數學分析第一堂課的教學探討

黃英芬+顏寶平+安黔江

【摘要】數學分析第一堂課的質量對整個數學分析課程的教學有著重要的影響.本文通過分析數學分析與后繼課程及中學數學的聯系，結合數學與應用數學專業人才培養目標，剖析了本門課程的重要地位；其次講述數學分析的主要內容，聯系中學數學知識，引用“芝諾悖論”，激發學生的學習興趣；最后結合數學分析課程的特點給出學習建議，讓學生有章可循，增強信心.

【關鍵詞】數學分析；第一堂課；教學探討

一、引 言

數學與應用數學專業的大學新生，剛剛來到一個新的環境，遇到新的教師、新的同學，對一切都還是懵懂的，而數學分析作為該專業的重要基礎課，由于其內容抽象、邏輯性強，語言精確，又是許多后續課程的先修課程，因此，學好數學分析對于數學與應用數學專業學生來說，是極為重要的.萬事開頭難，良好的開始等于成功的一半，上好第一堂課就顯得非常重要.

我們結合多年從事數學分析教學的教師的經驗，建議將數學分析課程內容與方法、重要性、興趣的激發、資料的選擇與獲取等方面內容作為數學與應用數學專業學生大學第一堂課的教學要點，這樣能夠達到事半功倍的效果.

二、數學分析的重要地位

如果我們把數學比喻成一棵大樹，那中學數學就是它的根，微積分就是這棵大樹的主干，諸如常微分方程、復變函數、實變函數、泛函分析、微分幾何、拓撲學就是它的枝葉.數學分析在此起到一個承上啟下的作用，上可為后繼課程做準備，下可為中學數學做指導.學好這門課是大學新生順利從初等數學過渡到高等數學的關鍵.

數學分析是幾乎所有后繼課程，如常微分方程、概率論與數理統計、復變函數、實變函數、泛函分析等課程的先修課程和重要基礎.比如，數學分析和復變函數研究的都是定義在數域上的函數，數學分析研究實數集上的函數，復變函數研究復數域上的函數，數學分析中的部分定理及性質在復變函數中仍然成立，有些卻不能成立.復變函數是數學分析的理論推廣.數學分析不僅在內容上為后繼課程提供必備的基礎知識，而且它的定義、定理中包含的數學思想和數學方法，對后繼課程的學習具有至關重要的作用.數學分析是以極限理論為基礎，用導數、積分等方法研究函數的分析性質，是整個變量數學的奠基石.數學分析中精確的符號語言，嚴格的邏輯推理，可以培養學生良好的思維習慣，這為后繼課程的學習打開局面.

要提高數學與應用數學專業學生的綜合素質，必須首先培養好學生的專業素質——數學素質.數學分析作為應用數學專業最重要的課程之一，對培養學生的數學素質具有重要的作用.數學分析中精確的數學語言可以培養學生準確地表達自己的數學思想；數學分析中大量的定義、定理的證明可以培養學生的高度抽象、嚴密地邏輯思維能力；數學分析中的重要概念，如導數、積分都是源于實際問題并能夠應用到實際中去，這可以培養學生數學建模及應用數學的能力.

在教學內容上，數學分析與中學數學聯系緊密，對于培養一名優秀的中學數學教師具有重要作用.由于知識結構的限制，中學數學中不能深入研究的問題，只有學了數學分析才能解決.中學數學研究函數的方法只能停留在“原始”的水平上，比如，中學數學畫函數的圖像往往采用描點法，然后用光滑曲線把這些點連接起來，而學生們并不理解為什么非要用“光滑曲線”呢.只有學了數學分析才能明白，我們以前研究的函數都是初等函數，而初等函數具有可導性，這在圖像上表現為光滑曲線.再如，積分學也能為中學數學的很多問題提供理論依據和計算方法，如，幾何中的祖暅定理，不規則圖形的面積，幾何體的體積等.數學分析的基本理論對中學數學具有重要的指導作用，學生只有學好數學分析，才能深入解讀中學數學教材.

德國數學家克萊因說：“教師應具備較高的數學觀點，理由是，觀點越高，事物越顯得簡單.”近年來，與數學分析知識相聯系的試題在中高考試題中所占比例逐年上升.這要求中學教師應掌握數學分析與中學數學的內在聯系，會運用數學分析的方法解決初等數學的問題.中學教師只有在深刻理解數學分析理論、思想方法的基礎上，站在更高的角度，俯視中學數學，才能探索出巧妙的解題思路，以簡馭繁，達到更好的教學效果.

三、數學分析的主要內容

為了使學生做到心中有數，我們應該介紹數學分析的基本框架.數學分析又名微積分或無窮小分析，它的主要內容有極限理論、一元函數微積分、級數、多元函數微積分.如果把微積分比喻成一座高樓大廈，那學習極限理論就是為這座大廈打地基.極限將是學生遇到的第一個最重要的概念，并且它也是最主要的推理方法和工具.用極限的方法研究函數的性質是數學分析的主要內容.

為了便于學生接受，我們可以從他們最熟悉的中學知識入手，讓學生知道學無止境，他們所掌握的中學數學還遠遠不夠.比如，圓面積公式S=πr2，這個公式怎么來的？球的體積公式V=43πr3，這個公式又是怎么得到的？通過學習了數學分析中的積分理論，我們就能知道這些公式的來龍去脈.再比如，對于等比數列12，14，18，…，12n，…，中學階段已經推導出它的前n項和公式.此時，教師可啟發學生，隨著n的無限增加，數列的和是否趨于一個固定的值.亦可進一步啟發什么樣的數列有上述特點，什么樣的數列沒有.要解決這個問題，我們需要學習數學分析中的級數理論.通過舉一些學生熟知的例子，讓學生了解數學分析是以中學數學為基礎逐步發展起來的.

