講題十道 不如“三思”一題

摘 要：每年四月份高三復(fù)習(xí)進(jìn)入白熱化階段，最普遍的現(xiàn)象就是老師無限量地找題、解題、講題，學(xué)生不知疲倦地聽題、 讀題、 解題，但這種依靠 “題海戰(zhàn)術(shù)”的復(fù)習(xí)方式方法已很難適應(yīng)現(xiàn)階段高考 “能力立意”的要求.高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)進(jìn)入二輪，各校數(shù)學(xué)教師都有自己特有的復(fù)習(xí)方式，筆者認(rèn)為無主題地講一堆題，不如重點(diǎn) “三思”一題，即思“源”、思“延”、思“原”。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；專題；策略

一、 思“源”

我們都清楚高考試題的特征：題在書外、理在書中、源于課本、高于課本，將課本題目改編編制是高考對(duì)試題改編的一種重要途徑。對(duì)教材出現(xiàn)的例題或習(xí)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)母脑臁⒅亟M形成考題是高考試題的一個(gè)特點(diǎn)。對(duì)課本題源的適度改造，解決它們不需要特殊的技巧，這既體現(xiàn)了高考的公平、公正，也對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的備課、教學(xué)、輔導(dǎo)、批改、講評(píng)等提供了良好的導(dǎo)向作用，從而讓一線的教師和學(xué)生從題海中解脫出來，真正做到求真務(wù)實(shí)、抓綱務(wù)本。

教材是高考試題的主要來源，重視教材的基礎(chǔ)性和示范性，是高考命題的方向。縱觀目前高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的狀況，基本采用 “三輪復(fù)習(xí)法” ，第一輪基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能復(fù)習(xí)，第二輪是專題復(fù)習(xí)，第三輪是綜合模擬練習(xí)。以上三輪復(fù)習(xí)基本上沒有用到教材，有的教師認(rèn)為教材簡單沒有什么好講，學(xué)生也覺得沒什么題好做，事實(shí)上，很多教師和學(xué)生并不是不重視教材，而是不知道如何使用教材。因此在二輪復(fù)習(xí)練習(xí)題教學(xué)中，我們應(yīng)重視例題的“本源性”。解題后，回顧解題過程中用到哪些基礎(chǔ)知識(shí) ，盡量選取來源于課本并能發(fā)散的改編題，思考它們之間有什么聯(lián)系，形成知識(shí)鏈，避免以后解決此類問題的盲目性。

案例1 已知定點(diǎn)A（-1，0），F(xiàn)（2，0），定直線l：x=12，不在x軸上的動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F的距離是它到直線l的距離的2倍。設(shè)點(diǎn)P的軌跡為E，過點(diǎn)F的直線交E于B、C兩點(diǎn)，直線AB、AC分別交l于點(diǎn)M、N。

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點(diǎn)F，并說明理由。

這是一道周練試題，圍繞與雙曲線有關(guān)的斜率之積，我讓學(xué)生自己去課本上查找與之有關(guān)的練習(xí)題，首先大家找到的是與雙曲線有關(guān)的選修2-1第55頁探究：

如圖，設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是49，求點(diǎn)M的軌跡方程并由點(diǎn)M的軌跡方程判斷軌跡的形狀，與第41頁2.2例3比較，你有什么發(fā)現(xiàn)？

另外通過學(xué)生發(fā)現(xiàn)關(guān)于斜率之商（和、差）為定值的軌跡問題還有第41頁練習(xí)第4題的“斜率的商”、第74頁B組第3題的“斜率的差”、第81頁B組第5題的“斜率的和”。

我們知道，高考試題雖不直接取材于課本，但考查的知識(shí)卻大多來自課本或間接涉及課本習(xí)題或改編自課本練習(xí)題或這些問題的結(jié)論或推廣，因此以課本練習(xí)題為素材，重拾被遺忘忽視的課本，重視教材“母題”的引領(lǐng)作用，發(fā)揮教材母題做一當(dāng)十的功效，對(duì)于學(xué)生和教師而言都是非常有必要的。

