常數項級數斂散性的判斷方法小結

【摘要】本文探討了微積分課程中常數項級數斂散性的判斷方法，對學生在解題過程中常見的錯誤進行了剖析，并給出了級數斂散性的有效判定流程。

【關鍵詞】常數項級數 ?斂散性 ?教學

【基金項目】本文系江蘇省高等學校自然科學研究項目資助（項目編號：17KJB110004）。

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）42-0138-03

無窮級數是微積分課程中很重要的一個組成部分，它在表示函數、研究函數性質以及數值計算中起著非常重要的作用。無窮級數理論是數列極限理論的拓展，其又以常數項級數為基礎。學生在高中階段及以前的學習中，對有限個常數求和已經非常熟悉。而在學習此部分內容的過程中，由于對有限和與無限和的本質區別缺乏充分理解，學生經常會犯一些常識性的錯誤。另一方面，判斷常數項級數斂散性的方法比較繁雜，學生在遇到具體問題時很容易無從下手。本文將結合學生在解題過程中常見的錯誤，對微積分中常數項級數斂散性的判斷方法進行小結，并給出有效判定流程。

1.常數項級數的定義

對于給定的數列u1，u2…，un，…，稱u1+u2+…+un+…為常數項無窮級數，記作■un;其中第n項un稱為級數的通項。級數的前n項和Sn=■uk稱為級數的部分和，其構成的數列{Sn}稱為原級數的部分和數列。若■Sn=S存在，則稱無窮級數收斂，并且有和數S。若■Sn不存在，則稱無窮級數發散。

2.判斷級數斂散性的一般方法

利用無窮級數的性質，以下我們給出判斷級數斂散性的一般方法，主要有：

（1）設c為任意非零常數，則級數■cun與級數■un具有相同的斂散性;

（2）若級數■un與■vn都收斂，則級數■（un+vn）也收斂;

（3）增加，去掉，或者改變級數的有限項，不改變級數的斂散性;

（4）在收斂級數的項中任意加括號，不改變級數的收斂性;

（5）如果級數■un收斂，則其通項趨于零，即有■un=0。

這五條性質對于任意常數項級數都是成立的。但由它們引起的一些結論，學生可能會產生混淆。例如（1）的推廣：若級數■cun收斂，則■un也收斂;此結論是錯誤的，因為■cun收斂不能得到c≠0這個結論，如■0·■收斂，但■■卻是發散的。另一方面，若級數■cun發散，其保證了c≠0，此時■un發散這個結論是正確的。作為（2）的推廣，我們可以利用反證法得到：若■un收斂，■vn發散，則級數■（un+vn）必發散。（4）的應用也非常廣泛，例如由（1-1）+（1-1）+…=0以及1+（-1+1）+（-1+1）+…=1可得級數1-1+1-1+…發散。

3.正項級數斂散性的判斷方法

本部分將對正項級數斂散性的判斷方法進行總結。通項非負的級數稱為正項級數。首先，我們有正項級數的一般性收斂原理：正項級數■un收斂當且僅當其部分和數列{Sn}有上界。值得注意的是，此結論在理論上是非常完美的，但一般較難用于判斷具體的正項級數是否收斂。除此之外，我們還有以下關于正項級數的收斂判別法：

（1）比較判別法之初等形式：設■un和■vn是兩個正項級數，如果存在某正數N，對一切n>N都有un

比較判別法之極限形式：設■un和■vn是兩個正項級數，且■■=A。（i）若0

在使用比較判別法時，需要有明確的參照物。常用的級數有：（i）“等比級數”■aqn-1，其中a≠0，q≠0，在q<1時是收斂的，其余情況發散。（ii）“p級數”■■在p>1時收斂;p≤1時發散。除此之外，還有以下幾個無需尋找參照物的正項級數判斂法：

（2）比值判別法：設■un為正項級數，且有■■=r，則當r<1時級數收斂;當r>1時級數發散;當r=1時級數斂散性需進一步確定。

（3）根值判別法：設■un為正項級數，且有■■=r，則當r<1時級數收斂;當r>1時級數發散;當r=1時級數斂散性需進一步確定。

（4）積分判別法：設f（x）是[1，+∞）上非負單調連續函數，則■f（n）與■f（x）dx同時斂散。

值得說明的是，在比值和根值判別法中，在r>1的情況下，不但級數發散，我們還可以得到■un=+∞這個結論。以上幾種判別法各有優劣，如何進行恰當選擇成為了解題的關鍵。給定正項級數■un，我們一般按照以下幾個步驟進行判斷：（1）首先觀察級數的通項極限■un是否為零。若是，則進行下一步討論;若否，則直接判定級數發散。（2）觀察級數的通項un是否混合含有n的冪與指數形式，或者含有冪指函數，階乘;若是，則優先選擇比值或者根值判別法。（3）通項僅含單一的n的冪或者指數形式，則優先選用兩種形式的比較判別法，并優先考慮其極限形式。（4）將級數的通項un表達式中的變量n換為x后，如果容易判斷其對應函數的無窮限積分的斂散性，考慮用積分判別法。（5）若上述方法全部失效，則可嘗試用級數收斂的原始定義去判斷。下面我們給出一個例子：

