淺析第一次數學危機對哲學的影響

摘 要：第一次數學危機的影響不僅限于數學領域，其在哲學、科學等領域也有著深刻的影響。第一次數學危機的發生與解決使得無窮問題浮出了水面，同時理性的精神也正式確立，并在此之后在哲學、數學與科學占據了統治地位，從而促進了它們的發展。

關鍵詞：第一次數學危機；無窮問題；理性精神

數學與哲學一樣，都是很古老的學科，數學與哲學的關系也密不可分，其對哲學的影響也是極其巨大的。眾所周知，數學史上總共出現了三次數學危機，無論是無理數的發現、微積分理論的創立還是“羅素悖論”的提出，每一次危機的出現到解決都是一次人們的觀念從破碎到重塑的過程，一次思想的革命。三次危機不僅僅被數學家們討論，哲學家們也紛紛各抒己見，對當時及以后的哲學產生了重大的影響，本文就以第一次數學危機而論，分析其對哲學產生了怎樣的影響。

1 第一次數學危機與解決

第一次數學危機大約發生于公元前400年的古希臘，由畢達哥拉斯學派中的一個成員希帕索斯發現了引發。

畢達哥拉斯無論在數學史還是在哲學史上都是一個重要的人物。“數學，在證明式的演繹推論的意義上的數學，是從他開始的。”[1]畢達哥拉斯定理（勾股定理）的發現是畢達哥拉斯及其學派最重要的貢獻之一，而這個發現又直接引發了第一次數學危機。當希帕索斯將畢達哥拉斯定理運用到求邊長為1的正方形的對角線時，這時對角線長為，這對于當時的畢達哥拉斯學派和希臘人來說是一個不可理解的數，因為當時人們的普遍共識是，一切量都是可公度的。用現在的話說，希臘人認為所有的數都可以用有理數表示，有理數是一個整數和一個非零整數的比（可公度），即整數與分數；而是一個無理數，不能被表示為兩個整數之比（不可公度）。“古希臘人使用‘有理、‘無理的術語，其原意是‘可比的與‘不可比的。”[2]后來又“派生出‘有理（合乎情理）的與‘無理的的含義。”[3]“”的發現或許是畢達哥拉斯學派的另一個杰出貢獻，然而，對信仰“萬物皆數”（這里的數是有理數）的畢達哥拉斯學派來說這卻是一個毀滅性的打擊，希帕索斯也被投進了大海。不過這個發現很快就在社會上流傳開來，引起了廣泛的爭論，史稱“第一次數學危機”。

第一次數學危機約在公元前370年由歐多克索斯解決，他將“比”定義為量而不是數之間的數量關系，建立了新的比例理論，從而對無理數“避而不談”。也就是說，他將數和幾何量分開，在數的領域中仍然認為只有有理數，而在幾何的領域中，不論幾何量是有理數還是無理數，都符合他所建立的比例理論。他的這種處理方法，被收錄在《幾何原本》的第五卷（比例）中。然而將數和幾何量分開的方法仍然沒有解決無理數的合法性問題，可以說歐多克索斯的解決是不徹底的，它反而將幾何學與代數學“割裂”了，直到17世紀笛卡爾創立了解析幾何，幾何學與代數學之間的裂痕才逐漸被填上。之后再到19世紀實數理論的建立，無理數的本質才被確定下來，無理數在數學上的合法性才得到承認，第一次數學危機到這里才算真正被解決。

2 第一次數學危機所帶來的

（一）、理性的勝利

從歷史上看，數學起源于人類早期的生產和生活，主要用來解決實際問題。最初數學知識的來源主要是人們的觀察和經驗，正整數叫做“自然數”，或許就是從數數開始的。而分數的出現，也許是由于平均分配一匹獵物，或者一塊土地的需要。在日常的生產生活中，只需要自然數與分數就足夠了，因而“數只有自然數和分數”這個觀念隨著時間的累積也就變得根深蒂固了。隨著生產力的發展，人們慢慢有了閑暇的時間，理性也開始慢慢發芽、生長，當推理和證明慢慢在數學中開始應用，數學逐漸變為求知時，便可能會開始出現反對常識、經驗的事實，無理數這個無法捉摸的“幽靈”就是其中之一。在一開始人類心中的數軸上，自然數與分數便可以將其填滿，但隨著歷史的發展，人類漸漸發現數軸并不像起初設想的那么完滿，上面應該還有無理數、負數，甚至還有虛數。在某種意義上說，第一次數學危機的實質就是人類的理性與經驗常識的一次沖突。當然，對于現在的我們來說，的存在也已經是一個常識，但對于那個時代的人來說，他們的常識并非如此，這次沖突的影響之巨大是毫無疑問的。

