淺談數形結合在初中數學中的運用

歐陽恭倩

摘要：在初中數學的學習過程，對數形結合這種解題思想的熟練掌握與靈活運用十分重要。在解決相關問題時，合理使用數形結合思想，將抽象的數字轉化為具體的圖像，不僅能夠方便我們更好理解題目的含義，還能夠簡化解題步驟，減少計算量和錯誤率。同時，數形結合既可以分析相關問題的數據關系又可以直觀地看到該問題的幾何含義，巧妙的運用數形結合往往可以起到事半功倍的效果。

關鍵詞：初中數學；數形結合；思維

一、三角形問題與數形結合

1、勾股定理的推導。在初二下學期時，同學們開始接觸勾股定理，從“勾三股四弦五”開始我們對勾股定理的學習。勾股定理是指在平面上的一個直角三角形中，兩個直角邊邊長的平方和等于寫邊邊長的平方。在勾股定理的眾多推導方法中，無論是我國古代數學家劉徽的“青朱出入圖”或趙爽弦圖，還是國外數學家的加菲爾德證法與歐幾里得證法無一例外的都是通過圖形面積進而對勾股定理加以證明，因此，數形結合的重要性可見一斑。雖然同學們不需要對勾股定理進行證明，但在學習過程中搞懂勾股定理的推導過程能幫助我們更好的理解這一定理，同時，我們在解決勾股定理的相關題目時也可以利用圖形進行解題。例：求三邊長分別為√13、√89、√170的三角形的面積。這一題可以將13拆成2∧2+3∧2，89拆成5∧2+8∧2，170拆，7∧2+11∧2，以此構建一個寬為2+5，長為3+8的長方形，進而求得三角形面積。

2、三角函數。在數學學科的學習過程中，三角函數如一頭攔路猛虎，讓很多同學望而生畏，所以對于初中三角函數知識同學們要認真學習，為高中三角函數的學習打好基礎。上文提到的勾股定理也屬于三角函數的范疇。對于初中生來說，學習三角函數首先要清楚正弦、余弦及正切的定義，其次要熟記各特殊角的正弦值、余弦值及正切值，最后要掌握三角函數公式，如三角函數倍角公式：sin（2α）=2sinαcosα、cos（2α）=cos∧2（α）-sin∧2（α）=2cos∧2（α）-1=1-2sin∧2（α）、tan2=2tanα/[1-tan∧2（α）]。正弦值是在直角三角形中，對邊的長與斜邊的長的比值，余弦值是在直角三角形中鄰邊與斜邊的比值，正切值是在直角三角形中對邊與鄰邊的比值，因此我們可以利用數形結合來記憶和計算各角的正弦值、余弦值以及正切值。此外我們和可以結合平面直角坐標系的象限來記憶正弦值、余弦值以及正切值的正負，例如對于正切函數有“正一三負二四”，即正弦函數的值在一三象限為正，二四象限為負。

二、圓與數形結合

1、點與圓的位置關系。對于點與圓的位置關系的判斷這一問題，同學們也可以運用數形結合來解決。首先我們將已知點與圓心相連，設這條線段為d，將其與半徑r比較，若d大于r，則該點在圓外；若d小于r，則該點在圓內；若d等于r，則該點在圓上。這一問題通過畫圖可以十分清晰的解決，也能夠幫助學生直觀地理解點與圓的位置關系與數值之間的聯系。

2、直線與圓的位置關系。直線與圓有相離、相切、相交三種位置關系。通過作圖可以非常清楚的看出來，同時我們也可以用數字說明。方法如下：通過圓心向已知直線做垂線交于一點，記圓心到該點的長度為d，然后比較線段d與半徑r的大小關系，若d大于r，則該已知直線與圓無交點，即直線與圓的位置關系為相離；若d小于r，則已知直線與圓有兩個交點，即直線與圓相交；若d等于r，則已知直線與圓恰好有一個交點，即直線與圓相切。

3、圓與圓的位置關系。圓與圓的位置關系一共有外離、外切、相交、內切、內含、五種。圓與圓位置關系的判斷方法與點與圓的位置關系的判斷類似，首先我們要將兩圓圓心相連，記該線段長度為d，接著將其與兩圓半徑之和R+r比較，若d大于R+r，則兩圓的位置關系為外離；若d等于R+r，則兩圓的位置關系為外切；若d大于R-r且小于R+r，則兩圓的位置關系為相交；若d等于R-r，則兩圓的位置關系為內切；若d小于R-r，則兩圓的位置關系為內含。

由上述點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系的判斷可以看出，對于圖形位置關系的判定不僅可以通過作圖，還可以根據相關數據來進行判定，為解決相關問題又開辟了一個途徑。

三、結語

數形結合作為一種重要的解題方法，在我們的學習和思維過程中起著至關重要的作用，在初中數學的學習和教學活動中，教師要著重培養學生利用數形結合這一方法解決問題的意識，學生也要刻意多多運用這種方法，盡量做到看到可以運用數形結合解決的問題時，能夠第一時間想到與、利用其來解題，同時，數形結合更是一種思維方式，在看到相關題目時能夠將數據抽象為圖形，有時可以幫助學生找到更簡單、更巧妙的解題方法。因此，在初中數學的學習與教學過程中，要注意這種能力的培養。上述數形結合在數學中的運用例子只是眾多實例中的一小部分，數形結合這一方法在數學領域有著十分廣泛的運用，希望同學們可以正真掌握這一方法，從數學學習中獲得更多收獲與樂趣。

參考文獻

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