運用數形結合，依托表象思維，培養數學思想

福建省泉州市豐澤區實驗小學 王鳳龍

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“通過義務教育階段的數學學習，學生能夠獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識以及基本的數學思想方法和必要的應用技能。”數學思想有許多，而數形結合思想就是其中一種重要的思想。華羅庚先生說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，割裂分家萬事休。”這句話足以證明“數形結合”在數學中的重要地位。下面就“數形結合”思想在小學數學教學中的應用談些粗淺的想法。

一、數形結合，直觀理解，建構概念

課標指出：幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學。數學概念的引入是學生形成概念的初始階段，是學生學習概念十分重要的環節。小學生以形象思維為主，在概念學習的初始階段，需要教師為學生提供實物、圖形等直觀材料，幫助學生在直觀感知的基礎上形成表象，深入理解，達到自主建構的目的。

例如北師大版三年級上冊《平均分》一課，教師首先提供了大量的直觀材料，有平均分與非平均分的圖，引導學生觀察并思考：“如果讓你分類，你準備怎么分？”學生激動興奮地回答：“可以把平均分的分一類，沒平均分的分一類。”在教師的啟發下，學生有了多種優化的分法。教師根據學生的回答，隱去不平均分的，留下平均分的，制作出平均分成2份、平均分成3份、平均分成4份等的表格。學生經過觀察、辨析、比較，初步形成了“整體與部分”的關系表象。有了平均分的豐富體驗后，教師又出示1個蛋糕平均分的過程：一個蛋糕用1表示，把它平均分成兩份，其中一份還能用1表示嗎？學生的認知一下子產生了沖突，一個新的數“二分之一”產生了，學生通過語言、動作等多種表征后，對蛋糕的二分之一有了初步的建構，并遷移到三角形的二分之一、圓形的二分之一等。教師不失時機地追問：“這些圖形的形狀、大小都不同，為什么都能表示二分之一？”學生再次產生思維的碰撞，在深入的討論、觀察、比較中，培養了學生透過現象發現其中本質的能力，學生對分數的內涵形成了更深刻的認識。

又如，“近似數”一課中，讓學生掌握用“四舍五入法”求一個數的近似數是本節課的教學重點。通常我們會直接告訴學生“四舍五入法” 這一概念，然后通過大量的練習來強化求近似數的方法。那么我們不妨反思：學生做對了是否表明學生已經很好地理解了“四舍五入法”的含義呢？是否有部分學生的解題活動完全建立在對概念的機械模仿上呢？事實上，這種機械模仿的情況是客觀存在的。如何幫助學生從本質上理解“四要舍、五要入”的意義呢？我們可以想到把直觀的數軸引進這節課，在數軸上找最近的路，把四舍五入放到數軸上展開學習，利用數形結合幫助學生建立一個形象的數學模型，從而加深學生對“四舍五入法”的理解。

正因為教師充分采取數形結合的教學策略，引導學生依托鮮活的“形”去思考凝練的“數”，讓學生用圖形說話、用圖形描述問題、用圖形討論問題，形成概念、發展規律，促進抽象思維的發展。

二、數形結合，演繹歸納，理解算理

在數的運算教學中，對于一些抽象的數學知識、運算定律等，可以充分利用圖形的幾何直觀，通過數形結合的方法，幫助學生理解和接受抽象的內容與方法，把握運算的本質，促進學生的數學思維。算理是四則運算的理論依據，是由數學概念、運算定律、運算性質等構成的，它是計算的原理與依據，而運算法則是四則運算的基本程序和方法。教學中要讓學生在理解算理的基礎上掌握算法，即“知其然又知其所以然”，可以以圖形為載體，巧妙地將算式與直觀圖形相結合，把抽象的算理具體化、形象化，運用直觀模型來幫助學生感知與理解算理。

例如在北師大版四年級上冊《乘法交換律和乘法結合律》一課，教師在一個集合圈中分別放了一堆紅色、藍色圓片，讓學生觀察思考：是紅圓片加藍圓片多，還是藍圓片加紅圓片多？學生通過直觀圖形，清楚地看明白無論怎么加，都是求這兩種圓片的總數，是一樣多的。教師接著出示3×4與4×3 方塊圖的集合圈，讓學生明白兩種乘法都是求一共有多少個方塊。好的教學一定是源于對內容本質的理性把握與深刻分析。實踐證明，圖形的支撐豐富和深化了學生對運算定律內涵的認識，更利于幫助學生建構運算律的模型，進一步幫助學生積累研究問題的經驗與方法，發展數學思維能力。

三、數形結合，靈活機變，解決問題

運用數形結合有時能使數量之間的內在聯系變得比較直觀，成為解決問題的有效方法之一。在分析問題的過程中，注意把數和形結合起來考察，根據問題的具體情形，把圖形的問題轉化為數量關系的問題，或者把數量關系的問題轉化為圖形的問題，使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，化難為易，能調動學生主動積極參與學習，能提高學生的思維能力。

如教學《圓的面積》后，教師提問：正方形的面積為8平方厘米，從中截取一個最大的圓，圓的面積是多少？學生遇到這樣的問題往往會覺得無從下手。這時，幾何直觀可以充分發揮其效力：幫助學生直觀地理解數學。把正方形平均分成四個小正方形，每個小正方形的面積就是2平方厘米。學生通過觀察可以發現，每個小正方形的邊長正好是圓的半徑。由此可知，圓半徑的平方就等于2平方厘米。學生一下子豁然開朗，解答本題，并不需要“按常規”“走老路”，而是靈活機變地另辟蹊徑，從圓的半徑的平方入手。

這樣借助圖形的直觀教學，可以讓學生的思維“跳出圈子”，以更靈活的角度來思考、分析、解決問題。經過這樣靈活變通的學習過程，培養了學生勇于嘗試、探索創新的精神，提高了學生解決問題的能力。

思維作為一個認知過程，總是與個體的動機、興趣情感等密切聯系并受其制約，相信只要不斷激發學生的興趣，啟迪學生的動機，就能夠有效地增強學生的邏輯思維能力和空間想象能力。巧妙地滲透、應用數形結合思想，既能為小學數學教學開辟一片廣闊的天地，又能為學生的終身學習和可持續發展奠定扎實的基礎。