解析中考中的四邊形綜合問題

邱亭亭??

摘要：四邊形既是平面幾何中的基本圖形，又是平面幾何研究的主要對象。近幾年來數(shù)學(xué)中考的綜合解答題讓學(xué)生受到觀察、聯(lián)想、類比、猜想、抽象概括、分析和綜合等方法的熏陶，重視考查學(xué)生的基礎(chǔ)能力。

關(guān)鍵詞：觀察；聯(lián)想；類比；猜想；抽象概括；分析

下面我們就以2017年泰安市中考29題為例進行分析：

（2017泰安中考29）如圖：四邊形ABCD是平行四邊形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中點，F(xiàn)是AC延長線上一點。

（1） 若ED⊥EF，求證：ED=EF；

（2） 在（1）的條件下，若DC的延長線與FB交于點P，試判定四邊形ACPE是否為平行四邊形？并證明你的結(jié)論（請先補全圖形，再解答）；

（3） 若ED=EF，ED與EF垂直嗎？若垂直給出證明。

【考點】四邊形綜合題。

問題1：若ED⊥EF，求證：ED=EF；

圖1圖2

圖3

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和AD=AC，AD⊥AC，連接CE，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；

【解答】（1）證明：在ABCD中，∵AD=AC，AD⊥AC，∴AC=BC，AC⊥BC，連接CE，∵E是AB的中點，∴AE=EC，CE⊥AB，∴∠ACE=∠BCE=45°，∴∠ECF=∠EAD=135°，∵ED⊥EF，∴∠CEF=∠AED=90°-∠CED，∴△CEF≌△AED，∴ED=EF；

問題2：在（1）的條件下，若DC的延長線與FB交于點P，試判定四邊形ACPE是否為平行四邊形？并證明你的結(jié)論（請先補全圖形（圖2），再解答）；

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF=AD，等量代換得到AC=CF，在此可根據(jù)中位線定理或者基本事實的推論得到：CP=12AB=AE，根據(jù)平行四邊形的判定定理即可得到四邊形ACPE為平行四邊形；

【解答】解：由（1）知△CEF≌△AED，∴CF=AD，∵AD=AC，∴AC=CF，∵DP∥AB，∴FP=PB，∴CP=12AB=AE，∴四邊形ACPE為平行四邊形；

問題3：若ED=EF，ED與EF垂直嗎？若垂直給出證明（如圖3）。

【分析】方法一：過E作EM⊥DA交DA的延長線于M，過E作EN⊥FC交FC的延長線于N，證得△AME≌△CNE，△ADE≌△CFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論。

方法二：過E作EM⊥DA交DA的延長線于M，過E作EN⊥FC交FC的延長線于N，由題知，四邊形AMEN是正方形，所以∠MEN=90°，根據(jù)已知條件我們可證明△DME≌△FNE（HL），故∠FEN+∠DEN=∠DEM+∠DEN=90°，從而得到ED⊥EF。

【解答】過程略。

三個問題已經(jīng)解析完畢，但在此題條件下，如果我們連接DF，延長BC并交DF于點Q，連接QA，QE，還可以得到以下結(jié)論：

問題4（延伸）：連接DF，延長BC并交DF于點Q，連接QA，QE，試證：QA=QE。

【分析】連接QA，QE后，借助Rt△DAF與Rt△DEF，利用直角三角形性質(zhì)定理2（斜邊上中線等于斜邊一半）得到：QA=12DF，QE=12DF，所以QA=QE。

【解答】證明：∵AD∥BC，AC=CF（由問題2結(jié)論知AC=CF），∴Q是DF中點，在Rt△DAF中，QA=12DF，在Rt△DEF中，QE=12DF，∴QA=QE

解答四邊形綜合題應(yīng)注意：（1）注意觀察、分析圖形，把復(fù)雜的圖形分解成幾個基本圖形，通過添加輔助線補全或構(gòu)造基本圖形；（2）掌握常規(guī)的證題方法和思路；（3）運用轉(zhuǎn)化的思想解決幾何證明問題，還要靈活運用觀察、聯(lián)想、類比、猜想、抽象概括、分析和綜合等數(shù)學(xué)思想方法。四邊形綜合問題，主要特點是包含知識點多、覆蓋面廣、邏輯關(guān)系復(fù)雜、解法靈活。解題時必須在充分利用幾何圖形的性質(zhì)及題設(shè)的基礎(chǔ)上挖掘幾何圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，在復(fù)雜的“背景”下辨認、分解基本圖形，或通過添加輔助線補全或構(gòu)造基本圖形，并善于聯(lián)想所學(xué)知識，突破思維障礙，合理運用各種數(shù)學(xué)方法才能解決。

作者簡介：

邱亭亭，山東省肥城市，山東肥城市白云山學(xué)校。endprint