高中數學不等式易錯題型與解題技巧

黃麗丹

[摘 要]《不等式》是高中數學的難點內容之一.研究不等式易錯題型及其解法具有現實意義.

[關鍵詞]高中數學；不等式；易錯題型；解題技巧

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-6058（2018）32-0018-02

《不等式》是高中數學學習的難點和重點.不等式具有較強的應用性，往往與函數、方程及幾何知識結合使用.學生對不等式的知識掌握不夠全面，在解題時就可能出現偏差.筆者認為，教師應該對不等式的易錯題型進行總結，分析經常出錯的原因，整理解題思路，以便提高學生學習的針對性，最終提高解題效率.

一、“線性規劃”易錯題型與解題技巧

在不等式易錯題型中，“線性規劃”是非常典型的題型.一般而言，不等式和線性規劃組合型的題目主要是計算最大值或者最小值.從解題思路上來看，要先進行不等式定義域或者相關面積的確定，接著按照要求進行解答.在這個過程中，要充分利用線性規劃和不等式之間的性質關系.

[例1]已知a>0，x≥1，x+y≤3，y≥a（x-3），假如t=2x+y，其最小值為1，根據已知條件求a具體數值的大小.

分析：在求解這道題目時，很多學生在求取三條直線構建三角形面積時容易出現錯誤.這道題目是典型的變式題，在求解的過程中需要根據已知條件，利用直線位置來進行解答.

解題技巧：根據已知條件t=2x+y，假如目標函數經過區域中的一點M，這種情況下不等式最小值為1，我們可以計算出M點的坐標，即（1，-2a）.接著，將這個坐標代入目標函數，等式關系為1=2-2a，求解一元一次方程得a的值是0.5.

在線性規劃和不等式組合的題目中，要把握好函數的最值，充分利用已知條件確定不等式的可行域范圍，從而得出正確答案.在這個題目中，由于a>0，函數 y=a（x-3）只能在第一和第三象限，三角形可行域的范圍可以通過分析和計算獲得，a的求解就比較容易了.

二、“高次不等式”類型題的易錯題型與解題技巧

高次不等式的解題方法主要有列表法、穿針引線法和不等式組法等.一般情況下，高次不等式中區域容易出現錯誤，尤其是一些特殊區域或者固定的點.從經常出錯的情況來看，學生往往忽略題目中的隱性條件，對解集區域模糊不清，在運用穿針引線的方法時，對函數升降規律把握不好.

[例2]已知高次不等式 （m-1）（m-2）（m-3）>0，根據已知條件求解集.

分析：認真分析題目中的條件，我們可以發現，這類題目需要確定出不等式的根.首先，我們可以畫出不等式根的草圖.在這個題目中，應分別在數軸中對不等式的四個區間進行確定，在數軸中對解集大于零和小于零的區域進行詳細的標注.根據已知條件可知，主要分為13兩個區間.在這種情況下，高次不等式的解集求法就變得相對容易了.

解題技巧：高次不等式的解答一定要借助圖形，不少學生單從表面上去分析已知條件，在很多時候起不到什么效果，在畫圖的過程中思路就慢慢清晰了.應當注意的是，在解集求出以后，要對解集的臨界點進行判定，確保解集的準確性，避免小的錯誤造成失分.

三、“絕對值”類型題的解答分析

含有絕對值的不等式的解題思路是觀察原式，通過變形或者是去括號的方法，將原式轉換為低次的不等式或者是不等式組進行求解.如果一個不等式或者是不等式組當中含有多個絕對值，可以采用零點分段法對原不等式進行解答.如果在不等式或者不等式組的解答過程當中有最值問題，可以利用絕對值三角不等式進行求解.在解答絕對值類型的不等式問題時，最重要的一個技巧就是根據題干的實際情況，運用合適的解題方法將不等式中的絕對值符號或者是絕對值式子進行轉化.

四、“基礎不等式”易錯題型與解題技巧

基礎不等式是a2 + b2 ≥2ab.這個基礎不等式還可以變化，比如根據這個不等式可以推導出（a+b）/2≥ [ab].這個不等式需要一定的條件，即a>0，b>0，當a=b時，等號成立.當題目中給出 a、b 的積是一定時其取得的和最小，當題目中 a、b 的和是一定時取得的積最大.

[例3]當m>2時，求[m+3m-2]的最小值.

分析：在解答這類題目時，我們可以將不等式變形，[m-2+3m-2+2]≥2[3]+2.根據基本公式我們可知，當[m-2=3m-2]時等式成立.這時我們可以求出m的值.因此[m+3m-2]的最小值為2[3]+2，此時m=2+[3].

五、“含參數不等式”解題技巧

在解答含參數不等式時，要對不等式中的參數進行分析，根據參數范圍，利用數學思維進行相關的討論，確保解題時不遺漏各種取值的可能性.

[例4]已知關于x的不等式mx-n>0，求不等式的解集.

分析：對參數進行分析，主要有m>0、m=0和m<0這三種情況.我們對這三種情況進行分別解答.原不等式可以變形為：mx>n.

當m>0時，x>[nm]；

當m=0時，n<0；

（如果n≥0，則原不等式的解集為空集，n<0，原不等式的解集為R）

當m<0時，x<[nm].

根據以上的分析，可以順利求出不等式的解集.

六、“等價代換”類型題解題技巧

[例5]已知適合不等式[x2-4x+p+x-3≤5]的x的最大值為3，求p的值.

分析：在這個不等式中，很多學生不會運用等價代換的方法，對題目中“x 的最大值為 3”這句話理解不透徹.因為 x 的最大值為 3，故 x-3 < 0，原不等式等價于[x2-4x+p+（3-x）≤5]，可以轉化為

-x-2≤x2-4x+p≤x+2.

那么，x2-5x+p-2≤0或者x2-3x+p+2≥0，對這兩個式子求解可以求出x1，x2 .設上式中的根分別為 x1、x2 （x 2>x1），x3、x4 （x4>x3 ），則 x2= 3 或 x4= 3.

若x2 = 3，則 9-15 + p-2 =0，p =8；

若x4 = 3，則 9-9 + p +2 =0，p =-2；

當p=-2 時，原方程組無解，檢驗得p=8符合題意，則 p =8.

七、“不等式恒成立問題”解題技巧

不等式恒成立問題往往與數列或抽象函數相結合.

[例6]設函數 f（x） = ln（1 + x），g（x） = xf '（x），x ≥ 0，其中 f '（x） 是f（x） 的導函數.

（Ⅰ） 令 g1 （x） = g（x），gn+1 （x） = g（gn （x）），n ∈ N+，求 gn （x）的表達式；

（Ⅱ） 若 f（x） ≥ ag（x） 恒成立，求實數a的取值范圍；

（Ⅲ） 設 n∈N + ，比較 g（1） + g（2） + … + g（n） 與 n-f（n） 的大小，并加以證明.

該題的考點是結合不等式、函數導數求閉區間上函數的最值并研究函數的單調性.

總而言之，在學習高中數學不等式的過程中，學生要注重同類題型的歸納總結，分析常用的解題方法，不斷提升自身的解題能力.

（責任編輯 黃桂堅）