臺灣部編版教材“分數除法”的編寫分析

葛敏輝　趙陽霞

[摘 要]“分數除法”是小學生比較難理解的一個學習內容，因此分析教材的編寫對于探索教學方法是十分有意義的。以“分數除法”這一課為切入點，從“理解計算意義、深入研究算理、概括計算法則、形成計算技能”四個維度來分析臺灣部編版教材“分數除法”的編寫，為進一步研究分數除法的計算教學提供新的思路。

[關鍵詞]臺灣部編版教材；分數除法；理解算理；分析

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）35-0009-03

臺灣部編版教材是臺灣最有影響力的教材之一，市場占有率達到65%。它是根據《國民中小學九年一貫課程綱要》編寫的，它把“分數除法”安排在五年級和六年級兩個年級（即第10冊和第11冊）進行教學。本文以“分數除法”這一課為切入點，從“理解計算意義、深入研究算理、概括計算法則、形成計算技能”四個維度來分析教材的編寫。

一、如何理解分數除法計算的意義？

《臺灣九年一貫數學課程暫行綱要》之“分數教學目標”中，五年級的“分數除以整數”的教學要求是“能在測量情境中，理解分數之整數相除的意涵”，六年級的“分數除以整數”的教學要求是“能理解除數為分數的意義及計算方法，并解決生活中的問題”，均力求讓學生在解決具體問題的情境中理解運算的意義。

臺灣部編版教材為幫助學生理解運算意義，在五年級的“分數除以整數”處建立了兩個模型：一是借助學生熟悉的“分物”情境來類比遷移，建立平均分模型；二是建立求倍數模型（A是B的幾倍？），即除法中包含除的模型。六年級的“分數除以整數”的復習課以及“除數為分數的分數除法”中都運用到這兩個模型。在模型中，讓學生理解分數除法與整數除法的意義相同——都是已知兩個乘數的積和其中一個乘數求另一個乘數的運算。

例如：

驗算的目的是進一步讓學生體會乘除的互逆關系以及理解分數除法的意義。

臺灣部編版教材在處理分數除法意義的理解上有以下特點：

（1）引導學生通過類比遷移理解分數除法意義。分數除法與整數除法意義相同，因此在分數除法的例題上選擇建立平均分模型和包含除模型，概念上注重打通知識間的聯系，通過類比遷移加深學生對概念的理解。

（2）選材關注學生的已有經驗。“分物”是除法運算的一個聯結因素，在熟悉的問題情境下，學生借助實際經驗和已有知識就能更好地理解運算意義。

二、如何理解分數除法的計算算理？

計算教學中的算理教學非常重要，為了讓學生真正理解算理，不同的編寫者往往有不同的側重點。

1.分數除以整數如何理解算理？

運算理解有四種類型：直觀理解、程序理解、抽象理解和形式理解。直觀理解就是用直觀圖形來說明運算結果的合理性；程序理解，通俗來說就是會計算；抽象理解就是用語言、算式說明結果的合理性；形式理解是用已知規則、規律基于邏輯推理證實運算結果的合理性。

臺灣部編版教材在處理分數除以整數的算理理解上屬于抽象理解，主要借助三重意義：除法的意義、分數的意義、分數乘法的意義來理解。例如，

根據除法的意義列出算式“÷3”，根據分數和分數乘法的意義列出算式“”，這兩個算式表示的意義相同，所以可以轉化。

理解分數除以整數的算理應包含兩個層次：第一層，理解分數除以整數需要的概念支撐（除法的意義、分數的意義、分數乘法的意義），這是第二層轉化必備的基礎；第二層，理解為什么要把除法轉化為乘法。

臺灣部編版教材在處理分數除以整數部分直接給出分子與整數不能整除的情況。例題中雖有借助直觀模型，但這里的直觀線段圖是為理解抽象意義服務的。

2.除數為分數的分數除法如何理解算理？

除數為分數的分數除法的算理是小學階段學生公認的難以理解的學習內容，臺灣部編版教材采用通分法來說明算理：從分母相同的分數除法開始研究，進而探索分母不同的分數除法。實際上早在2000年前的《九章算術》中就有通分方法記載。

同分母分數除法算理演繹過程：

同分母分數除法的算理理解上屬于直觀理解：借助線段圖，通過數形結合讓學生理解“分母相同的情況下求倍數實際上可以化成整數的包含除的關系”。例題中的提示語是引導圖示中要揭示的思維過程。四則運算本質是相同計數單位的個數的運算。同分母分數計數單位相同，把分數除法轉化為分子相除的整數除法。

下面是異分母分數除法算理的演繹過程。

教材中先出示引導語：

異分母分數除法主要借助同分母加減法和同分母分數除法的遷移，第一步，通分，把不同的分數單位化成相同的分數單位后再計算，第二步，轉化為整數除法包含除的關系。這里所需的“知識包”包含：整數除法的知識，分數的基本性質和通分（臺灣部編版教材叫“擴分”）。因此，異分母分數除法的算理是先通分再化歸到“同分母分數的除法”。

