高中數學實驗室對數學教學的影響

馬恩榮

【摘 要】本文論述高中數學實驗室對教師教學方式、學生學習方式和解題教學三個方面的影響，認為在高中數學教學中適當運用數學實驗室的相關數學工具能夠較好地幫助教師的教和學生的學，有利于培養學生的探究能力，培養學生數學抽象、數學建模等數學素養，培養和提高學生獨立分析問題和解決問題的能力，使新型探究式教學成為可能。

【關鍵詞】高中數學實驗室 圖形計算器 教學方式 學習方式 解題教學

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）11B-0028-03

隨著信息技術的迅猛發展，以規尺粉筆為主的數學課堂已經無法滿足教學需要，以 PPT、圖形計算器、幾何畫板等為代表的教學輔助工具逐步深入課堂，老師的教學手段和學生的學習方式正在經歷粉筆到鼠標、筆尖到指尖的革命性變化。2014 年 3 月 15 日，教育部《中小學“數學實驗室”建設的研究》開題會在北京召開，會議對高中數學實驗室建設標準等問題做了討論、對研究做了具體規劃。各地區也陸續建立有特色的數學實驗室，并使用數學實驗室進行部分內容的教學。那么，數學實驗室環境下信息技術與數學教學的深度融合有哪些促進，高中數學實驗室對數學教學究竟有什么影響呢？

一、對教師教學方式的影響

從下面函數圖象可視化、概念情景化和數據處理智能化三個案例的實踐中可以看到，在高中數學實驗室的支持下，數學教學不僅可以采用“演示—講授”模式（傳統教學模式，教師在講解的過程中，利用投影展示來突出教學重、難點），還可以采用“發現—探究”模式，該模式下，教師是課堂學習情境的創造者、課堂學習活動的組織者，突出以學生為主體，注重學生主動發現問題、解決問題的能力和創造力的培養。在一些數學探究價值較高的內容上，比如對數函數圖象和方程曲線問題的探討、某些結論的發現等，“發現—探究”模式可以培養學生發現問題——提出猜想——驗證解決問題的探究意識和思維能力。高中數學實驗室拓寬了教學的渠道，讓新型探究式教學成為可能。

（一）幾類不同增長的函數模型

人教 A 版教科書中幾類不同增長的函數模型一節有兩個例題，用具體的例子比較了二次函數、指數函數和對數函數的增長情況。在圖形計算器技術支持下，教師可以利用圖形計算器的圖形功能直接畫出函數 y=2x，y=x2 和 y=log2x 的圖象（如圖 1），借助圖形計算器圖解功能標出函數圖象的交點（圖形計算器可以標出所有交點），使學生有觀察的材料。課堂教學實踐表明，學生很容易總結出這三類函數模型的增長特點。

（二）偶函數概念的教學

利用圖形計算器可以幫助學生更好地理解偶函數的概念。什么叫作偶函數呢？學生可能會聯系到偶數的概念。此時教師可以列舉一系列的偶函數，如 y=x-4，y=x-2，y=x0，y=x2，y=x4。從中學生很容易發現這些函數的指數都是偶數。教師（或學生）利用圖形計算器做出這些函數的圖象（依次如圖 2 所示），讓學生觀察這些圖象的共同點。學生不難發現這些函數的圖象都是關于 y 軸對稱的，而這就是偶函數概念的本質。

（三）回歸分析

《普通高中數學課程標準（實驗）》提出，“統計教學必須通過案例來進行”。在線性回歸教學的基礎上，教師提供具體情境—— 一張橋拱的照片，提問怎樣用一個函數來擬合橋拱的形狀模式。學生自然會聯想到二次函數，但是怎樣求得這個用于擬合的二次函數呢？學生不太清楚。此時教師可以借助圖形計算器展示整個過程：描點，收集數據，二次回歸，繪圖觀察擬合的效果（見圖 3）。經歷這一過程，學生對數據處理的全過程以及統計學的基本思想就會有深刻印象，得到更好的理解。

二、對學生學習方式的影響

借助圖形計算器和動態幾何軟件，學生可以動手編制程序模擬隨機現象，可以跟蹤動點軌跡探究方程曲線，可以計算、作圖輔助思考等。高中數學實驗室為學生提供自主探究的平臺，拓寬學生的學習渠道。一般高中數學探究過程包括觀察分析數學事實，提出有意義的數學問題，猜測、探求適當的數學結論或規律，給出解釋或證明。高中數學實驗室內圖形計算器以及幾何畫板等是學生自主探究的平臺，這些技術不僅是學習和探究的工具，而且還可以幫助學生進行思考。在這些技術支持下，學生探究更加直接，學習方式更加豐富有效。

（一）幾何概型經典例子——為學生提供自主探究平臺

在普通高中人教 A 版必修 3 第 137 頁有這樣一個經典的幾何概型問題：

假設你家訂了一份報紙，送報人可能在早上 6：30-7：30 之間把報紙送到你家，你父親離開家去工作的時間在早上 7：00-8：00 之間，問你父親離開家前能拿到報紙的概率是多少？

雖然學生或多或少能體會到這是幾何概型的問題，但學生并不能很好地解決這個問題，因為他們不明白這里的測度是長度還是面積。如果有圖形計算器作為技術支持，那么在這樣的情況下，學生就可以寫出程序模擬這個過程，得到一個近似的結果。這個近似的結果不僅可以幫助學生思考，而且還有驗證的作用。本問題涉及兩個隨機變量，不妨設為 x 與 y。它們分別在區間[6.5，7.5]和[7，8]內，當 x≤y 時，父親能拿到報紙。以下是學生編寫的程序和運行結果：endprint

