依數(shù)學(xué)思想方法 育數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

李梅芝

[摘 要]數(shù)學(xué)思想是指人們對(duì)數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體化形式，二者形態(tài)有異但本質(zhì)相同，都是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心靈魂。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中增強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透與濡染，可以很好地促進(jìn)學(xué)生思維品質(zhì)的發(fā)展，培育學(xué)生數(shù)學(xué)的理性精神。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)思想方法 數(shù)學(xué)思維 理性精神

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2015）08-008

數(shù)學(xué)思想是蘊(yùn)涵于數(shù)學(xué)知識(shí)和內(nèi)容之中，又高于具體知識(shí)和內(nèi)容的一種理性認(rèn)識(shí)，是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性及其聯(lián)系的深刻揭示。如果說(shuō)書(shū)本中的數(shù)學(xué)知識(shí)是一種能夠用語(yǔ)言表達(dá)的顯性知識(shí)，那么數(shù)學(xué)思想及其方法就是一種隱性知識(shí)，其指導(dǎo)作用的發(fā)揮需要結(jié)合具體的發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題以及分析和解決問(wèn)題的過(guò)程。小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不同于專業(yè)的數(shù)學(xué)研究，其重點(diǎn)落在對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的感受、領(lǐng)悟和初步的運(yùn)用，而感受、領(lǐng)悟和初步的運(yùn)用過(guò)程，就是一種意識(shí)、觀念、素質(zhì)的萌芽和發(fā)展過(guò)程，從這一點(diǎn)來(lái)看，感悟數(shù)學(xué)思想方法和培育思維品質(zhì)具有內(nèi)在的統(tǒng)一性。

一、抓數(shù)學(xué)思想方法，促思路多向開(kāi)放

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，很多時(shí)候要改變已習(xí)慣了的思維定式，從新的思維角度去思考問(wèn)題，以求得問(wèn)題的解決。從認(rèn)知心理學(xué)的角度來(lái)看，小學(xué)生在進(jìn)行抽象的思維活動(dòng)過(guò)程中由于年齡的特征，往往難以擺脫已有的思維方向，也就是說(shuō)學(xué)生個(gè)體（乃至于群體）的思維定式往往影響了對(duì)新問(wèn)題的解決，以至于產(chǎn)生錯(cuò)覺(jué)。解決這樣的問(wèn)題，可以將學(xué)習(xí)置于“數(shù)學(xué)思想方法”的角度來(lái)展開(kāi)，可以讓學(xué)生的思維變得更加清晰、有序、優(yōu)化。

比如，在教學(xué)2、5、3的倍數(shù)的特征時(shí)，第一節(jié)課先講了2的倍數(shù)的數(shù)的特征是“個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)，都是2的倍數(shù)”。5的倍數(shù)的數(shù)的特征是“個(gè)位上是0或5的數(shù)，都是5的倍數(shù)”。接下的第二節(jié)課要講3的倍數(shù)的數(shù)的特征是“一個(gè)數(shù)的各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)”。顯然，這兩類特征在思維上具有跳躍性——“個(gè)位上的數(shù)字”與“各位上的數(shù)字的和”。受負(fù)遷移的影響，研究3的倍數(shù)特征時(shí)，學(xué)生很容易想到“一個(gè)數(shù)的個(gè)位上是0、3、6、9的數(shù)是否也是3的倍數(shù)呢？”有學(xué)生會(huì)想到33、36、60、99等一些數(shù)，還有學(xué)生自然想到了40、13、26、59等另一些數(shù)，并得出結(jié)論：一個(gè)數(shù)個(gè)位上是0、3、6、9的數(shù)不一定是3的倍數(shù)。

上述學(xué)習(xí)過(guò)程，知識(shí)層面的東西學(xué)生很容易掌握，但是，蘊(yùn)含其中的更為重要的是“反證”的論證方法。因此，教師應(yīng)該及時(shí)讓學(xué)生對(duì)這種方法進(jìn)行適度的概括提煉，產(chǎn)生“要證明一個(gè)結(jié)論不成立，只要找出一個(gè)反例即可”的判斷思維。

繼續(xù)延伸下去：在4、6、8、10、15、18、25、26、30這些數(shù)中，哪些數(shù)是2的倍數(shù)？哪些數(shù)是5倍數(shù)？哪些數(shù)既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)？學(xué)生在思考后，嘗試將相應(yīng)的數(shù)填入圈中（圖1，左邊的圈里填2的倍數(shù)，右邊的圈里填5的倍數(shù)），那兩個(gè)圈相交的部分填哪些數(shù)呢？學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)這一部分填的既是2的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)，就形成了圖2。這里滲透的是數(shù)學(xué)中的集合思想，尤其是交集——相交的部分同時(shí)要具有兩個(gè)集合的特征的集合思想。讓學(xué)生進(jìn)一步在研究特征的基礎(chǔ)上進(jìn)行更有深度的思考，從而得到：同時(shí)滿足兩個(gè)要求的元素，才可以成為共同元素。

