摭談高中數學數列問題的解題技巧

☉江蘇省泰州市姜堰區婁莊中學 陳愛蘭

數列是高中數學課程教學的重要內容，數列知識抽象難懂，一直是學生學習的難點，很多學生遇到數列問題不知所措，在各類測試中成為主要失分題型之一.為幫助學生切實掌握解答數列題目的方法，幫助學生樹立學習數列知識的自信心，數學教師應注重傳授數列問題的解題技巧，要求學生冷靜分析，總結解決數列問題的規律，提高解題正確率.本文根據高中數學教學實踐，采取理論與案例相結合的方式，總結、歸納出解決數列問題的技巧與方法，以期達到拋磚引玉之效.

一、巧用整體思想求解數列問題

利用等差、等比數列性質可順利求解一些數列題目，但是部分數列問題僅僅采用數列性質死套公式，求解難度反而加大，數列性質的靈活、巧妙運用顯得十分重要.眾所周知，無論等差還是等比數列通項公式中涉及很多量，解答一些題目時可不用求出每個量，從整體思想的角度進行數列公式的應用，不僅能保證解題的正確性，而且能顯著提高解題效率.

例1 設Sn為等差數列｛an｝的前n項之和，且滿足S6＞S7＞S5，則滿足SkSk+1＜0的正整數k為多少？

剖析：本題中的題設信息比較簡單，部分學生束手無策、無從下手，根據等差數列前n項之和與數列通項公式的關系可得，a6=S6-S5＞0，a7=S7-S6＜0，a6+a7＞0；此時從整體 思 想 角 度 出 發 可 知S12S13＜0，即滿足SkSk+1＜0的正整數k=12.

點評：本題的類型與傳統題目不同，解答中需要一定的技巧，發現技巧需要能夠靈活應用所學的數列知識，不能被傳統解題思維限制，題中不能直接求解數列中某一項的具體值，根據整體思想進行整體代換，化難為易；作為高中數學教師，在數列教學實踐中，應該注重引導學生，不能盲目地亂套公式，遇到題目不要急于動筆，進行必要的思考與分析，找到解題切入點，切不可思維定式，走入解題的誤區.

二、活用奇偶分析法求解數列問題

數列問題中有一種題型涉及符號數列的遞推式問題，奇數項與偶數項的通項公式不同，求解時需要區別開來；針對這種題型可以靈活運用奇偶分析法進行處理，分別討論奇數項和偶數項的通項公式，再進行相關問題的求解.

例2 已知數列｛an｝的通項公式為an=22n+1，bn=（-1）n-1·，求數列｛bn｝的前n項和Tn.

點評：本題涉及符號問題，采用奇偶分析法是常用的一種手段.在教學實踐中，部分學生對奇數項和偶數項的個數判讀不準確，或者部分學生不知道進行奇偶項數進行討論，這些都是導致解題出錯的重要原因.教學實踐中發現，題中多項式的裂項處理也是學生容易“卡殼”之處，教師在教學中注意引導學生掌握“奇偶分析法”的解題技巧，注重解題思想方法的總結與反思.

三、借用通項放縮法求解數列問題

數列證明題是高中數列問題中的常見題型，在各級考試中出現的頻率較高，通常具有較強的綜合性，能夠較好地考查學生應用技巧解題的能力.部分學生遇到此類問題時，根本不知道怎么證明；或者，證明過程較為模糊，過程不規范，雖然得出最終結果，但不能得全分，究其原因在于解題思路不清晰.實踐表明，放縮法是數列證明中常用的方法之一，數學教師引導學生進行模仿、思考，將學習的知識轉化為能力，進行順利解題.

例3 已知數列｛an｝的通項公式為an=，令Sn為其前n項和，求證：對于一切n∈N*都有Sn＜2.

剖析：分析數列｛an｝的通項公式及要證明的結論，直接利用通項公式進行求和證明顯然是行不通的，這里可以將數列通項式進行放縮處理，即.經過放縮后發現，當n=1時分母為零，當n≥2時，分母不為零；必須進行n=1和n≥2兩種情況的分類討論；當n=1時則對于一切n∈N*都有Sn＜2.

點評：本題的難點在于如何進行有效放縮，在解題教學實踐中，由于放縮尺度把握不準，導致放縮失敗無法解題的情況較多.理論上，對于這種放縮前后兩項差異越小越好，當然要具體問題具體分析；譬如，的放縮”等形式，在具體題目中可以選擇適合的放縮方式進行；放縮節點選擇也是解題成敗的關鍵之處，數學教師可以提供學生訓練與思考的案例，讓學生在實踐中提升解題能力和技巧.

四、妙用構造法求解數列問題

在教學實踐中，對于數列問題存在一些特殊的考查形式，這種數列問題利用等差或等比數列通項公式難以直接求解；可以結合等差或等比數列性質，將題設信息進行等價變換，構造出熟悉的等差或等比數列進行求解.解決此類題目的關鍵在于如何構造合適的數列，這就需要我們數學教師引導學生在實踐中熟練掌握構造數列的方法與技巧.

例4 Sn為數列｛an｝的前n項和，滿足關系式2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*，其中a1，a2+5，a3為等差數列，求an.

剖析： 根據題意得a1+a3=2（a2+5），2S1=a2-22+1=2a1，2S2=a3-23+1=2（a1+a2），則a1=1，a2=5，a3=19.

根據2Sn=an+1-2n+1+1可知，當n≥2時，2Sn-1=an-2n+1，將兩式相減可得2an=an+1-an-2n，即an+1=3an+2n，當n=1時，a2=3a1+22滿足an+1=3an+2n，在等式an+1=3an+2n兩邊均除以2n+1

點評：本題題設信息看似簡單，實際難度較大.首先，要分析題設信息求出a1，a2，a3的值；其次，對關系式an+1=3an+2n合理構造出等比數列（解題的關鍵點）；最后，根據等比數列性質進行化簡變形得出結論！教學實踐中，數學教師可以引導學生對構造數列的方法進行總結與思考，促進學生解題效率的提升.

總而言之，高中數列問題難度大，題型多變，很多學生不容易掌握，作為高中數學教師應結合學生實際情況及數列性質特點，采取有效的教學方法，幫助學生厘清相關題型的解題思路，掌握解題技巧與方法；引導學生做好不同數列題型的總結分析，掌握不同數列題型的命題規律，活學活用，進而突破難點.