二次函數與一元二次方程之間關系的教學設計

王云杰

摘 要?本文主要對二次函數與一元二次方程之間的關系進行了詳細的分析與論證，使學生感受函數是刻畫現實世界數量關系的有效模型，增加對二次函數的感性認識，讓同學們領會解函數題時的樂趣，深刻理解二者的必要性，進一步感受數學在生活中的廣泛應用。

關鍵詞?一元二次方程;二次函數;關系

中圖分類號：B032.1 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2018）15-0217-01

關于一元二次方程？，因為，，的數值不定，方程的根有三種情況，可能有兩個不等的實數根，可能有兩個相等的實數根，可能沒有實數根。上述內容是能夠通過函數圖像和軸交點的有關問題來解答，它們與各項系數與常數項的數值有關。本文通過總結二者之間的關系進行教學設計，對于以后的教學和學習提供幫助。

對于一方程????????????（ ???）的根就是二次函數???????????（????）圖像與??軸的交點。

①Δ時，方程有兩個不等的實數根 ????，則說明拋物線與?軸的交點坐標為（ ，0），（ ?，0）;

②Δ時，方程有兩個相等的實數根，拋物線與軸只有一個交點，就是函數圖像的頂點，坐標為（ ??，0）;

③Δ時，方程沒有實數根，二次函數與軸沒有交點。

二次函數（）

① ????，二數????????????圖像開口向上，當頂點的縱坐標 ??????時，拋物線與??軸必定有交點;

②?????，二次函數 ???????????圖像開口向下，當頂點的縱坐標 ??????時，拋物線與軸肯定有交點;

一、教材學情分析

二次函數是描述變量之間關系的重要的數學模型，從教材編排上看，二次函數所占比例較大，是初中階段所學函數內容的重點，這將是學生在學習了幾種初等函數之后對函數有關內容的進一步理解和學習。

二、第一課時

（一）教學前的準備

1.教學目標：通過對二次函數的定義幫助學生學會通過圖像來解決一般的函數問題。

2.教學重點：（1）理解二次函數與一元二次方程具有怎樣的聯系。（2）學會用一元二次方程根的判別式Δ來判定交點數。

3.教學難點：二次函數與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系。

（二）教學過程

1.引入：回顧二次函數的一般式的圖像和性質;

2.提出問題，解決問題

例1：下列二次函數的圖像與軸有交點嗎？若有，求出交點坐標？另對比能得出相應的二次的根嗎？

① ??????????② ??????????③

教師活動：引導學生分析問題，畫出函數圖像，解出答案

學動：在老師的引導中思考怎么將題目中的條件轉化到圖像上，運用數形題。

教師活動：提問并總結。

（1）每個函數圖像與軸有幾個交點？學生：2個，1個，0個。

（2）一元二次方程和有幾個根？然后驗證一下方程有實根嗎？學生：2個，1個，無實根。

教師活動：二數的圖像與軸的交點與一元二次方程的根之間有什么關系？

教師：二次函數，當給定的值時，可轉化為一元二次方程。

3.鞏固練習。

三、第三課時

（一）教學前的準備

1.教學目標：讓學生透徹熟悉的運用來判斷拋物線與坐標軸的交點個數，并且函數給定相應的值時能夠判斷出相應的一元二次方程的根的個數。

2.教學重點：熟練使用一元二次方程的判別式Δ

判斷二次函數?????????????與軸的公共點的個數。

（二）教學過程

1.引入：教動：引導學生通過圖像回顧二次函數與軸交點的個數與一元二次方程系。

2.提出問題，解決問題

例2：在一座城市的某廣場地下上有一個壓力大方向斜向上的噴泉，速度為40m/s，噴出的水的路線是一條拋物線，如果不計空氣阻力，則水的高度h與時間t之間有一定的關系，其關系式為。（h單位：m，t單位：s）請考慮下列問題，運用所學的知識進行解答。

（1）水的高度能否達到15m？如果能，需要多少時間;如果不能，說明理由。（2）水的高度能否達到20m？如果能，需要多少時間;如果不能，說明理由。（3）水的高度能否達到20.5m？為什么？（4）水從噴泉口射出到落回地面要用多少時間？

學生活動：在老師的引導中，思考怎么樣將題目中的條件轉化到圖像上，運用數形結合的思想，最后列出方程，求解。

教師活動：引導學生將二次函數與一元二次方程的關系應用到題目中。

學生活動：根據教師的引導解答題中的問題。