二、抓數(shù)學(xué)思想方法，促思維靈活變通

小學(xué)數(shù)學(xué)是一個(gè)多層次、多方面的知識(shí)體系。讓零散的知識(shí)串聯(lián)成體系的大多是數(shù)學(xué)的思想和方法。以幾何圖形的教學(xué)為例。教學(xué)“平行四邊形的面積”時(shí)，我們啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用割補(bǔ)的方法，把計(jì)算平行四邊形的面積轉(zhuǎn)化為學(xué)過(guò)的計(jì)算長(zhǎng)方形的面積，這是滲透數(shù)學(xué)思想方法——“轉(zhuǎn)化思想”的大好時(shí)機(jī)。實(shí)際上在小學(xué)課本中，除了長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式之外，其他平面圖形的面積計(jì)算公式都是通過(guò)原來(lái)的圖形轉(zhuǎn)化得到的。

延伸開(kāi)來(lái)：如圖3，大正三角形的面積是28平方厘米，求小正三角形的面積。

圖3中大、小正三角形的面積關(guān)系很難看出，若將大正三角形“旋轉(zhuǎn)”一下，就變成圖4的模樣，出現(xiàn)了四個(gè)全等的小正三角形，答案也就唾手可得：小正三角形的面積是：28÷4=7（平方厘米）。緊接著告訴學(xué)生：“通過(guò)旋轉(zhuǎn)，我們把復(fù)雜圖形變個(gè)形轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單圖形，原來(lái)的問(wèn)題就能解決了，變形是轉(zhuǎn)化的一種方法?！?/p>

轉(zhuǎn)化的思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，將原圖形通過(guò)旋轉(zhuǎn)、平移、翻折、割補(bǔ)等途徑加以“變形”，可使題目變難為易，求解也水到渠成。滲透轉(zhuǎn)化思想，打破思維定式，對(duì)提高學(xué)生能力大有好處。

三、抓數(shù)學(xué)思想方法，促思考優(yōu)化深刻

新課程把“解題策略”作為教學(xué)的一個(gè)重要部分，即通過(guò)作一些如線段圖、樹(shù)形圖、長(zhǎng)方形面積圖或集合圖來(lái)幫助學(xué)生正確理解數(shù)量關(guān)系，使問(wèn)題簡(jiǎn)明直觀。充分利用“形”把一定的數(shù)量關(guān)系形象地表示出來(lái)，這是數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)。

例如，一杯牛奶，甲第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，就這樣每次都喝了上一次剩下的一半。甲五次一共喝了多少牛奶？

此題若把五次所喝的牛奶加起來(lái)，即“1 / 2+1 / 4+1 / 8+1 / 16+1 / 32”就為所求，但這不是最好的解題策略。此時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生：“把復(fù)雜問(wèn)題變成簡(jiǎn)單問(wèn)題有時(shí)還需要我們畫(huà)個(gè)圖，換個(gè)角度，從反面思考。我們先畫(huà)一個(gè)正方形（如圖5），并假設(shè)它的面積為單位“1”，由圖可知，1-1 / 32就為所求。”這里不但向?qū)W生滲透了數(shù)形結(jié)合思想，還向?qū)W生滲透了類比的思想。

繼續(xù)延伸：1 / 2+1 / 4+1 / 8+1 / 16+1 / 32+1 / 64=1-

1 / 64=63 / 64;1 / 2+1 / 4+1 / 8+1 / 16+1 / 32+1 / 64+1 / 128=1-1 / 128=127 / 128。

這時(shí)，再繼續(xù)讓學(xué)生計(jì)算“1 / 2+1 / 4+1 / 8+1 / 16+

1 / 32+1 / 64+1 / 128+1 / 256+1 / 512”，如果學(xué)生能很快得出結(jié)果是“1-1 / 512=511 / 512”，這就說(shuō)明了在學(xué)生的頭腦中已經(jīng)初步形成了這種數(shù)列的概念。如果再繼續(xù)加下去，結(jié)果會(huì)怎樣？學(xué)生很容易得出：如果以分子是1，分母是前一個(gè)加數(shù)的分母的2倍的規(guī)律，再繼續(xù)加下去，不論再加什么數(shù)，結(jié)果總是“1減最后一個(gè)加數(shù)”，并且其結(jié)果總是不超過(guò)1。

上述研究既是規(guī)律探尋，也是極限思想的滲透，能為學(xué)生將來(lái)學(xué)習(xí)極限理論、提高抽象思維奠定基礎(chǔ)。

總的說(shuō)來(lái)，數(shù)學(xué)思想方法是貫穿在數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的主軸線，沒(méi)有數(shù)學(xué)思想方法就沒(méi)有數(shù)學(xué)。但是，數(shù)學(xué)思想方法的滲透要自然、貼切，切忌生搬硬套、和盤(pán)托出、脫離實(shí)際，就像著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)的：“神奇化易是坦道，易化神奇不足提?！北葦?shù)學(xué)思想方法滲透更重要的是，借助于數(shù)學(xué)思想方法來(lái)優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，提高數(shù)學(xué)思考的能力，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。這是孕育數(shù)學(xué)理性的必由之路！

（責(zé)編 金 鈴）