面對這次沖突，哲學家中產生了兩種反應，赫拉克利特認為存在一個只能由思想來發現的邏各斯，現實中的萬物按照邏各斯的原則處在不斷生成、毀滅的狀態中；而巴門尼德區分了意見之路與真理之路，他認為感覺的對象都是幻覺，唯一的真實存在就是“一”。這個“一”只能由理智來認識到。雖然赫拉克利特的“萬物流變”與巴門尼德的“不變的存在”針鋒相對，但這兩種反應殊途同歸。從他們二人的觀點中都可以得出，經驗世界中的事物是靠不住的，并不能帶來真理，而真理只能由理性來獲得。“思想是最大的優點，智慧就在于說出真理。”[4]“別讓習慣用經驗的力量把你逼上這條路，只是以茫然的眼睛、轟鳴的耳朵或舌頭為準繩，而要用你的理智來解決紛爭的辯論。”[5]真理只能由理性來獲得的思想也影響了柏拉圖，畢達哥拉斯學派先前把數與萬物聯系在一起，而在柏拉圖的理解中，數已經脫離了現實事物，數學知識是低級的知識，介乎意見和理智之間，柏拉圖對可感世界和理念世界的區分代表著理性與感性的二元對立的正式確立。在柏拉圖的《蒂邁歐篇》里，柏拉圖更是認為物質世界是由神用兩種三角形——等邊三角形和等腰直角三角形來構造的。講求邏輯，推理和證明的數學方法——這同時也是理性的標志，在“不懂幾何者不得入內”的柏拉圖與創立古典邏輯學體系的亞里士多德的推崇之下，逐漸也成為了后世大多數哲學家們所堅持的原則。不久之后《幾何原本》這一幾何學的“圣經”的成書則是古希臘的理性精神所產生的最偉大的結晶之一。僅從幾個自明的公理出發，經過演繹的推理便可以得到許多知識。這個觀念在此后近兩千年的時間里一直鼓舞著哲學家們去尋找自明的真理，從而搭建起他們自己的哲學大廈。對于經院哲學家來說，這個自明的真理是上帝存在；對于笛卡爾來說，它是“我思故我在”；斯賓諾莎更是直接仿照《幾何原本》的形式來闡釋自己的哲學思想。公理系統也刺激了自然科學的發展，牛頓的《自然哲學的數學原理》也是按照公理化的模式寫成的。公理化模式讓數學成為了最有確定性的科學，也讓物理學走上了科學的道路，然而哲學或者說形而上學卻沒有，這讓康德去思考其中的緣由，從而寫下了那本巨著——《純粹理性批判》。理性在第一次數學危機之后獲得了勝利，直到唯理論與經驗論的爭論之后它的統治地位才開始松動，不過它一直到現在也并未崩塌。endprint

