類(lèi)比思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用探究

摘要：類(lèi)比思想在生活中十分常見(jiàn)，人們總會(huì)不由自覺(jué)地拿兩件東西進(jìn)行對(duì)比，并由其中一方的特性類(lèi)推得到與之相似的另一方的屬性。類(lèi)比思想在高中數(shù)學(xué)中也有多處應(yīng)用，包括相似三角形和全等三角形、二次函數(shù)和三次函數(shù)、二維向量和三維向量等[1]。本文將舉例類(lèi)比思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，分析其優(yōu)點(diǎn)及不足，并提出相應(yīng)的建議。

關(guān)鍵詞：類(lèi)比思想 高中數(shù)學(xué) 應(yīng)用

類(lèi)比是一種常見(jiàn)的數(shù)學(xué)方法，它將新事物與舊事物的某些方面進(jìn)行類(lèi)似比較，并把已有的知識(shí)、方法、理論應(yīng)用到新事物中，從而解決問(wèn)題。類(lèi)比方法的核心就是由已知事物的某些特性推理出相似事物的對(duì)應(yīng)特性。

一、類(lèi)比思想在高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用的優(yōu)點(diǎn)

類(lèi)比思想在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中是一種十分重要也是十分普遍的方法，當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題很難通過(guò)常規(guī)推理進(jìn)行解決時(shí)，人們就可以考慮使用類(lèi)比法，先由與之類(lèi)似的問(wèn)題進(jìn)行類(lèi)比預(yù)測(cè)結(jié)論，然后再反向證明結(jié)論的合理性。歷史上許多著名的結(jié)論都是通過(guò)類(lèi)比法得出的，比如牛頓從地球?qū)ξ矬w的引力受到啟發(fā)，通過(guò)類(lèi)比發(fā)現(xiàn)了天體萬(wàn)有引力定律；施旺由植物細(xì)胞核類(lèi)比發(fā)現(xiàn)動(dòng)物細(xì)胞核等。在很多情況下，類(lèi)比法比常規(guī)推理簡(jiǎn)單易懂，特別是對(duì)于某一問(wèn)題可能出現(xiàn)的結(jié)果或者結(jié)論未知時(shí)，使用類(lèi)比法可以提供大致方向。

在使用類(lèi)似思想時(shí)需要將相似的問(wèn)題放在一起進(jìn)行比較，這在很大程度上有利于我們進(jìn)行系統(tǒng)的歸納學(xué)習(xí)。通過(guò)使用類(lèi)比法，我們可以清楚地知道哪些問(wèn)題屬于一類(lèi)問(wèn)題，它們的共同特性是什么，又有哪些特性是不同的。系統(tǒng)的學(xué)習(xí)有利于我們對(duì)知識(shí)的全面掌握和應(yīng)用。

二、類(lèi)比思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用舉例

（一）三維空間與二維空間類(lèi)比求平面法向量

類(lèi)比探究是高中數(shù)學(xué)中的一種重要思維方式，是構(gòu)建新舊知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的常用方法。例如，由平面向量引申到空間向量；面與面的位置關(guān)系類(lèi)比直線之間的位置關(guān)系；由三維空間轉(zhuǎn)至二維空間求解等。下文就“求平面法向量”這一問(wèn)題進(jìn)行類(lèi)比探究：

類(lèi)比思想使復(fù)雜的三維問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

同時(shí)由“法向量垂直可知面面垂直”這一思想，通過(guò)類(lèi)比可得到二維垂直線系。求兩直線垂直，首先要證l1：Ax+By+C=0與l2：Bx-Ay+λ=0（λ為參數(shù)）相垂直，可知l1法向量為n=（A，B），l2：n=（B，-A），根據(jù)平面向量垂直計(jì)算方法易推出AB+（-AB）=0，即兩直線的法向量垂直，可確定兩直線垂直，而不必轉(zhuǎn)化為斜截式進(jìn)行計(jì)算。類(lèi)比思想是高中數(shù)學(xué)簡(jiǎn)化計(jì)算的重要手段。

（二）橢圓旋轉(zhuǎn)體與球體類(lèi)比求體積

在幾何求積問(wèn)題中，類(lèi)比思想也發(fā)揮了很大作用。如：利用祖暅原理理解圓的旋轉(zhuǎn)體——球的體積公式，并在此基礎(chǔ)上類(lèi)比探究橢圓的旋轉(zhuǎn)體，可得出橄欖狀幾何體的體積。

