圓錐曲線切線的幾何畫法與證明

☉湖北省陽新縣第一中學 石裕望

在做圓錐曲線的習題時，經常會涉及圓錐曲線的切線，需要在圖上畫出圓錐曲線的切線，但高中數學教材和課外輔導材料都沒有提供其畫法.本人為此進行了探索，研究并總結出了兩種只用直尺、三角尺等常規畫線工具就可以準確地畫出圓錐曲線上某一點的切線的幾何畫法，現以命題的形式介紹如下.

一、對稱點法

所謂對稱點法，就是利用圓錐曲線上已知點的軸對稱點和圓錐曲線的頂點，畫出圓錐曲線上已知點的切線的方法.

（一）橢圓的切線

命題1 如圖1所示，點P是橢圓上的一點，點A，B是橢圓長軸上的兩個頂點，過點P作長軸線的垂線交橢圓于點Q（即點P關于長軸的對稱點），再作直線AP，QB，設它們交于點M，再過點M作長軸線的垂線交長軸線于點N，則直線PN是橢圓上點P的切線.

圖1

圖2

另外，還可知點Q坐標為（x0，-y0），點A坐標為（-a，0），點B坐標為（a，0），

直線AP、QB的交點M滿足如下方程組：

所以直線PN就是橢圓上過點P的切線.

以上是利用長軸作畫.經進一步研究發現，也可以利用短軸作畫，其方法是一樣的，即有：

命題2 如圖2所示，點P是橢圓上的一點，點A，B是橢圓短軸上的兩個頂點，過點P作短軸線的垂線交橢圓于點Q（即點P的短軸對稱點），再作直線AP，QB，設它們交于點M，再過點M作短軸線的垂線交短軸線于點N，則直線PN是橢圓上點P的切線.

命題2的證明方法同命題1.

（二）雙曲線的切線

命題3 如圖3所示，點P是雙曲線上的一點，點A，B是雙曲線實軸上的兩個頂點，過點P作實軸線的垂線交雙曲線于點Q（即點P關于實軸的對稱點），再作直線AP，QB，設它們交于點M，再過點M作實軸線的垂線交實軸線于點N，則直線PN是雙曲線上點P的切線.

命題3的證明方法與上述的橢圓切線完全相同.

圖3

（三）拋物線的切線

命題4 如圖4所示，點P是拋物線上的一點，過點P作軸線的垂線交拋物線于點Q（即點P關于軸的對稱點）、交軸線于點G，過點P作軸線的平行線l，連接點Q和拋物線頂點O的直線交直線l于點M，再過點M作軸線的垂線交軸線于點N，則直線PN是拋物線上點P的切線.

圖4

證明：設拋物線的方程為y2=2px，點P（x0，y0）在拋物線上，則2px，且拋物線上過點P的切線的斜率0（證明略）.

另外，還可知點Q坐標為（x0，-y0），△MON≌△QOG，得N點坐標為（-x0，0）.

所以直線PN就是拋物線上過點P的切線.

二、中點法

所謂中點法，就是利用某一特定線段的中點，畫出圓錐曲線上已知點的切線的方法.

（一）橢圓的切線

命題5 如圖5所示，點P是橢圓上的一點，點A，B是橢圓長軸上的兩個頂點，過點B作長軸線的垂線交直線AP于點M，點N是線段BM的中點，則直線PN是橢圓上點P的切線.

圖5

圖6

因為點A坐標為（-a，0），點B坐標為（a，0），不難求得

所以直線PN就是橢圓上過點P的切線.

以上是利用長軸頂點作畫.同樣，經進一步研究發現，也可以利用短軸頂點作畫，其方法是一樣的，即有：

命題6 如圖6所示，點P是橢圓上的一點，點A，B是橢圓短軸上的兩個頂點，過點B作短軸線的垂線交直線AP于點M，點N是線段BM的中點，則直線PN是橢圓上點P的切線.

命題6的證明方法同命題5.

（二）雙曲線的切線

命題7 如圖7所示，點P是雙曲線上的一點，點A，B是雙曲線實軸上的兩個頂點，過點B作實軸線的垂線交直線AP于點M，點N是線段BM的中點，則直線PN是雙曲線上點P的切線.

命題7的證明方法與上述的橢圓切線完全相同.

圖7

圖8

（三）拋物線的切線

命題8 如圖8所示，點P是拋物線上的一點，坐標軸原點O是拋物線的頂點，過點P作軸線的平行線交y軸于點M，點N是線段OM的中點，則直線PN是拋物線上點P的切線.

證明：設拋物線的方程為y2=2px，點P（x0，y0）在拋物線上，則拋物線上過點P的切線的斜率

另外，還可知點M的坐標為（0，y0），N點坐標為

所以直線PN就是拋物線上過點P的切線.

1.相生亞，裘良.圓錐曲線的一類切線的幾何畫法.數學通報，2004（2）.