用典型的數學方法解決物理問題培養發散思維

摘 要：解決物理問題不一定全是用物理方法，思維發散，采用數學方法解決，是對數學知識的遷移，也是兩種學科知識的融合，對學生發散思維的培養具有不可替代的作用。

關鍵詞：數學方法；物理問題；發散思維

在求解物理問題過程中如果能與數學知識進行靈活整合，充分發揮數學的作用，建立對應的數學模型，找到相應的數學規律，數學思維也能解決物理問題。解決物理問題采用數學方法表現為：學會根據數學方法采用例如數學函數知識、圖像法等，通過物理量之間的關系式推導得出物理結論，并能直觀表達分析。常用的數學方法有微元法、估算法、函數法、數列法等。解決物理問題不一定全是用物理方法，思維發散，采用數學方法解決，是對數學知識的遷移，也是兩種學科知識的融合，對學生發散思維的培養具有不可替代的作用。

可以將采用數學方法解決物理問題的過程用以下流程表示：實際問題抽象概括找到數學規律，推理演算到數學模型的解，還原說明到實際問題的解。

微元法是分析和解決物理問題的常用方法，“微元法”是將復雜的物理過程分割成微小的過程，即微小的元素，又都遵循相同的數學物理規律，使之可以化曲為直，使變量或難以確定的量成為常量、容易確定的量。使用微元法解決一部分物理問題能夠簡化物理模型，對所學所知規律進行再思考和再聯系，可提高物理問題解決的發散思維。

比如人教版必修1第一章在定義瞬時速度時采用的方法就是極限法，當時間趨近于無限小，趨近于0時，求得的平均速度就可以當成是瞬時速度。勻變速直線運動的位移與時間的關系是利用圖像的微元法定義的。

一、 微元法思維的運用

在香港本節的教材是這樣處理的，讓學生動手操作，將紙條裁成許多相同寬度的長方形，然后往梯形上貼，學生會發現，長方形寬度越小，分割的越多，整體面積越接近于梯形面積。根據微元法探究出的結論是：物體做勻變速直線運動時，物體的位移對應著v-t圖像中圖線與時間軸之間包圍的梯形面積。該方法解放了學生的思維，學會從數學層面去解決物理實際問題，從圖像上解決“位移”和“面積”的關系，提高了物理問題解決的速度和準確性。這樣的定義采用了數學方法，是思維充分發散的結果，是創造性的體現，物理規律可以從數學方法得到，發散思維得到了提升。

古時，微元法已有采用。“割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。”數學家劉徽首創了“割圓術”，他計算得出圓內接正192邊形的周長，得到了圓周率的近似值（3.1416）。

例題1 求解一質點從實心長方體的A點沿著表面運動到對角點B，此過程的位移大小和最短路程。長方體的三條邊長分別為a、b、c（a>b>c）。

[點評]該題實際是用數學方法解決物理問題，需要學生聯想到數學問題，將長方體上下兩個面展開畫一條直線。最近距離也就是路程的概念，構成一個直角三角形，求直角三角形的斜邊。從新的角度思考，訓練了發散思維。

二、 函數思維的運用

在中學物理中常用的數學方法有均值不等式、二次函數的性質、求導數、因式分解、三角函數、有關圓的知識、數形結合思想等中學數學知識。

例題2 某一質點的位置坐標隨時間變化規律是x=-3t2+3（m），沿y軸做直線運動，t的單位為秒。關于該質點的運動，正確的是（ ）

A. 質點一直向y軸的正方向運動

B. 質點從y軸坐標O點開始運動

C. 在最初的1 s內，質點的位移大小是0 m，位移的方向與y軸的正方向相反

D. 在最初的2 s內，質點的位移是2 m

本題采用的方法是利用二次函數，畫出拋物線開口向下的圖線，找出對稱軸和y軸交點，利用公式，找到對稱軸，對稱軸右邊是遞減函數，所以選擇C。解決物理問題的過程，常常涉及數學函數問題，如果學生能發散思維，問題解決將會更為準確、迅速。

例題3 整個空間為豎直向下的勻強磁場，固定一個開口向下半徑是R光滑半球，放置于水平面上。有一質量為m的小球P，電荷量是+q，使該球在球面上做水平勻速圓周運動，圓心為O′。圓周上任一點到球心O的連線和豎直方向的夾角為θ（0<θ<π/2）。令小球能夠在該圓周上運動，求小球運動的速率和磁感應強度的大小的極值。重力加速度取g。

[函數圖像分析]通過已知條件可畫出運動示意圖，該小球在球面上的勻速圓周運動的圓心為O′。分析出P處受到重力、洛倫茲力和支持力分別為mg、f=qvB、N。其中受到的磁場的作用力f，方向指向O′利用牛頓第二定律解答列出關系式兩個方向上滿足：Ncosθ-mg=0向心力公式f-Nsinθ=mv2/Rsinθ從而球在球面上的速度v2-qBRsinθv/m+qRsin2θ/cosθ=0如果小球在球面上運動，速度肯定為有實數解，Δ=qBRsinθvm-4gRsin2θcosθ≥0，得解：B≥2mqgRcosθ。所以此時磁感應強度大小的最小值是：Bmin=2mqgRcosθ，該小球此時的速度大小是：v=gRcosθsinθ。

點評：本題根據數學典型的二次函數y=ax2+bx+c如果a>0，x=-b/2a時，y有最小值，為ymin=（4ac-b2）/4a；如果a<0，-b/2a時，y有極大值，為ymax=（4ac-b2）/4a。

注釋：本題是數學思想“數形結合”在解物理題中的應用。物理解題過程中，恰到好處地運用這一思想，有時能達到事半功倍的效果。從物理問題過渡到數學問題，是對思維的較高要求。

無論是采用數形結合、函數法還是微元法等數學方法解決物理問題，都需要學生具有良好的數學基礎，同時具備清晰的物理概念和規律。教師訓練學生發散思維的過程中，讓學生體會到數學方法解決物理問題的重要性，學生在以后的問題中會更為主動的采用數學方法，并且體會到解決問題的成就和快樂，發散思維隨之提升。

參考文獻：

[1] 李德虎.數學物理方法簡介[J].陜西教育學院學報，2002，8.

作者簡介：

楊燕燕，江蘇省南京市，南京市文樞高級中學。endprint