淺談數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用

摘要：數(shù)學(xué)作為一門工具學(xué)科，在眾多科目學(xué)習(xí)中都發(fā)揮著重要作用。在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中會(huì)用到較多的數(shù)學(xué)思想，數(shù)形結(jié)合作為使用率較高的一種數(shù)學(xué)思想，通過(guò)數(shù)形結(jié)合方法能夠使得數(shù)學(xué)問(wèn)題更加直觀準(zhǔn)確，有利于對(duì)問(wèn)題的分析，進(jìn)而提高解題效率。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)解題；應(yīng)用分析

引言：

所謂的數(shù)形結(jié)合就是在問(wèn)題分析過(guò)程中根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而用其解決相關(guān)問(wèn)題，在具體分析中數(shù)形結(jié)合思想能夠“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題形象化，通過(guò)數(shù)形結(jié)合有助于抓住數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，便于更快更準(zhǔn)確的解決問(wèn)題。本文主要對(duì)數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用進(jìn)行分析。

一、數(shù)形結(jié)合在不同數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合思想在眾多數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中都發(fā)揮著重要作用。數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)中會(huì)涉及到較多內(nèi)容，因而在較多問(wèn)題解決中都可采用數(shù)形結(jié)合方法。數(shù)形結(jié)合可應(yīng)用到以下問(wèn)題分析中：

1、絕對(duì)值問(wèn)題

絕對(duì)值屬于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的常見問(wèn)題，絕對(duì)值的學(xué)習(xí)對(duì)于有理數(shù)運(yùn)算的意義以及實(shí)際解題均有重要意義。在絕對(duì)值代數(shù)意義以及幾何意義理解過(guò)程中可采用數(shù)形結(jié)合。尤其是在有理數(shù)計(jì)算過(guò)程中出現(xiàn)的絕對(duì)值，可將其通過(guò)數(shù)軸的形式展示出來(lái)，根據(jù)數(shù)軸快速做出判斷。

2、數(shù)學(xué)方程以及數(shù)學(xué)不等式

數(shù)學(xué)中的方程問(wèn)題可以通過(guò)轉(zhuǎn)化成為不同函數(shù)對(duì)應(yīng)的交點(diǎn)問(wèn)題，對(duì)于方程組而言，同樣的可以將其轉(zhuǎn)化為不同函數(shù)圖像對(duì)應(yīng)曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了代數(shù)知識(shí)和幾何知識(shí)的有機(jī)結(jié)合。對(duì)于不等式而言，仍然可以將其轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像，然后依據(jù)不等式成立的條件對(duì)不等式取值范圍做出分析。如一次函數(shù)圖像為直線，二次函數(shù)圖像為拋物線；反比例函數(shù)圖像為拋物線；三角函數(shù)圖像為正弦式曲線等，掌握這些常見函數(shù)的圖像對(duì)于解決相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題具有重要作用[1]。

3、線性規(guī)劃問(wèn)題

線性規(guī)劃問(wèn)題在實(shí)際生活中應(yīng)用較多，比如：人力調(diào)配、資源利用等，由于線性規(guī)劃問(wèn)題實(shí)際應(yīng)用范圍較廣，因而關(guān)于這方面的知識(shí)在學(xué)習(xí)中國(guó)也得到了高度重視。線性規(guī)劃問(wèn)題在分析中主要是根據(jù)約束條件、線性約束條件、目標(biāo)函數(shù)、現(xiàn)行目標(biāo)函數(shù)等求解出對(duì)應(yīng)的可行解和可行域，然后確定出在函數(shù)最大值或者最小值情況下對(duì)應(yīng)的可行解。在線性規(guī)劃問(wèn)題解決中通過(guò)數(shù)形結(jié)合有助于明確可行解。

4、三角函數(shù)問(wèn)題

三角函數(shù)圖象和性質(zhì)屬于平面三角中的重要內(nèi)容，三角函數(shù)具有周期性以及“多對(duì)一”的特性，在三角函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)某一區(qū)間大小比較等方面，可采用數(shù)形結(jié)合思想，根據(jù)不同三角函數(shù)圖像對(duì)其做出判斷和分析。借助于三角函數(shù)圖像實(shí)現(xiàn)三角函數(shù)和代數(shù)函數(shù)的組合，使得相關(guān)問(wèn)題解決更加便捷。

數(shù)學(xué)結(jié)合思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中發(fā)揮著重要作用。當(dāng)然實(shí)際應(yīng)用范圍較廣，在實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題分析中可根據(jù)具體的問(wèn)題考慮是否采用數(shù)形結(jié)合。

