類比誠可貴 探究價更高

王興凱

[摘 要] 通過函數圖像上點的橫、縱坐標中一個變化而另一個不變化來實現圖像間的轉換；把與函數有關的問題在學生的認知水平和“最近發展區”上進行適度拓展，以滿足學生的學習和成長需求，不斷提升其思維品質與數學素養.

[關鍵詞] 函數；圖像變換；數學思想；解法探索

試題呈現

（2016年南京市中考數學第27題）如圖1，把函數y=x的圖像上各點的縱坐標變為原來的2倍，橫坐標不變，得到函數y=2x的圖像；也可以把函數y=x的圖像上各點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得到函數y=2x的圖像. 類似地，我們可以認識其他函數.

啟示與思考

回首整個探究過程，發現每一個同名函數之間看似并不相干，其實完全可以通過探究它們彼此之間的系數關系，運用坐標變化實現其圖像間的互相轉換. 看似一道普通的試題，通過不斷地思考，其內涵竟是如此的豐富多彩，可挖掘、探究之處甚多，將初中階段所涉及的一次函數、反比例函數和二次函數等知識內容串聯在了一起. 由此對我們的數學教學引出深層的思考和啟示.

1. 重視審題能力的訓練與培養

本題屬于一道“即時學習”型試題，要求學生在考試中即學即用，旨在考查學生的審題能力和即時學習能力以及分析問題和解決問題的能力. 試題立足于初中數學的核心知識之一——函數及其圖像與性質，通過一道題打通三年函數的學習，將一次函數、反比例函數、二次函數有機結合起來. 按照學生學習這幾種函數知識的先后順序并結合函數的圖像與性質，首先給出一個正比例函數圖像變化到另一個正比例函數圖像的具體方法，然后讓學生現學現用. 其中第（1）問可以直接應用到反比例函數圖像的變化上，讓學生通過理解新知解決問題；第（2）問則需結合曾經學過的二次函數圖像的平移規律，而將新知進一步升華，以讓學生初步感知：在研究和解決有關函數圖像的問題時，通過平移和圖像上點的坐標的變化來實現函數圖像的變換；第（3）問可謂畫龍點睛之筆，只有學生對新知理解透徹才能解決. 這就要求教師在平時教學中要加強學生審題能力的培養，加強對函數變化中最本質要素的理解與思考，關注每一類函數之間最為本質和必然的聯系. 要引導學生在日常數學探究活動中不斷積累活動經驗，注重探索每一種同名函數之間的轉換規律以及解決此類問題的基本思路，點坐標的變化可以引起函數圖像開口大小、圖像位置以及其他要素的變化；學生在活動中要多體會、感悟和總結，多用數學的眼光觀察，用數學的思維分析，用數學的語言表達. 教師還要注重解題過程的規范化訓練和指導，幫助學生不斷學會有條理地思考和表達.

審題是解決數學問題的關鍵環節，要求學生字斟句酌，細讀精研，文圖結合. 這一點誠然很重要，但筆者認為這只是某種意義上局部的小審題，更多時候要求學生跳出局部的小題，縱觀全題，總攬全局，努力揣摩命題意圖，尋找解題思維上的相似性和延續性，體會整體把控與感知小題之間的聯系和拓展，往往就會有“眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”的感覺.

2. 重視思想方法的滲透與應用

如果把具體的數學知識比作一座大廈，那么數學思想方法無疑就是大廈的基石、承重墻和框架. 一道試題猶如一篇美文，總會有一個升華的主題思想，只有對試題有足夠的理解和把握才能挖掘出這一思想和方法，這一點在平時的課堂訓練中需要多加關注. 如本題和后續問題再探中多次運用到數形結合的思想、類比和轉化的思想，這就需要在平時的教學中講解透徹. 本題多次運用橫、縱坐標中某一個量變化，另一個不變化來實現圖像位置和形狀的改變，從而達到圖像間的轉換，這是多題一解的求同思維；而題首材料再析、原題的3個問題、問題再探中問題1和問題3還可進行一題多解的求異思維訓練. 當下，學生普遍擅長求同思維而忽視求異思維，所以在教學中要加強求異思維的訓練，同時我們更應注重相關數學思想方法的滲透與培養.

3. 重視數學知識的遷移與拓展

進行函數問題的研究時，在具體數學知識內容的教學上，既要重視教材又不拘泥于教材，在教材現有知識呈現的基礎上，還要將函數問題中表達式、圖像與性質以及圖形變換的相關規律相互滲透、有機整合和適度拓展. 要從學生的實際需要出發，使學習內容在更為現實和廣闊的背景上獲得充實、深化和提升，要在深度和廣度上培養學生的問題意識、探究激情和思維品質，更好地掌握和運用數學知識之間的本質規律和內在聯系以及解決問題的經驗和方法，以便極大地滿足學生的學習需要和成長需求.

此外，教師還應有針對性地選擇典型問題，有效引導學生對問題進行變式探究與挖掘推廣，這樣不僅有助于學生系統靈活地掌握課本提供的函數知識，還有助于提升學生的學習興趣和探究動力，也有助于培植學生思維的發散性、靈活性、敏捷性和廣闊性. 同時教師還要對典型習題進行多方位、多角度的演變、拓展、延伸和遷移，幫助學生跳出題海，觸類旁通，使學生達到解一題、會一類、通一片、得一法，進而真正提升學生的問題意識、思維品質、解題技能和核心素養.