祖暅原理：半球與一個(gè)與半球體橫切面積和高相同的立體，即圓柱體中間切去一個(gè)圓錐體，體積相同。由此進(jìn)行類(lèi)比探究，可將橢球體體積轉(zhuǎn)化為圓柱體積與同底的圓錐體積的差。現(xiàn)構(gòu)造一圓柱，并在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐，即可由V=2（V圓柱-V圓錐）求解。

類(lèi)比思想在不等式、解析幾何等模塊中也有重要體現(xiàn)，許多解題模型的構(gòu)建都應(yīng)用了類(lèi)比思想。這是一種知識(shí)的遷移，由一到多，由簡(jiǎn)到繁，由具體到抽象，由平面到立體，知識(shí)類(lèi)比是其相似性和遞變性的體現(xiàn)。類(lèi)比思想是構(gòu)建數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)體系的重要一環(huán)。

三、類(lèi)比思想在高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用的不足

類(lèi)比思想并不適用于所有的問(wèn)題，它有很大的局限性。要想使用類(lèi)比思想解題就必須找到與之相類(lèi)似的問(wèn)題，且十分熟悉。換句話說(shuō)，類(lèi)比思想是在前人基礎(chǔ)上的進(jìn)一步發(fā)展。

另一方面，使用類(lèi)比思想進(jìn)行解題很可能會(huì)得到錯(cuò)誤的答案或者結(jié)論。因?yàn)閮蓚€(gè)問(wèn)題即使再怎么相似，都只是其中的一些屬性一致，不可避免會(huì)存在許多不同的特性。如果參考的正好是二者的不同特性，那么所得到的結(jié)論可能與真實(shí)結(jié)論大相徑庭，影響之后的求解。例如，勒威耶認(rèn)為天王星實(shí)際運(yùn)行軌道與萬(wàn)有引力定律計(jì)算不符是因?yàn)楹Ｍ跣堑拇嬖冢⑼ㄟ^(guò)類(lèi)比得出水星實(shí)際運(yùn)行軌道與實(shí)際不符可能是由于另一顆行星的存在，但是事實(shí)證明這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，水星運(yùn)行軌道出現(xiàn)偏差是由于其離太陽(yáng)太近。

四、類(lèi)比思想在高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用的建議

在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)時(shí)應(yīng)學(xué)會(huì)運(yùn)用類(lèi)比法，但是在應(yīng)用時(shí)不可以生搬硬套，盲目使用[2]。筆者對(duì)于類(lèi)比思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用主要有以下幾點(diǎn)建議。

（一）謹(jǐn)慎挑選類(lèi)比的對(duì)象

在使用類(lèi)比法時(shí)，針對(duì)問(wèn)題所挑選的類(lèi)比對(duì)象十分重要，因?yàn)樗鼪Q定著類(lèi)比得出的答案或者結(jié)論。一旦類(lèi)比對(duì)象出現(xiàn)錯(cuò)誤，那么整個(gè)結(jié)論就都是錯(cuò)誤的。比如在使用類(lèi)比思想求圓錐的體積時(shí)，我們通過(guò)類(lèi)比三棱柱可得出圓錐體積，但在只考慮圓錐側(cè)面為曲面時(shí)，如果錯(cuò)將類(lèi)比對(duì)象選成球體或者橢圓旋轉(zhuǎn)體，那么其結(jié)論與實(shí)際必然會(huì)相差很多。

（二）驗(yàn)證類(lèi)比思想得出的結(jié)論

盡管事物類(lèi)似，但也有一些特性是不同的，如果所研究的正好是事物不同的特性，那么其得出的結(jié)論必然是不對(duì)的。因此在使用類(lèi)比思想得出答案或者結(jié)論之后一定要進(jìn)行驗(yàn)證，分析其是否符合題意。

五、結(jié)語(yǔ)

類(lèi)比思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛，也十分常見(jiàn)。其優(yōu)點(diǎn)在于簡(jiǎn)單易操作，便于系統(tǒng)學(xué)習(xí)、掌握知識(shí)，但它也存在一些缺點(diǎn)，比如類(lèi)比對(duì)象要求高，類(lèi)比結(jié)果可能與真實(shí)值不符等。因此，在應(yīng)用類(lèi)比思想學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)時(shí)，需要用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度選擇類(lèi)比對(duì)象以及驗(yàn)證結(jié)論，從而確保結(jié)果的真實(shí)性。

參考文獻(xiàn)：

[1]李晉彪.淺談數(shù)學(xué)中的類(lèi)比[J].太原教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，（S1）：86-88.

[2]陳愛(ài)清.種國(guó)富.類(lèi)比法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].北京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，（04）.

（作者簡(jiǎn)介：陳懿甜，石家莊第二中學(xué)，高中學(xué)歷，研究方向：數(shù)學(xué)方向。）