（二）中點軌跡——輔助理解

對于某些動態軌跡問題，學生可能一時無法判斷軌跡是什么，這時他們可以自己動手利用圖形計算器或者幾何畫板軟件來跟蹤軌跡，輔助理解和判斷。

例如，已知定點 D（4，0）和曲線 x2+y2=1 上動點 C，求 CD 中點 E 的軌跡方程。

圖形計算器和幾何畫板軟件等均可以完成中點軌跡跟蹤，但實踐證明，由于圖形計算器界面太小且手動作圖不夠靈敏，故這類問題采用幾何畫板或超級畫板更具優勢。以下是利用幾何畫板做的中點軌跡跟蹤，可見中點的軌跡是一個圓，并且圓心的位置和半徑的大小均得到一定程度的揭示。此時，學生對這個題目已經有所了解，回過頭來求該軌跡的方程時已經有明確的方向，信心十足。

三、對解題教學的影響

在涉及函數圖象的一些問題中，數形結合往往可以提供好的解題思路。但不是所有的圖象都容易動手畫出，這時圖形計算器就是一個好幫手。借助圖形計算器作圖，進行數形結合就可以幫助學生進行思考，開闊思路、縮短思考路徑，從而獲得好的解題思路。圖形計算器的計算功能可以為解題教學（計算繁雜的情況下）爭取時間，讓教學重點更突出。值得指出的是，圖形計算器可以輔助思考，幫助獲得解題思路，但并不能提高解題能力。解題中解題回顧尤其重要，只有在解題后對尋求解答的整個思考過程進行梳理才能真正提高解題能力。

（一）函數應用題——數形結合促進思考

以下這個例題是桂林市 2014—2015 年度上學期高一數學期末考試的壓軸題。通過對學生答題情況的分析，發現學生能完成第（1）題，但第（2）題，有的學生沒有思路，有的學生證明不嚴謹。題目如下：

標準答案很簡潔，然而學生需要知道的是為什么要這樣做。這個解答的想路是怎么來的？有沒有其他的解法？

為加深理解，不妨將問題特殊化，令 a=2，借助圖計算器作 的圖象。畫圖如下：

在圖形函數中輸入函數解析式，畫出圖象后利用圖解功能標出函數零點。由圖可知，函數圖象分為兩部分，左部在橫軸上方，右部圖象在（-1，+∞）上單調上升，函數只有一個 0 點，且 0 點對應的 x 大于 0 。觀察到這些特點，原命題的證明就有了思路，證明分為兩部分。一部分證明，當 x<-1 時，f（x）>0，即函數在（-∞，-1）上無 0 點；另一部分，證明當 x>-1 時，函數只有一個 0 點，且該 0 點對應的 x 大于0。于是得到以下證明：

〖證明〗當 x<-1 時，有 ax>0，，故 ，即函數在（-∞，-1）上無 0 點。當 x>-1 時，函數 f（x）在（-1，+∞）上遞增，故 f（x）在（-1，+∞）上至多有一個 0 點。考慮到 f（0）=1-2<0， f（2）=a2>0，故函數的唯一 0 點在（0，2）內。

綜上，函數 f（x）無負的零點，即方程 f（x）=0無負根。

（二）獨立性檢驗——強大計算輔助

圖形計算器有較強的計算功能，在解題中如果遇到一些繁瑣而沒必要手算的計算時，可以使用圖形計算器。例如，在人教 A 版選修 1-2 獨立性檢驗的基本思想及其初步應用中，獨立性檢驗思想是教學的重點，計算則不是。下面以例 1 來具體說明。

〖例 1〗在某醫院，因為患心臟病而住院的 665 名男性病人中，有 214 人禿頂；而另外 772 名不是因為患心臟病而住院的男性病人中，有 175 人禿頂。判斷禿頂與患心臟病有沒有關系，能否在犯錯誤的概率不超過 0.010 的前提下認為禿頂與患心臟病有關系？

〖分析〗根據題目所給數據，得到如下列關聯表：

通過簡單計算不難發現，禿頂樣本中患心臟病的頻率明顯高于不禿頂樣本中患心臟病的頻率，因此可以認為禿頂與患心臟病有關系。接下來就是判斷能否在犯錯誤的概率不超過 0.010 的前提下認為禿頂與患心臟病有關系。據數據有：

顯然，這個計算思維含量較少，對學生而言較繁雜，并且不是教學的重點，如果利用圖形計算器的計算功能來幫助計算那么就十分方便。用圖形計算器算得 k=16.373>6.635。因此，在犯錯誤的概率不超過 0.010 的前提下，認為禿頂與患心臟病有關系。

總之，高中數學實驗室可以拓寬教師的教和學生的學的渠道，可以幫助學生思考，讓新型探究式教學成為可能，讓學生的自主探究有了很好的環境和輔助工具，對發展學生數學抽象、數學建模等數學素養，培養和提高學生獨立分析問題和解決問題的能力有著十分重要的作用。

【參考文獻】

[1]張 銳.信息技術與數學課程整合的教學模式探討[J].電化教育研究，2007（12）

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2011

（責編 盧建龍）endprint