基于積累數學活動經驗的初中數學教學的研究

王亞平

[摘? 要] 基于積累數學活動經驗的初中數學教學應該是將培養學生的“雙基”增加到培養“四基”，讓學生從動手操作過程中的觀察思考、對已學概念和定理再思考、對解題過程進行聯想等方面積累數學活動經驗，以獲取解決新問題的思路.

[關鍵詞] 積累;數學活動經驗;初中數學;教學研究

如何安排教學才能積累數學活動經驗呢？積累了數學活動經驗之后，學生在能力和素養方面又有哪些提高呢？在教學實踐中我們有這樣的體會：學生的數學活動經驗是在自己不斷地經歷、體驗各種數學活動的過程中產生的. 更明確地說，要積累數學活動經驗，首先應立足于“做”，然后在“做”的過程中思考、總結、積淀. “做”的主體是學生，不過應由教師事先安排;而思考、總結應在“做”的基礎上完成，在“做”的過程中完成，且由師生共同完成. 因為有些總結、歸納，單獨依靠學生還達不到應有的高度，需要教師的引導.

借助動手操作過程中的觀察與思考

新課程理論明確提出，在數學學科里，動手操作也是學習數學的一個重要方法，它是對傳統的計算、證明等數學學習方法的有效補充. 另外，還有歸納、猜想等學習方法.

學習“三角形內角和定理及其推論”時，教師對這節課的安排先是再次經歷小學已學的折疊、剪拼三角形內角，觀察拼圖的痕跡，積累“在一個頂點處拼接出一個平角”這一數學活動經驗，從而找到添加輔助線的方法. 教材安排的添加輔助線的方法是“（如圖1）延長BC到點D，過點C以CD為一邊作∠DCE=∠B”，而不是以前的“延長BC到點D，過點C作CE ∥AB”. 這樣安排的原因是，從剪拼或折疊三角形的內角中只能直接獲得前者這個數學活動經驗，而不可能直接獲得后者這一經驗. 成功地添加出輔助線后，解決問題就變得非常簡單了，具體為：如圖1，延長BC到點D，過點C以CD為一邊作∠DCE=∠B，于是可得CE∥AB. 從而完成將∠A，∠B，∠ACB成功地移至以C為頂點的平角∠BCD，命題的詳細證明略.

這里有三個注意事項：（1）應讓學生完整地經歷這個數學活動過程. 即先經歷撕紙、拼圖（動手操作）等數學活動，再觀察拼圖的痕跡（思考猜想），聯想出添加輔助線的方法（總結歸納），完成證明過程（抽象思維）. （2）四個環節輕重應不同. 如動手操作在小學時學生已經做過，這里可以加快操作進度;對于總結歸納環節，學生討論交流后，教師可以引導和幫助;完成證明過程這個環節學生剛剛接觸，應以教師示范為主，同時規范書寫過程. （3）這是最重要的一點，我們應把動手操作和作輔助線緊密聯系起來. 很多教師的處理方式是在不知不覺中將二者割裂，只是為了操作而操作，不利用動手操作獲得的數學活動經驗去發現如何添加輔助線，這就沒有體現二者的聯系. 如果將二者割裂，那無論你安排操作與否，實際上都舍棄了通過動手操作積累數學活動經驗這一過程，而將其變成了只為解決問題而教學. 不客氣地說，這樣的教學實際上仍然只停留在注重“雙基”上，只實現了一半的收獲.

借助已學的概念、定理再思考

在數學教學中，學習概念、定理是我們的重要任務之一. 結合問題情境，由已學的概念、定理引發再思考，積累新的數學活動經驗，也可以獲得解決問題的思路. 為了節約篇幅，這里不再重新設置情境，仍以“三角形內角和定理及其推論”為例繼續說明教師的再引導：“延長BC到點D，過點C以CD為一邊作∠DCE=∠B，可得CE∥AB. 由平行線的性質也可以像剛才的撕紙、拼圖一樣，完成角的移動，將△ABC的三個內角移至同一個頂點的平角”，也就是說，平行線的性質定理也可以讓我們積累這個數學活動經驗. 受此經驗的啟發，筆者引導學生繼續探究證明三角形內角和定理的其他方法. 學生自然可以運用這個經驗探究出過某一點作一邊的平行線，從而得到證明三角形內角和等于180°的很多方法，如圖2、圖3所示（詳解略）.

同理，教師可以再引導：根據我們以往學習定理積累的數學活動經驗，對于命題中的180°，除了平角可以得到，我們學過的哪些知識也可以得到呢？啟發學生通過“兩直線平行，同旁內角互補”及兩直角之和等于180°，再探究出新的證明思路. 很多同學根據自己以往學習定理獲得的活動經驗，想出可以通過“兩直線平行，同旁內角互補得到180°”和“兩個直角之和等于180°”等. 于是便有了圖4、圖5等解法（詳解略）.

這節課進行到此，應及時總結歸納，積累出系統的數學活動經驗. 在一系列探究過程的前提下，教師啟發學生思考并總結歸納：這些數學活動經驗的本質只有兩個方面：（1）在圖形中巧妙實現“∠A+∠B+∠C”，也就是將∠A，∠B，∠C移至某一共同頂點處，得到一個平角;（2）除平角外，在圖形中再“構造”180°. 兩個方面只要實現一個，獲取解題思路就成了很自然的事. 因此，證明思路還有很多，根據這節課所得的活動經驗，學生課后可以繼續探究. 這樣的教學過程必然能讓孩子們獲得系統的數學活動經驗，實現數學知識的系統化.

借助解題過程的聯想

解題是學生學習數學的重要活動，也是經常進行的數學活動. 解題時，得到解題結果很重要，但解題過程中的思考總結更重要. 數學試題浩如煙海，我們沒有必要天天陷在題海中，如果我們能借助解題過程的聯想，積累數學活動經驗，獲取解決新問題的思路，那將受益無窮. 例如，如圖6，在△ABC中，M為BC邊的中點，AB=5，AC=3，求AM的取值范圍.

解決這個問題的關鍵是添加輔助線，即延長AM至點D，使DM=AM，連接BD，如圖7，得到△BMD≌△CMA，從而得到BD=AC. 在△ABD中，利用三角形三邊關系求解即可（詳解略）.

思考解答此題的數學活動過程，我們可以得到這樣一條經驗：解決有關三角形中線（或線段中點）的問題時，我們可以通過延長這條中線，構造出全等三角形甚至平行四邊形，再解決問題. 下面我們用這個活動經驗來解決一個新問題.

由剛才所得的活動經驗，我們可以這樣添加輔助線：如圖9，延長EF交CD的延長線于點G，從而得到△AEF≌△DGF，接下來問題迎刃而解（其他方法這里不做探究）. 為了表述和記憶的方便，我們可將剛才的數學活動經驗稱之為“倍中線”.

結語

教學中，類似以上活動的數學活動還有很多，在活動中或活動后進行思考其實更重要，因為思考就能獲得數學活動經驗，然后利用所獲經驗解決新問題. 如此循環往復，螺旋上升，不僅可以將學生從題海中解脫出來，還能大幅度地提升他們解決數學問題的能力. 堅持下去，學生的數學素養一定會有較大程度的提高. 這應該就是將培養學生“雙基”增加到培養“四基”的重要目的之一.