構(gòu)造函數(shù)解決極值點(diǎn)偏移問(wèn)題

☉武穴市教育科學(xué)研究院 劉全豐

☉武 穴 市 育 才 高 中 吳加興

近年來(lái)，導(dǎo)數(shù)一直是高考的壓軸題，常常需要構(gòu)造函數(shù)，但是如何構(gòu)造，一直是函數(shù)的難點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn).近幾年高考題中出現(xiàn)了很多需要構(gòu)造函數(shù)的題，其中不乏一些偏移點(diǎn)的問(wèn)題，這更是讓學(xué)生感覺(jué)無(wú)從入手，部分學(xué)生有思路，但是沒(méi)有方法.本文就對(duì)函數(shù)的偏移點(diǎn)問(wèn)題談一點(diǎn)想法，希望能夠?qū)W(xué)生有一些幫助.

例1設(shè)函數(shù)（fx）=lnx-ax（2a∈R）.

（2）在（1）的條件下，若有（fm）=（fn），m＜n，證明：m+n＞4a.

（2）證法1：因?yàn)閒（m）=f（n），

所以lnm-am2=lnn-an2，

a（m2-n2）=lnm-lnn，

為了消元，達(dá)到構(gòu)造的目的，對(duì)于本題我們不妨兩邊同時(shí)乘以（m+n），要使不等式成立，令即證（m+

所以原不等式成立.

f′（x）＞0，0＜x＜1；

f′（x）＜0，x＞1.

所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，如圖1.

構(gòu)造g（x）=f（2-x）-f（x）（0＜x＜1），

圖1

g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，

故g（x）＞g（1）=0.

所以f（2-x）＞f（x），f（2-m）＞f（m）=f（n）.

所以2-m＞1，n＞1，所以2-m＜n，所以m+n＞2.

這種解法它主要是通過(guò)數(shù)形結(jié)合建構(gòu)m，n之間的關(guān)系，把m，n轉(zhuǎn)換到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上.本題由結(jié)論我們可以知道n＞2-m＞1，所以f（n）＞f（2-m），即f（m）＞f（2-m），因此可以構(gòu)建新函數(shù)g（x）=f（2-x）-f（x）（0＜x＜1），從而很容易得出.

（A）f（′x0）＞0（B）f（′x0）=0

（C）f′（x0）＜0（D）f′（x0）不確定

所以f″（x）=0存在零點(diǎn)x0.

因?yàn)閤1，x2∈（0，π），x1≠x2且（fx1）=（fx2），

F（′x）=f（′x）+f（′ π-x）=2-2sinx＞0，

所以f（x）＜f（π-x）.

令x=x1，f（π-x1）＞f（x1）=f（x2），

所以π-x1＜x2，

圖2

例3（2016年全國(guó)卷Ⅰ）已知（fx）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個(gè)零點(diǎn).

（1）求a的取值范圍；

（2）設(shè)x1，x2是f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1+x2＜2.

解析：（1）a∈（0，+∞），過(guò)程略.

（2）不妨設(shè)x1＜x2，由（1）易知，x1∈（-∞，1），x2∈（1，+∞），2-x2∈（-∞，1），又f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，如圖3.

構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-f（2-x），x＜1，

g（x）=（x-2）ex+xe2-x，

g′（x）=（x-1）（ex-e2-x）.

當(dāng)x＜1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，g（x）＜g（1）=0，

所以f（x）＜f（2-x），

所以f（x1）＜f（2-x1），

所以f（x2）＜f（2-x1）.

又x2＞1，2-x1＞1，

圖3

所以f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，

x2＜2-x1，x1+x2＜2.

本題也是為了得到x1，x2之間的關(guān)系，從而構(gòu)建g（x）=f（x）-f（2-x），x＜1.這樣能夠把x1，x2轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，利用單調(diào)性來(lái)進(jìn)行處理.

【問(wèn)題反思】極值點(diǎn)偏移：對(duì)于函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）只有一個(gè)極值點(diǎn)x0，方程f（x）=0的解分別為x1，x2，且a＜則稱y=f（x）在（x1，x2）上極值點(diǎn)x0偏移.當(dāng)，則稱函數(shù)y=（fx）在區(qū)間（x1，x2）上極值點(diǎn)x0向左偏移；當(dāng)，則稱函數(shù)y=（fx）在區(qū)間（x1，x2）上極值點(diǎn)x0向右偏移.

圖4

解決方法：（1）若y=f（x）在區(qū)間（a，b）只有一個(gè)極大值點(diǎn)x0，則其大致圖象如圖4，則可以發(fā)現(xiàn)：若x1到x0的距離為x，當(dāng)x0左移時(shí)，f（x0+x）＞f（x0-x）；當(dāng)x0右移時(shí)，f（x0+x）＜f（x0-x）.此時(shí)0＜x＜x0-a.所以我們可以構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x0-x）-f（x0+x）（0＜x＜x0-a）.有時(shí)為了方便，不妨令t=x0-x（a＜t＜x0），因此對(duì)于此類問(wèn)題我們也可以構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-f（2x0-x）（a＜x＜x0），然后進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換即可求證.

（2）若y=f（x）在區(qū)間（a，b）只有一個(gè)極小值點(diǎn)x0，做法同上，只是函數(shù)在各自的區(qū)間上單調(diào)性不同而已.

很多函數(shù)的題目看起來(lái)很難，只要我們把握住數(shù)形結(jié)合這個(gè)武器，克服畏難情緒，認(rèn)真分析，注意細(xì)節(jié)，我們一定能夠體會(huì)到成功帶給我們的喜悅.