（二）、無窮問題

無窮問題在第一次數學危機中開始被人們廣泛討論。在希帕索斯發現之后，等于多少呢？由于它不能被表示為兩個整數之比，它的值只能用窮舉法慢慢接近，首先，它一定是個大于1且小于2的數，因為的平方大于1的平方且小于2的平方；又因為的平方在7/5的平方和3/2的平方之間，所以的值在7/5與3/2之間。如此一直重復，才能確定小數點后的值。現在我們知道，無理數比如、π，它們的小數點后都是無限不循環的，前面的方法只能無限地接近它，卻不能窮盡。無窮問題到了巴門尼德的學生芝諾那里變得更加突出，芝諾提出的諸多悖論都涉及到了無窮，他否認了運動的可能性與多的存在。按照數學史的說法，芝諾悖論也是引發第一次數學危機的另一個重要因素。前面提到，第一次數學危機的實質是人類的理性與經驗常識的一次沖突，芝諾用理性得出的悖論之所以是悖論，就是因為它們與經驗是沖突的。值得一提的是，犬儒主義者第歐根尼一言不發地走來走去來反駁芝諾的悖論時，他的弟子拍手稱快卻遭到了第歐根尼的呵斥。希臘人的理性精神在此可見一斑，理性產生的悖論只能由理性來解決，因而無窮問題，包括連續性與間斷性、整體與部分、有限與無限的問題在此后一直困惑著科學家、哲學家們，理性怎樣去理解、把握無窮？這個問題在形而上學、認識論、邏輯學中產生了無窮的爭論。萊布尼茨認為的理性的“二迷宮”之一就是關于連續性與間斷性的問題。作為微積分的創立者之一，對無窮的思考也促使萊布尼茨提出了他的單子論。康德的四個二律背反也涉及到了無窮問題。康德指出，純粹理性的二律背反的出現是由于人類用只能適用于經驗的先驗形式去對物自體做出判斷。這在某種程度上表明，無窮這個觀念對于理性來說是極難把握的，一旦用理性去思考無窮，很容易就會陷入兩難之中。

此外，關于芝諾悖論，亞里士多德劃分了潛無窮與實無窮。潛無窮指的是，無窮是在不斷延伸著的，永遠完成不了的過程，比如“直線可以任意延長”；實無窮則是把無窮看成一個已完成的，現實存在的整體，比如“直線由無窮個點組成”。亞里士多德認為無窮是一種潛在的存在。通過這種方法，亞里士多德反駁了芝諾悖論。以“飛矢不動”悖論為例，亞里士多德否定了時間可劃分為無窮個瞬間這個實無窮的觀點，從而反駁了這個悖論。這里亞里士多德實際上是回避了無窮的實際存在性，古希臘對無窮的研究也并沒有太大的深入。實無窮論與潛無窮論二者此后此消彼長。直到文藝復興后牛頓和萊布尼茨提出微積分理論，實無窮論才開始占據主流。然而持潛無窮觀點的人們也不甘示弱，貝克萊悖論這一反駁無窮小量存在的觀點的提出又引發了第二次數學危機。而解決第二次數學危機的精確的極限定義又是一種潛無窮的觀點。康托爾創立集合論后，實無窮論再一次抬頭，然而第三次數學危機很快又隨之而來。實無窮論與潛無窮論的爭論實際上涉及到數學基礎的問題，可以說，它直到現在也還沒有結束。不過，二者的爭論也使得數學得到了極大的發展，其影響也不僅限于數學。

3 結語

第一次數學危機沖擊了當時希臘人對數的觀念，但同時也刺激了數學的發展，并且對哲學的發展也作出了貢獻。并且從某種意義上說，第二次、第三次數學危機也是由第一次數學危機所引起的。發展本來就是曲折性和前進性的統一，危機不僅僅只是危機，同樣也是發展的契機。數學的發展對哲學來說是一個很好的參照，許多哲學家如笛卡爾、羅素等同時也是一個數學家。研究數學的發展，對研究哲學來說不失為一個很好的角度，同時也是一個很有必要的角度。

注釋

[1]羅素著，何兆武、李約瑟譯：《西方哲學史（上卷）》，商務印書館1977年版，第60頁。

[2]韓雪濤：《數學悖論與三次數學危機》，湖南科學技術出版社2006年版，48頁。

[3]韓雪濤：《數學悖論與三次數學危機》，湖南科學技術出版社2006年版，48頁。

[4]《西方哲學原著選讀》，商務印書館1981年版，25頁。

[5]《西方哲學原著選讀》，商務印書館1981年版，31頁。

參考文獻

[1]羅素著；何兆武、李約瑟譯.《西方哲學史（上卷）》[M].商務印書館，1977

[2]韓雪濤.《數學悖論與三次數學危機》[M].湖南科學技術出版社，2006

[3]北京大學哲學系外國哲學史教研室編譯.《西方哲學原著選讀》[M].商務印書館，1981

作者簡介

張曉東（1992-），男，白族，云南大理人，西南民族大學馬克思主義學院15級碩士研究生，研究方向：西方哲學史。endprint