二、數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用思路

數(shù)形結(jié)合在相關(guān)問(wèn)題分析中主要從三個(gè)方面進(jìn)行應(yīng)用，其一就是將數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題，根據(jù)給出的數(shù)學(xué)問(wèn)題繪制對(duì)應(yīng)的圖形。當(dāng)然繪制圖像的前提就是掌握不同函數(shù)圖像、幾何知識(shí)圖像等，對(duì)于給出的問(wèn)題能夠繪制圖像，這樣才能實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合；其二就是能夠從給出的圖形中捕捉到關(guān)鍵信息，對(duì)于直觀無(wú)法做出判斷的，可對(duì)部分圖象進(jìn)行賦值，進(jìn)而得出相應(yīng)的規(guī)律；其三就是兼顧數(shù)學(xué)知識(shí)和圖形，實(shí)現(xiàn)數(shù)形互變，同時(shí)將原有問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形以及數(shù)學(xué)知識(shí)。

三、數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中數(shù)形結(jié)合實(shí)例分析

1、數(shù)形結(jié)合在方程解個(gè)數(shù)確定中的應(yīng)用

方程確定解個(gè)數(shù)過(guò)程中可采用數(shù)形結(jié)合思想，也就是將方程轉(zhuǎn)化為不同曲線交點(diǎn)問(wèn)題。然后通過(guò)繪制相應(yīng)的圖像對(duì)解的個(gè)數(shù)做出判斷。

比如：在方程X2-2X-3=a解的個(gè)數(shù)確定過(guò)程中，可將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，也就是函數(shù)y=a與函數(shù)y=|x2-2x-3|交點(diǎn)問(wèn)題。其中函數(shù)y=a的圖像為直線，而y=|x2-2x-3|的函數(shù)圖像可先做出拋物線y=x2-2x-3圖像，根據(jù)絕對(duì)值的意義，y始終為非負(fù)數(shù)，因而需要將原有圖像中X軸線下方的圖像向上翻，最終得到函數(shù)y=|x2-2x-3|的圖像，根據(jù)兩者的交點(diǎn)，可以對(duì)解的個(gè)數(shù)做出判斷。通過(guò)圖像分析后，可知，當(dāng)a<0的情況下，沒有交點(diǎn)，無(wú)解；當(dāng)a=0或者a>4的時(shí)候，有兩個(gè)解；當(dāng)0

通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用能夠直觀地對(duì)方程解個(gè)數(shù)做出判斷，提高解題效率。

2、在三角函數(shù)中的應(yīng)用

比如在函數(shù)y=（cosθ-cosα+3）2+（sinθ-sinα-2）2極值求解過(guò)程中，可將上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)不斷變化點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，其中一點(diǎn)坐標(biāo)為（cosθ，sinθ）另外一點(diǎn)坐標(biāo)為（cosα-3，

sinσ+2），通過(guò)轉(zhuǎn)化，上述兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的軌跡方程為x2+y2=1以及（x+3）2+（y-2）2=1，兩者均為圓，根據(jù)繪制的圖形，可得到最大值和最小值，其中最大值為2+

，最小值為

-2。

通過(guò)數(shù)形轉(zhuǎn)化將原本復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，然后借助于特殊函數(shù)的圖像特點(diǎn)，完成問(wèn)題的分析和解答[2]。

結(jié)束語(yǔ)：

數(shù)形結(jié)合思想作為一種重要的解題思路，在數(shù)學(xué)問(wèn)題分析中具有重要的應(yīng)用價(jià)值，大多數(shù)數(shù)學(xué)問(wèn)題都可以通過(guò)轉(zhuǎn)化繪制出對(duì)應(yīng)的圖形或者是根據(jù)圖像獲取關(guān)鍵信息，便于更好的解決各類應(yīng)用問(wèn)題。當(dāng)然數(shù)形結(jié)合方法應(yīng)用的前提就是明確數(shù)形結(jié)合思想，并對(duì)常見函數(shù)圖像、幾何知識(shí)性質(zhì)特點(diǎn)有全面了解，這樣在實(shí)際應(yīng)用中才能夠游刃有余。

參考文獻(xiàn)：

[1]陸一冰.試論數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].中國(guó)培訓(xùn)，2016（22）：204.

[2]陳向前.數(shù)形結(jié)合在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].中外企業(yè)家，2014（33）：171.

作者簡(jiǎn)介：張?jiān)歧?000.06.16—）女，漢族，陜西省漢中市人，高中學(xué)歷。