)生在問(wèn)題的啟迪下感受了模型思想的特點(diǎn)，在特點(diǎn)的自主建構(gòu)下經(jīng)歷概念的建構(gòu)、模型的建構(gòu)，而教師很好地達(dá)到了“授之以漁，與之共漁”的效果. 完成對(duì)比后，學(xué)生很快可以自發(fā)地揭示定義——只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式叫一元一次不等式，以完成一元一次不等式定義的建構(gòu).

一元一次不等式（組）模型是某些實(shí)際問(wèn)題的本質(zhì)，因此，在進(jìn)行一元一次不等式的概念教學(xué)時(shí)，依然以學(xué)生熟悉的例子為主線展開，讓學(xué)生感覺到這部分內(nèi)容是自己所熟知的，從而自己建構(gòu)一元一次不等式，為下一節(jié)課“一元一次不等式組”及解決實(shí)際問(wèn)題打下基礎(chǔ).

在模型思想的教學(xué)過(guò)程中，同學(xué)生一起感知模型、建構(gòu)模型、揭秘模型是一個(gè)學(xué)生積淀模型思想的必經(jīng)之路. 為此，教師要站在學(xué)生的思維高度，以學(xué)定教，以教促學(xué)，真正地和孩子們一起成長(zhǎng)，一起生長(zhǎng)智慧.

聯(lián)系實(shí)際，應(yīng)用模型

不等式是刻畫不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，它有著廣泛的應(yīng)用. 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最本質(zhì)的目的是解決生活中的問(wèn)題，所以利用一元一次不等式（組）解決實(shí)際問(wèn)題是本章的難點(diǎn). 筆者在教學(xué)這一內(nèi)容時(shí)，從一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題開始，進(jìn)行展開.

問(wèn)題？搖 某次知識(shí)競(jìng)賽共有20道題，每答對(duì)一題得10分，答錯(cuò)或不答都扣5分. 總分不低于90分才能進(jìn)入決賽，那至少要答對(duì)多少道題才能進(jìn)入決賽？

教師在講解這道題時(shí)應(yīng)啟發(fā)學(xué)生思考以下問(wèn)題：

（1）題中呈現(xiàn)出的是等量關(guān)系還是不等關(guān)系？（是不等關(guān)系）

（2）你能找出題中的數(shù)量關(guān)系嗎？（答對(duì)的題數(shù)×10-答錯(cuò)或不答的題數(shù)×5≥90）

（3）假設(shè)答對(duì)x道題可以進(jìn)入決賽，怎樣根據(jù)不等關(guān)系列式解答？（10x-5（20-x）≥90）

這道題的條件清晰，問(wèn)題明確，難度較低，作為第一題，可以讓學(xué)生初步了解根據(jù)題中的不等關(guān)系建立不等式模型的一般思路和步驟. 講解完這道題，可以讓學(xué)生練習(xí)一道相似的試題，以鞏固思路和方法，為后面更深層次的問(wèn)題做鋪墊.

練習(xí)？搖 學(xué)期結(jié)束了，班主任李老師讓生活委員小明去購(gòu)買三好學(xué)生獎(jiǎng)品，小明走訪了甲、乙兩個(gè)商場(chǎng)，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)商場(chǎng)均以同樣的價(jià)格出售同樣的學(xué)習(xí)用品，且兩個(gè)商場(chǎng)都有優(yōu)惠活動(dòng). 甲商場(chǎng)的優(yōu)惠方案是：累計(jì)購(gòu)物超過(guò)100元以后，超出的部分按原價(jià)的90%收費(fèi);乙商場(chǎng)的優(yōu)惠方案是：累計(jì)購(gòu)物超過(guò)50元以后，超出的部分按原價(jià)的95%收費(fèi). 假如你是小明，你應(yīng)該怎樣選擇商場(chǎng)？

本題涉及的數(shù)量關(guān)系較多，教師讓學(xué)生充分審題后啟發(fā)學(xué)生分以下三種情況進(jìn)行討論：（1）累計(jì)購(gòu)物不超過(guò)50元時(shí);（2）累計(jì)購(gòu)物超過(guò)50元，但不超過(guò)100元時(shí);（3）累計(jì)購(gòu)物超過(guò)100元時(shí).

解答? （1）當(dāng)累計(jì)購(gòu)物不超過(guò)50元時(shí)，兩商場(chǎng)均不享受優(yōu)惠，所以到兩商場(chǎng)的花費(fèi)一樣.

（2）當(dāng)累計(jì)購(gòu)物超過(guò)50元，但不超過(guò)100元時(shí)，在甲商場(chǎng)不享受優(yōu)惠，而在乙商場(chǎng)享受優(yōu)惠，所以應(yīng)選擇乙商場(chǎng).

（3）當(dāng)累計(jì)購(gòu)物超過(guò)100元時(shí)，設(shè)累計(jì)購(gòu)物x（x>100）元. ①若到甲商場(chǎng)購(gòu)物花費(fèi)少，則50+0.95（x-50）>100+0.9×（x-100），解得x>150. ②若到乙商場(chǎng)購(gòu)物花費(fèi)少，則50+0.95（x-50）<100+0.9×（x-100），解得x<150. ③若到兩個(gè)商場(chǎng)的花費(fèi)一樣，則50+0.95（x-50）=100+0.9×（x-100），解得x=150.

綜上所述，當(dāng)購(gòu)物不超過(guò)50元或剛好150元時(shí)，兩商場(chǎng)的花費(fèi)一樣;當(dāng)購(gòu)物超過(guò)50元但不超過(guò)150元時(shí)，乙商場(chǎng)的花費(fèi)少，應(yīng)選擇乙商場(chǎng);當(dāng)購(gòu)物超過(guò)150元時(shí)，甲商場(chǎng)的花費(fèi)少，應(yīng)選擇甲商場(chǎng).

選擇方案問(wèn)題是一元一次不等式與實(shí)際問(wèn)題的常見問(wèn)題，需要學(xué)生具有自主解讀條件、分析問(wèn)題和建立不等式模型的能力. 在上述例題的基礎(chǔ)上，教師和學(xué)生共同總結(jié)和建立了不等式模型解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟：審（審清題意）→找（找不等關(guān)系）→設(shè)（設(shè)未知數(shù)）→列（列不等式）→解（解不等式）→答（根據(jù)實(shí)際問(wèn)題寫出答案）. 教師還強(qiáng)調(diào)，建立不等式（組）模型是解決實(shí)際問(wèn)題的方法，而建立不等式組的依據(jù)是題目中的不等關(guān)系，讀透題目、找到題中的關(guān)鍵詞是找不等關(guān)系的突破口，因此，審題、找不等關(guān)系、列不等式（組）應(yīng)環(huán)環(huán)相扣、層層深入.

在本章的教學(xué)過(guò)程中，教師始終以日常生活中的例子作為教學(xué)的載體，將學(xué)生熟悉的場(chǎng)景以數(shù)學(xué)問(wèn)題的形式呈現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生在無(wú)形中體會(huì)到數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)解決生活問(wèn)題.

在教學(xué)中滲透模型思想對(duì)于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)有積極的作用. 無(wú)論是概念教學(xué)還是定理的推導(dǎo)，我們都應(yīng)該先創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生從情境中抽象概括出數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，領(lǐng)悟模型思想，進(jìn)而學(xué)會(huì)用模型思想解決實(shí)際問(wèn)題.