四、興趣的激發

愛因斯坦說：“興趣是最好的老師.”古語有云：“知之者不如好之者，好之者不如樂知者.”由此可見，興趣對于學習者有驅動作用.有效激發學生的興趣，可以提高教學效果.然而，如何激發學生的興趣，需要我們不斷去探索.

通過研究中學數學的一些公式，我們發現這樣神奇的關系（如下表所示）.這種關系不是偶然，而是有可靠的理論基礎，待我們學習了數學分析，用定積分的思想方法，這些證明便迎刃而解.這個例子深入淺出，容易接受，可以激起學生濃厚的探索興趣.endprint

為了進一步激發學生的興趣，我們還可以引用芝諾悖論——阿基里斯和烏龜賽跑悖論.他提出讓烏龜在阿基里斯前面1 000米處開始，并且假定阿基里斯的速度是烏龜的10倍.當比賽開始后，若阿基里斯跑了1 000米，設所用的時間為t，此時烏龜便領先他100米；當阿基里斯跑完下一個100米時，他所用的時間為t10，烏龜仍然前于他10米.當阿基里斯跑完下一個10米時，他所用的時間為t100，烏龜仍然前于他1米……芝諾解說，阿基里斯能夠繼續逼近烏龜，但絕不可能追上它.給學生留出時間，讓他們自由地討論如何推翻它.教師可以給學生留懸念，待到正式講到數列極限的概念時，再給出正式、嚴密的解答.

微積分的產生是自然科學最偉大的發明之一，教師應該在第一堂課上介紹微積分發展簡史.教師可在介紹時穿插一些數學家的小故事，以增加課堂的人文性和趣味性.

五、數學分析的特點及學習方法

數學分析經過三個多世紀的發展和完善，已經形成一整套抽象的、嚴密的、邏輯性極強的理論體系，其內容多，跨度大，概念抽象，系統性、邏輯性強.數學分析與中學數學的特點有巨大差異，同時任課教師的上課方式也隨之改變，這讓剛入校門的新生感覺非常不適應.那么數學分析究竟有哪些特點？它與中學數學的差別體現在什么地方？

定義、定理繁多.中學數學理論較少，注重計算與解題技巧.而數學分析理論繁多，有時一次課（100分鐘）接觸的定義、定理多達十幾個.講解過程中有大量的推理論證，尤其在學習數學分析的初期階段，多用定義去證明.講授內容邏輯性強，高度抽象.

精確的符號語言.中學數學的知識比較容易用自然語言描述，用圖形語言去解釋.為了精確表達概念和定理，數學分析有一套自己的邏輯符號，它非常精確、邏輯性極強、高度抽象.只有掌握好數學符號語言，才能為后面邏輯推理打下堅實的基礎.

教學方式的改變.中學數學講得細，舉例較多，特別注重解題技巧.數學分析課堂容量大，進度快，理論多，舉例少，并且很少復習.學好數學分析的關鍵不在于做了多少題，而在于理解好定義、定理以及里面所蘊含的思想方法.

針對數學分析的特點，提出以下學習建議：

提前預習.在不懂的地方做下記號，帶著疑問去聽課，效果更好.

科學聽課.聽課時，遇到不懂的地方，不要一直糾纏，而應該做下記號，繼續跟著教師的思路走，課下再找教師或同學討論，或者查閱資料.

當天復習.利用當天晚自習時間，應該首先把教師白天所講內容復習一遍，而不是急于完成作業.復習時，應該做到會復述講過的概念，定理會獨立推導，而不是只看不動手，這樣會造成眼高手低.學生們可以利用晚自習的時間，加強討論，輪流上臺講解習題，達到鞏固所學知識的目的.

給自己充裕的學習時間.面對各種各樣的活動，學生應該根據自己的特長或喜好，有選擇地去參加，切忌遇到活動就參加，本末倒置.

適當鉆鉆牛角尖.對于書上難懂的概念、定理，要勤于鉆研.遇到似曾相識又不完全相同的題目，要放在一起多辨析.

六、資料的選擇與獲取

僅僅為了期末考試而去學習數學分析毫無意義.要想深刻理解數學分析中的概念、定理，進而掌握數學分析中的思想方法，必須參考相關書籍和文獻.除了主要教學參考書，還應當推薦一些必要的參考書，例如，謝惠民編寫的《數學分析習題講義》、裴禮文編寫的《數學分析中的典型問題與方法》、柯朗著的《什么是數學：對思想和方法的基本研究》等.

通過正確途徑去檢索文獻，而不能凡事問“百度”.教會學生從中國知網（http：//www.cnki.net/）、萬方數據知識服務平臺（http：//www.wanfangdata.com.cn/）等官方網站查閱文獻.

七、結束語

剛剛經歷過高考的大學新生，思想上正處于放松狀態，而數學分析難度較大、歷時較長，在今后的學習過程中，容易讓學生產生厭倦的情緒.若第一堂課上，給學生講清楚數學分析是什么，為什么要學，怎樣去學的問題，使學生對數學分析有了整體而清晰的認識之后，帶著教師為學生設置的重重疑問去開始微積分之旅，將會大大提高今后的教學效果.

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