例1 判斷級數■■（■）n的斂散性。

解題思路：首先，無法直接判斷級數通項極限是否為零，所以跳過以上步驟中的（1）。由于級數的通項含有n的冪，以及階乘，可考慮比值或者根值判別法。

以下是學生的常見錯誤解法。由于微積分課程對前面學過的數列極限內容要求并不高，有部分同學不知道■■=

+∞這個結論，他們將此結論與■■=1產生混淆，誤以為■■=1，因此利用此錯誤結論得到■■=■■=0這個錯誤的等式，再利用根值判別法斷定此級數收斂。

事實上，根值判別法不是最優選擇，我們考慮用比值判別法。由于un+1=■（■）n+1，un=■（■）n，則■■=■=■■=■<1，由比值判別法可知級數收斂。

除了以上給出的幾種判別法外，還有拉貝判別法、對數判別法、雙比值判別法、高斯判別法等其它類型的方法，由于它們超出了微積分課程的學習范圍，故本文不做討論。值得一提的是，雖然本部分討論的是正項級數，但對于負項級數（通項非正的級數）而言，在差一個正負號的前提下，和正項級數的討論方法完全一致。

4.任意項級數

各項符號不完全相同的數列{un}所構成的級數■un稱為任意項級數。任意項級數是常數項級數最重要的組成部分，但是能夠利用的工具和方法極其有限。本部分首先討論判斷某類特殊的級數是否收斂的一種方法——萊布尼茨判別法。

首先回顧一下交錯級數的定義。設un>0，n=1，2，…，形如■（-1）n-1un或■（-1）nun的數項級數，稱為交錯級數。我們常用的方法如下：

萊布尼茨判別法：設交錯級數■（-1）n-1un滿足條件：（1）un≥un+1（n=1，2，…）;（2）■un=0，則交錯級數■（-1）n-1un收斂。

在利用萊布尼茨判別法解題時，核心是判斷un≥un+1（n=1，2，…）成立，大致有以下幾種方法：（1）初等方法，如初等變形，求差，求比值等;（2）根據un的特點，構造相應的連續函數f（x），利用導數法證明其在適當的區間上單減。另一方面，萊布尼茲判別法只是判斷交錯級數收斂的一個充分條件，并非充要條件。因此，當交錯級數不滿足萊布尼茲判別法的條件時，不能輕易下結論，得到級數一定發散，而是需要考慮用其他方法進行處理。

除此之外，我們還可以利用絕對收斂性判斷任意項級數的斂散性。給定任意項級數■un，如果級數■un收斂，則稱■un絕對收斂;如果級數■un收斂，而級數■un發散，則稱級數■un條件收斂。實際上，我們有以下性質：

絕對收斂性：設■un為任意項級數。若■un收斂，則■un也收斂。

例2判斷級數■■（■）nsin■的斂散性。

解題思路：由于級數的通項中sin■的出現，我們可以判斷出此級數為任意項級數。有很多學生在解答此題時，沒有仔細辨別，而是直接利用正項級數的方法去處理，導致錯誤的出現。實際上，由例1可知正項級數■■（■）n收斂，而由0≤■（■）nsin■≤■（■）n以及正項級數的比較判別法可知，級數■■（■）nsin■收斂，因此■■（■）nsin■絕對收斂，即任意項級數■■（■）nsin■收斂。

除此之外，任意項級數的斂散性還有柯西定理、阿貝爾判別法和狄利克雷判別法等，均超出了微積分課程的學習范圍，在此不再贅述。

5.總結

以上我們討論了微積分課程中判斷級數斂散性的常用方法，但遇到實際題目時，方法選擇是否恰當，決定了學生能否正確解答此題。我們可以通過一個流程圖來進行歸納總結：

我們采用上述流程圖，研究一個具體的題目。

例3 判斷級數■（-1）n-1■的斂散性。

解題思路：首先觀察級數通項的極限。由于■（-1）n-1■=0，則級數的斂散性需要進一步討論。對于新的正項級數■（-1）n-1■=■■，由于■■=■■=1，而“p級數”■■發散，則由正項級數比較判別法的極限形式可知級數■■發散，由此判斷出原級數■（-1）n-1■不是絕對收斂。另一方面，對于交錯級數■（-1）n-1■，顯然有■≥■，且■■=0，則由萊布尼茲判別法可知原級數■（-1）n-1■條件收斂。

以上是對微積分課程中遇到的判斷級數斂散性題目的解答方法的歸納與總結。在學習和解題的過程中，學生很難做到一蹴而就，立刻就找到正確而簡練的方法，而是需要通過大量的練習和及時的回顧與總結，才能熟練掌握此部分內容。

參考文獻：

[1]朱來義.微積分（第三版）[M].高等教育出版社，264-301頁.

[2]華東師范大學數學系.數學分析（第四版）下冊[M].高等教育出版社，1-27頁.

[3]李春江.級數收斂的判別方法[J].中小企業管理與科技（上旬刊），2010（4）：255-256.

作者簡介：

曾陽（1984.2-），男，漢族，河南洛陽人，博士，南京審計大學，講師，研究方向：李代數與表示理論。