數形結合思想在初中數學教學中的應用

佘躍興

摘要：在中學數學教學中廣泛地應用到了數學的基本思想，在我國的課程標準中也明確要求了數學思想。作為數學基本思想中的重要組成部分之一，數形結合思想在整個初中數學教材內容當中都占據著很重要的比例。數形結合的思想貫穿初中數學教學的始終。數形結合思想的主要內容體現在以下幾個方面：（1）建立適當的代數模型（主要是方程、不等式或函數模型）。（2）建立幾何模型（或函數圖象）解決有關方程和函數的問題。（3）與函數有關的代數、幾何綜合性問題。（4）以圖象形式呈現信息的應用性問題。采用數形結合思想解決問題的關鍵是找準數與形的契合點。如果能將數與形巧妙地結合起來，有效地相互轉化，一些看似無法入手的問題就會迎刃而解，產生事半功倍的效果。

關鍵詞：數學思想;初中數學;數形結合

中圖分類號：G633.6?????文獻標識碼：B????文章編號：1672-1578（2018）31-0144-01

1.滲透數形結合的思想，養成用數形結合分析問題的意識

每個學生在日常生活中都具有一定的圖形知識，如繩子和繩子上的結、刻度尺與它上面的刻度，溫度計與其上面的溫度，我們每天走過的路線可以看作是一條直線，教室里每個學生的坐位等等，我們利用學生的這一認識基礎，把生活中的形與數相結合遷移到數學中來，在教學中進行數學數形結合思想的滲透，挖掘教材提供的機會，把握滲透的契機。如數與數軸，一對有序實數與平面直角坐標系，一元一次不等式的解集與一次函數的圖象，二元一次方程組的解與一次函數圖象之間的關系等，都是滲透數形結合思想的很好機會。

如：直線是由無數個點組成的集合，實數包括正實數、零、負實數也有無數個，因為它們的這個共性所以用直線上無數個點來表示實數，這時就把一條直線規定了原點、正方向和單位長度，把這條直線就叫做數軸。建立了數與直線上的點的結合。即：數軸上的每個點都表示一個實數，每個實數都能在數軸上找到表示它的點，建立了實數與數軸上的點的一一對應關系，由此讓學生理解了相反數、絕對值的幾何意義。建立數軸后及時引導學生利用數軸來進行有理數的比較大小，學生通過觀察、分析、歸納總結得出結論：通常規定右邊為正方向時，在數軸上的兩個數，右邊的總大于左邊的，正數大于零，零大于負數。讓學生理解數形結合思想在解決問題中的應用。

例：小明的父母出去散步，從家走了20分到一個離家900米的報亭，母親隨即按原速返回。父親看了10分報紙后，用了15分返回家。你能在下面的平面直角坐標系中畫出表示父親和母親離家的時間和距離之間的關系嗎？

結合探索規律和生活中的實際問題，反復滲透，強化數學中的數形結合思想，使學生逐步形成數學學習中的數形結合的意識。并能在應用數形結合思想的時候注意一些基本原則，如是知形確定數還是知數確定形，在探索規律的過程中應該遵循由特殊到一般的思路進行，從而歸納總結出一般性的結論。

2.學習數形結合思想，增強解決問題的靈活性，提高分析問題、解決問題的能力

在教學中滲透數形結合思想時，應讓學生了解，所謂數形結合就是找準數與形的契合點，根據對象的屬性，將數與形巧妙地結合起來，有效地相互轉化，就成為解決問題的關鍵所在。

2.1?以數化形方法的運用。一些數學關系在數學中非常的抽象，導致學生無法將其很好地把握和理解住。而數學圖形具有直觀和形象的特點，因此可以很好地表現出其中的抽象思維形象。將數量問題轉化為圖形問題在初中階段通常包括兩種途徑，也就是解析幾何知識以及平面幾何知識。以數化形的方法具有以下幾個方面的優勢，首先可以采用直觀的幾何代替抽象的代數語言，因此可以有效地避免出現冗長而復雜的推理或者計算;其次其可以利用直觀形象的圖形幫助學生對抽象晦澀的代數關系進行理解和闡述，最終能夠獲得良好的教學效果。

比如：在對平方差公式進行講解的時候，就可以對數形結合思想方法進行充分的利用。通過對多項式乘以多項式的法則的利用對以下幾個多項式進行計算：（2x+1）（2x-1），（m+2）（m-2）。在完成計算之后同時對計算結果進行比較，從而對其中的規律進行探索。隨后再通過對多項式乘以多項式法的利用對（a+b）（a-b）進行計算，最終將平方差公式的內容表示出來，再與幾何圖形相結合將平方差公式說明，對平方差公式的幾何意義進行探索，這樣就可以讓學生很好地理解平方差公式。

2.2?以形變數的運用。盡管圖形具有直觀以及形象的特點，能夠很好地表現抽象的思維形象，然而必須要通過對代數的計算進行借助才能夠實現定量，尤其是單純地采用觀察的方法對于一些過于簡單或者相當復雜的圖形進行觀察很難得出一些結論或者規律來，這時候就要對“形”的對應形式——“數”進行運用，從而對圖形中的隱含條件進行發掘，通過對數量的利用使得圖形的問題得以解決，再加上邏輯推理及分析計算，最終將圖形問題很好地解決掉。

2.3?形數互變的應用。在一些數學問題當中往往不僅僅是簡單的“以形變數”或者“以數化形”，需要轉化其中的形和數，也就是要有效地結合“以形變數”以及“以數化形”這兩種方法。比如在對平面直角坐標系及函數進行講解的時候，其中的平面直角坐標系除了可以將地理位置表示出來之外，還能夠將一座橋梁橫架在數與形之間，一一對應平面上的點和有序實數對（x，y），從而有效地結合圖像和函數，在引入平面直角坐標系之后，就可以對代數的方法進行借用研究幾何性質，并且選擇幾何的方法對代數關系進行表述。

總之，在教學中著重滲透并力求幫助學生初步掌握數形結合的思想方法，結合其它數學思想方法的學習，注意幾種思想方法的綜合使用，給學生提供足夠的材料和時間，啟發學生積極思維。相信會使學生在認識層次上得到極大的提高，收到事半功倍的教學成效。