二、 思“延”

“延”即延伸與拓展，對(duì)知識(shí)的延展不僅要有橫向的深入，更需要有縱向的聯(lián)系組合、類比、溝通知識(shí)聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)知識(shí)由“厚”到“薄”、由“散亂”到“有序”的轉(zhuǎn)化，從而實(shí)現(xiàn)“一個(gè)”問題到“一類”問題的轉(zhuǎn)變。

如對(duì)案例1問題進(jìn)一步深挖，就可使結(jié)論形成知識(shí)鏈：

延伸1（一般化） 橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，A，B為長軸端點(diǎn)，M為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)（異于A，B兩點(diǎn)），則直線AM，BM的斜率之積為一個(gè)定值-b2a2。

延伸2（拓展） 若A，B在橢圓上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則上述結(jié)論仍成立。

延伸3（類比） 橢圓的這些結(jié)論同樣又可以類比回雙曲線。

案例2 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M、N分別是橢圓x24+y22=1的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k，對(duì)任意k>0，求證：PA⊥PB。

對(duì)于選擇題和填空題，我們所得到的“結(jié)論和方法”可以直接使用，對(duì)于解答題，不宜直接使用，而應(yīng)把定理推導(dǎo)重寫一遍，即使這樣也比常規(guī)方法簡單的多。教學(xué)實(shí)踐證明，對(duì)教材中一些典型例題和習(xí)題的結(jié)論進(jìn)行推廣，既可以培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，又可以避免學(xué)生多走彎路。

適當(dāng)?shù)淖兪健⑼卣埂⒀由焓峭诰蚶}、習(xí)題價(jià)值功能常見而又有效的手段，可以根據(jù)題目的差異采用不同的變式探究形式。即對(duì)例題、習(xí)題進(jìn)行整理歸類，觀察共性和個(gè)性，發(fā)現(xiàn)歸納它們之間共同的本質(zhì)屬性或解題規(guī)律，這是提高學(xué)生解題能力的重要途徑之一。

三、 思“原”

實(shí)踐證明，反思錯(cuò)誤原因，是學(xué)生深化知識(shí)理解的有效途徑。學(xué)生在解題中往往會(huì)出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤，這些錯(cuò)誤或是由知識(shí)上的缺陷而導(dǎo)致的，或是由能力上的不足而導(dǎo)致的，或是由非智力因素的影響而導(dǎo)致。非智力因素的影響主要表現(xiàn)在解題的過程不完整、 格式不規(guī)范、 條理不清晰等。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)學(xué)生的疑惑或錯(cuò)誤，教師要充分利用，并以適當(dāng)?shù)姆绞桨阉鼈?“揭露” 出來，以使它們成為學(xué)生進(jìn)一步思考加工、 提煉完善的對(duì)象，使學(xué)生的思維向嚴(yán)謹(jǐn)靠攏、 向縱深發(fā)展。

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，學(xué)生的錯(cuò)誤不可能依靠正面的示范和反復(fù)的練習(xí)得以糾正，其涉及的對(duì)象不僅指具體的認(rèn)知活動(dòng)，而且包括整體性的認(rèn)知結(jié)構(gòu)圖和認(rèn)知策略。這是思維活動(dòng)的更高層次，利用學(xué)生錯(cuò)誤資源，引發(fā)“觀念沖突”，能促使學(xué)生對(duì)已完成的思維過程進(jìn)行周密且有批判性的再思考。

值得注意的是，實(shí)際教學(xué)中，多數(shù)的學(xué)生忙于馬不停蹄地做題，根本顧不上反思解題。因此，復(fù)習(xí)時(shí)，教師一定要留出時(shí)間讓學(xué)生反思解題完成。古人云：“工欲善其事，必先利其器。”“反思解題”就是磨礪解題武器的過程，它能起到舉一反三的作用，“三思”一題勝過講解十道！

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作者簡介：賴國強(qiáng)，福建省寧化第一中學(xué)。endprint