淺談數形結合在解題中的應用

摘要：數學作為一門工具學科，在眾多科目學習中都發揮著重要作用。在解決數學問題中會用到較多的數學思想，數形結合作為使用率較高的一種數學思想，通過數形結合方法能夠使得數學問題更加直觀準確，有利于對問題的分析，進而提高解題效率。

關鍵詞：數形結合；數學解題；應用分析

引言：

所謂的數形結合就是在問題分析過程中根據數與形之間的對應關系，實現數與形的轉化，進而用其解決相關問題，在具體分析中數形結合思想能夠“以形助數，以數解形”，將復雜問題簡單化，抽象問題形象化，通過數形結合有助于抓住數學問題的本質，便于更快更準確的解決問題。本文主要對數形結合在解題中的應用進行分析。

一、數形結合在不同數學知識點中的應用

數形結合思想在眾多數學問題解決中都發揮著重要作用。數學知識學習中會涉及到較多內容，因而在較多問題解決中都可采用數形結合方法。數形結合可應用到以下問題分析中：

1、絕對值問題

絕對值屬于數學學習中的常見問題，絕對值的學習對于有理數運算的意義以及實際解題均有重要意義。在絕對值代數意義以及幾何意義理解過程中可采用數形結合。尤其是在有理數計算過程中出現的絕對值，可將其通過數軸的形式展示出來，根據數軸快速做出判斷。

2、數學方程以及數學不等式

數學中的方程問題可以通過轉化成為不同函數對應的交點問題，對于方程組而言，同樣的可以將其轉化為不同函數圖像對應曲線的交點問題，實現了代數知識和幾何知識的有機結合。對于不等式而言，仍然可以將其轉化為對應的函數圖像，然后依據不等式成立的條件對不等式取值范圍做出分析。如一次函數圖像為直線，二次函數圖像為拋物線；反比例函數圖像為拋物線；三角函數圖像為正弦式曲線等，掌握這些常見函數的圖像對于解決相關數學問題具有重要作用[1]。

3、線性規劃問題

線性規劃問題在實際生活中應用較多，比如：人力調配、資源利用等，由于線性規劃問題實際應用范圍較廣，因而關于這方面的知識在學習中國也得到了高度重視。線性規劃問題在分析中主要是根據約束條件、線性約束條件、目標函數、現行目標函數等求解出對應的可行解和可行域，然后確定出在函數最大值或者最小值情況下對應的可行解。在線性規劃問題解決中通過數形結合有助于明確可行解。

4、三角函數問題

三角函數圖象和性質屬于平面三角中的重要內容，三角函數具有周期性以及“多對一”的特性，在三角函數的單調性、三角函數某一區間大小比較等方面，可采用數形結合思想，根據不同三角函數圖像對其做出判斷和分析。借助于三角函數圖像實現三角函數和代數函數的組合，使得相關問題解決更加便捷。

數學結合思想作為一種重要的數學思想，在解決數學問題中發揮著重要作用。當然實際應用范圍較廣，在實際數學問題分析中可根據具體的問題考慮是否采用數形結合。

二、數形結合在解題中的應用思路

數形結合在相關問題分析中主要從三個方面進行應用，其一就是將數學問題轉化為圖形問題，根據給出的數學問題繪制對應的圖形。當然繪制圖像的前提就是掌握不同函數圖像、幾何知識圖像等，對于給出的問題能夠繪制圖像，這樣才能實現數形結合；其二就是能夠從給出的圖形中捕捉到關鍵信息，對于直觀無法做出判斷的，可對部分圖象進行賦值，進而得出相應的規律；其三就是兼顧數學知識和圖形，實現數形互變，同時將原有問題轉化為圖形以及數學知識。

三、數學問題解決中數形結合實例分析

1、數形結合在方程解個數確定中的應用

方程確定解個數過程中可采用數形結合思想，也就是將方程轉化為不同曲線交點問題。然后通過繪制相應的圖像對解的個數做出判斷。

比如：在方程X2-2X-3=a解的個數確定過程中，可將其轉化為兩個函數交點問題，也就是函數y=a與函數y=|x2-2x-3|交點問題。其中函數y=a的圖像為直線，而y=|x2-2x-3|的函數圖像可先做出拋物線y=x2-2x-3圖像，根據絕對值的意義，y始終為非負數，因而需要將原有圖像中X軸線下方的圖像向上翻，最終得到函數y=|x2-2x-3|的圖像，根據兩者的交點，可以對解的個數做出判斷。通過圖像分析后，可知，當a<0的情況下，沒有交點，無解；當a=0或者a>4的時候，有兩個解；當0

通過數形結合思想的應用能夠直觀地對方程解個數做出判斷，提高解題效率。

2、在三角函數中的應用

比如在函數y=（cosθ-cosα+3）2+（sinθ-sinα-2）2極值求解過程中，可將上述問題轉化為兩個不斷變化點之間的距離問題，其中一點坐標為（cosθ，sinθ）另外一點坐標為（cosα-3，

sinσ+2），通過轉化，上述兩點對應的軌跡方程為x2+y2=1以及（x+3）2+（y-2）2=1，兩者均為圓，根據繪制的圖形，可得到最大值和最小值，其中最大值為2+

，最小值為

-2。

通過數形轉化將原本復雜的問題轉化為簡單問題，然后借助于特殊函數的圖像特點，完成問題的分析和解答[2]。

結束語：

數形結合思想作為一種重要的解題思路，在數學問題分析中具有重要的應用價值，大多數數學問題都可以通過轉化繪制出對應的圖形或者是根據圖像獲取關鍵信息，便于更好的解決各類應用問題。當然數形結合方法應用的前提就是明確數形結合思想，并對常見函數圖像、幾何知識性質特點有全面了解，這樣在實際應用中才能夠游刃有余。

參考文獻：

[1]陸一冰.試論數形結合思想在高中數學解題中的應用[J].中國培訓，2016（22）：204.

[2]陳向前.數形結合在中學數學解題中的應用[J].中外企業家，2014（33）：171.

作者簡介：張云琦（2000.06.16—）女，漢族，陜西省漢中市人，高中學歷。