依數學思想方法 育數學思維品質

李梅芝

[摘 要]數學思想是指人們對數學理論和內容的本質的認識，數學方法是數學思想的具體化形式，二者形態有異但本質相同，都是數學學科的核心靈魂。數學學習中增強數學思想方法的滲透與濡染，可以很好地促進學生思維品質的發展，培育學生數學的理性精神。

[關鍵詞]數學思想方法 數學思維 理性精神

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）08-008

數學思想是蘊涵于數學知識和內容之中，又高于具體知識和內容的一種理性認識，是對數學對象本質屬性及其聯系的深刻揭示。如果說書本中的數學知識是一種能夠用語言表達的顯性知識，那么數學思想及其方法就是一種隱性知識，其指導作用的發揮需要結合具體的發現和提出問題以及分析和解決問題的過程。小學生學習數學，不同于專業的數學研究，其重點落在對數學思想方法的感受、領悟和初步的運用，而感受、領悟和初步的運用過程，就是一種意識、觀念、素質的萌芽和發展過程，從這一點來看，感悟數學思想方法和培育思維品質具有內在的統一性。

一、抓數學思想方法，促思路多向開放

在數學學習中，很多時候要改變已習慣了的思維定式，從新的思維角度去思考問題，以求得問題的解決。從認知心理學的角度來看，小學生在進行抽象的思維活動過程中由于年齡的特征，往往難以擺脫已有的思維方向，也就是說學生個體（乃至于群體）的思維定式往往影響了對新問題的解決，以至于產生錯覺。解決這樣的問題，可以將學習置于“數學思想方法”的角度來展開，可以讓學生的思維變得更加清晰、有序、優化。

比如，在教學2、5、3的倍數的特征時，第一節課先講了2的倍數的數的特征是“個位上是0、2、4、6、8的數，都是2的倍數”。5的倍數的數的特征是“個位上是0或5的數，都是5的倍數”。接下的第二節課要講3的倍數的數的特征是“一個數的各位上的數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數”。顯然，這兩類特征在思維上具有跳躍性——“個位上的數字”與“各位上的數字的和”。受負遷移的影響，研究3的倍數特征時，學生很容易想到“一個數的個位上是0、3、6、9的數是否也是3的倍數呢？”有學生會想到33、36、60、99等一些數，還有學生自然想到了40、13、26、59等另一些數，并得出結論：一個數個位上是0、3、6、9的數不一定是3的倍數。

上述學習過程，知識層面的東西學生很容易掌握，但是，蘊含其中的更為重要的是“反證”的論證方法。因此，教師應該及時讓學生對這種方法進行適度的概括提煉，產生“要證明一個結論不成立，只要找出一個反例即可”的判斷思維。

繼續延伸下去：在4、6、8、10、15、18、25、26、30這些數中，哪些數是2的倍數？哪些數是5倍數？哪些數既是2的倍數又是5的倍數？學生在思考后，嘗試將相應的數填入圈中（圖1，左邊的圈里填2的倍數，右邊的圈里填5的倍數），那兩個圈相交的部分填哪些數呢？學生會發現這一部分填的既是2的倍數，又是5的倍數，就形成了圖2。這里滲透的是數學中的集合思想，尤其是交集——相交的部分同時要具有兩個集合的特征的集合思想。讓學生進一步在研究特征的基礎上進行更有深度的思考，從而得到：同時滿足兩個要求的元素，才可以成為共同元素。

二、抓數學思想方法，促思維靈活變通

小學數學是一個多層次、多方面的知識體系。讓零散的知識串聯成體系的大多是數學的思想和方法。以幾何圖形的教學為例。教學“平行四邊形的面積”時，我們啟發學生運用割補的方法，把計算平行四邊形的面積轉化為學過的計算長方形的面積，這是滲透數學思想方法——“轉化思想”的大好時機。實際上在小學課本中，除了長方形的面積計算公式之外，其他平面圖形的面積計算公式都是通過原來的圖形轉化得到的。

延伸開來：如圖3，大正三角形的面積是28平方厘米，求小正三角形的面積。

圖3中大、小正三角形的面積關系很難看出，若將大正三角形“旋轉”一下，就變成圖4的模樣，出現了四個全等的小正三角形，答案也就唾手可得：小正三角形的面積是：28÷4=7（平方厘米）。緊接著告訴學生：“通過旋轉，我們把復雜圖形變個形轉化成簡單圖形，原來的問題就能解決了，變形是轉化的一種方法。”

轉化的思想在小學數學教學中有廣泛的應用，將原圖形通過旋轉、平移、翻折、割補等途徑加以“變形”，可使題目變難為易，求解也水到渠成。滲透轉化思想，打破思維定式，對提高學生能力大有好處。

三、抓數學思想方法，促思考優化深刻

新課程把“解題策略”作為教學的一個重要部分，即通過作一些如線段圖、樹形圖、長方形面積圖或集合圖來幫助學生正確理解數量關系，使問題簡明直觀。充分利用“形”把一定的數量關系形象地表示出來，這是數形結合思想在小學數學中的體現。

例如，一杯牛奶，甲第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，就這樣每次都喝了上一次剩下的一半。甲五次一共喝了多少牛奶？

此題若把五次所喝的牛奶加起來，即“1 / 2+1 / 4+1 / 8+1 / 16+1 / 32”就為所求，但這不是最好的解題策略。此時點撥學生：“把復雜問題變成簡單問題有時還需要我們畫個圖，換個角度，從反面思考。我們先畫一個正方形（如圖5），并假設它的面積為單位“1”，由圖可知，1-1 / 32就為所求?！边@里不但向學生滲透了數形結合思想，還向學生滲透了類比的思想。

繼續延伸：1 / 2+1 / 4+1 / 8+1 / 16+1 / 32+1 / 64=1-

1 / 64=63 / 64;1 / 2+1 / 4+1 / 8+1 / 16+1 / 32+1 / 64+1 / 128=1-1 / 128=127 / 128。

這時，再繼續讓學生計算“1 / 2+1 / 4+1 / 8+1 / 16+

1 / 32+1 / 64+1 / 128+1 / 256+1 / 512”，如果學生能很快得出結果是“1-1 / 512=511 / 512”，這就說明了在學生的頭腦中已經初步形成了這種數列的概念。如果再繼續加下去，結果會怎樣？學生很容易得出：如果以分子是1，分母是前一個加數的分母的2倍的規律，再繼續加下去，不論再加什么數，結果總是“1減最后一個加數”，并且其結果總是不超過1。

上述研究既是規律探尋，也是極限思想的滲透，能為學生將來學習極限理論、提高抽象思維奠定基礎。

總的說來，數學思想方法是貫穿在數學知識、數學學習中的主軸線，沒有數學思想方法就沒有數學。但是，數學思想方法的滲透要自然、貼切，切忌生搬硬套、和盤托出、脫離實際，就像著名數學家華羅庚說的：“神奇化易是坦道，易化神奇不足提。”比數學思想方法滲透更重要的是，借助于數學思想方法來優化學生的思維品質，提高數學思考的能力，進而提升數學學習的能力和數學素養。這是孕育數學理性的必由之路！

（責編 金 鈴）