從上面的分析可以看出，臺灣部編版教材在引導學生理解計算算理方面的特點：

（1）注重學生已有的認知基礎。建構主義學習理論認為新知識的學習都是在學生已有的知識經驗基礎上進行的，讓已有的知識經驗為新知識的學習建立支架，將新知識納入已有的認知結構。“通分法”使得分數除法和整數除法在意義上達到一致，更能體現概念的一致性，而且“通分法”和分數加減法的計算方法類似，學生容易進行正向遷移。

（2）完整展現思考過程。無論是抽象理解算理還是直觀理解算理，教材都用語言和圖示揭示了完整的思維過程，目的是讓學生經歷分數除法的探究過程，清晰理解算理，領悟分數除法運算的本質。

三、如何形成計算法則？

算理和算法是運算能力的一體兩翼，尤其在小學數學中，兩者相輔相成，不可偏廢。

1.分數除以整數的計算法則如何形成？endprint

分數除以整數是用抽象意義說明÷3與×意義相同，所以把除法轉化為乘法計算。臺灣部編版教材將“倒數”安排在六年級的“分數的除法”之后，所以沒有抽象出計算法則，只是在例題中用引導語做相關提示。

先用兩個例題建立模型，對于第三個例題，教材已沒有算法提示而是直接把“除以整數”變成“乘整數的倒數”。

2.同分母分數的除法計算法則如何形成？

在兩道例題基礎上概括出了同分母分數除法的計算法則，在法則下面又舉例幫助學生鞏固和理解。

緊跟計算法則的“動動腦”，為學生最終掌握“顛倒相乘”的計算法則做思維鋪墊。

3.異分母分數的除法計算法則如何形成？

異分母分數除法算理與同分母分數除法相同，但是由于通分（臺灣部編版教材叫“擴分”）比較復雜，在異分母分數中選擇了“顛倒相乘”這個較為簡便的計算方法。

在分數除法計算中，“顛倒相乘”已是公認的最簡便的計算方法。因此，異分母分數的除法計算法則的形成應包含以下幾個過程。

第一步，在同分母分數的除法中引導學生，分散難點。在進行分母是乘法算式的同分母分數除法時，不用計算分母，直接將分子相除。

第二步，異分母分數相除時，把分母通分成第一步乘法算式即可，這樣就能化成分子算式相除的形式。

第三步，在學生理解算理的基礎上，從異分母分數除法中另辟蹊徑，最終從異分母分數除法轉化到同分母分數除法，再轉化成“顛倒相乘”的方式。

引導框中的思路也可以這么理解：借助同分母分數除法轉化成“顛倒相乘”，在講解例題后再引導學生發現計算法則。

從以上分析可以看出，臺灣部編版教材在概括計算法則的過程中有以下特點：

（1）注重學生探索發現的過程。計算法則的概括多是提示性的而不是總結性的，是在例題的基礎上引導學生發現。

（2）層層遞進，適當分散難點。在教學“異分母分數的除法”中遇到的難點也同樣分散在“同分母分數除法”中，在探究計算法則的過程中每一步都環環相扣、層層遞進。

四、計算技能是如何形成的？

在分數除法的算法總結中，引導學生最終掌握“顛倒相乘”的計算法則，為了鞏固這一法則，形成計算技能，臺灣部編版教材安排了相應的例題，目的是增加帶分數除法的內容，以及溝通整個分數除法的運算關系。例題有三種不同的形式：帶分數除以分數，分數除以整數，分數除以帶分數。

緊跟著例題的練習題又包含了帶分數除以帶分數、同分母分數相除、帶分數除以整數、整數除以帶分數，目的是讓學生掌握帶分數除法的同時達到“顛倒相乘”計算技能“自動化”。

一個完整的分數除法計算教學的過程包含：讓學生理解分數除法的意義，并深入研究算理，在這個基礎上獲得系統條理的計算方法，概括出計算法則，最后通過練習達到計算技能的“自動化”。

本文是基于對臺灣部編版教材有關“分數除法”計算教學的編寫的研究學習后的一點分析，希望對進一步研究分數除法的計算教學和探尋學生的理解路徑能有一定的促進作用。

[ 參 考 文 獻 ]

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[2] 王琳.海峽兩岸小學數學教科書的比較分析——以大陸“人教版”和臺灣“部編版”分數部分為例[D].天津：天津師范大學，2012.

[3] 王利.中新兩國小學數學教材“分數”內容的比較研究[D].重慶：西南大學，2014.

[4] 鞏子坤.有理數運算的理解水平及其教育學的策略研究[D].重慶：西南大學2006.

（責編 金 鈴）endprint