變式教學對發展思維能力的影響

☉江蘇省蘇州市吳江平望中學 李國英

變式教學這一數學教學中最為常用且有效的教學手段是廣大數學教師一直都在研究與使用的.鮑建生、顧泠沅等都曾結合變異理論、腳手架理論，以及我國變式教學的實際情況對變式理論進行過深入的研究并將變式教學作出了概念性變式與過程性變式的分類.

一、變式教學的分類

1.概念性變式

教師在概念教學的過程中往往會不自覺地使用概念性變式這一手段來幫助學生認識和理解概念，通過這一手段的實施，使學生在新的概念的分析中經歷由直觀到抽象、由具體到一般的變式，并因此探尋知識的本質屬性及知識間的本質聯系，學生對概念的理解往往在這一過程中能夠很好的實現.

例如，教師在冪函數的性質與圖像的教學中就可以設置這一問題：函數是冪函數嗎？學生在不同形式的函數中辨別函數類型的同時也是對冪函數這一新學概念的多角度理解，教師此時再引導學生從這些變式中去尋找共性并逐漸探索、提煉出冪函數這一概念的本質特征，當然會比教師直接告訴學生冪函數的特征要有意義得多，學生對概念的理解與學習深刻而明晰.

2.過程性變式

概念形成過程與問題解決過程需要過程性變式教學才能更好地幫助學生由淺入深、層層深入地掌握概念與方法，學生在親身經歷舊知識到新知識的推導與構造過程中也更加容易結合自己的思維特征形成有意義的知識網絡并很快達到融會貫通.

例如，教師在雙曲線這一概念的教學中就可以著眼于橢圓的定義這一學過的知識并結合一定的變式進行教學：

問題1：已知A（-4，0），B（4，0），P點滿足|PA|+|PB|=10，那么動點P的軌跡應該是什么樣的曲線呢？

變式1：如果P點滿足|PA|-|PB|=4，那么動點P的軌跡應該是什么樣的曲線呢？

變式2：如果P點滿足||PA|-|PB||=4，那么動點P的軌跡應該是什么樣的曲線呢？

變式3：如果P點滿足|PA|-|PB|=8，那么動點P的軌跡應該是什么樣的曲線呢？

學生對關于橢圓定義的問題1往往很輕松就能解決.將“+”變成“-”的變式1看上去只是小小的符號改變，但曲線又會發生什么樣的變化呢？學生在這樣的疑惑中很快對這一問題產生強烈的探知欲，教師引導下的親身實驗很快使學生明白這是一條開放性的曲線.變式2中的不同是在變式1的基礎上加了一個絕對值符號，曲線因此變成了兩條，雙曲線的概念在變式經歷中自然形成了，P點滿足的條件不同致使形成的曲線也各不相同，學生在這樣的變式探究中將橢圓與雙曲線兩個概念緊密聯系了起來.接著學生又在變式3的探究中認識到了常數的范圍并因此對雙曲線應滿足的條件形成了進一步的認識.事實上，在這一內容上的變式遠不止上述的三個形式，比如，如果將A、B兩點從x軸變化到y軸一樣會導致標準方程發生改變.學生從多個角度對它們的標準方程與幾何特征進行辨析與理解，能夠對兩類圓錐曲線的異同形成更加充分的認識.學生體驗到學習樂趣的同時也逐步建立起了新知和舊知之間的聯系，從而對概念的本質形成清晰的認識，并因此能夠順利創造出完整的知識架構.

二、變式教學對思維能力的影響

數學認知結構必須建立在知識結構與思維結構雙向發展的基礎之上，思維結構的發展對于認知結構的完善與發展來說至關重要，變式教學能夠將集中思維、發散思維多種方式相互交融，并因此促進思維能力的提升與思維結構的完善.因此，教師在變式教學的實際過程中應將訓練學生的思維視為重要任務，幫助學生在變式學習中逐步培養其靈活、深刻、廣闊、發散的思維能力，并在學習中獲得更好的效果.

1.變式教學能使學生思維的深度得到延伸

問題2：已知等差數列{an}的通項公式an=25-2n，前n項和是Sn，在n=________時Sn取到最_______值，最值為________.

變式1：（1）等差數列{an}的首項a1=25，前n項和是Sn，已知Sn滿足S9=S17，則當n是何值時，Sn最大？

（2）如果題中條件變為a1＞0，d≠0，如果S9=S17，則當n是何值時，Sn最大？

（3）如果a1＜0，d≠0，是否可以類比（1）并因此得到類似的結論呢？

變式2：（1）如果a1＞0，d≠0，前n項和是Sn，如果S9=S17，則S26=______.

（2）已知數列{an}中，a1＞0，S26=0，能使an＞0成立的n的最大值是多少？

變式3：（1）如果a1＞0，前n項和是Sn，S9=S16，那么，當n為何值時，Sn能取最值呢？

（2）如果a1＞0，前n項和是Sn，若S25=0，求使an＞0成立的n的最大值是多少？

問題2中的幾個問題基于等差數列前n項和公式的特征將之與二次函數聯系了起來，層層遞進的幾個設問引導學生的思維不斷深入、延伸.題目條件不斷改變或放寬使學生對數列前n項Sn這一特殊函數概念的理解不斷加深，學生也在這一過程中逐漸形成良好的知識結構.學生的思維在一連串的問題探究與思考中沿著知識點的發展方向很好地得到了鍛煉.

實際上，還有其他的角度可以對問題2進行變式設計：上述變式都是利用數列前n項和公式特征而衍生出來的，同學們還有其他不同的視點呢？數列的臨界項的角度可以解決這一問題嗎？這樣的問題設計能夠很好地引導學生轉換視角對問題進行重新審視，知識之間的關聯也會因此變得更加寬廣.

2.變式教學能使學生思維的寬度得到拓展

問題3：已知數列{an}和{bn}的通項公式分別為an=2n-1和bn=2n.

（1）若cn=an+bn，則數列{cn}的前n項和是多少？

（2）若cn=an·bn，則數列{cn}的前n項和是多少？

（3）數列{cn}的通項公式的前n項和是多少？

已知等差數列與等比數列在問題的創設中得到了有意義的構造，連續變化的三種構造方式及數列的求和在一連串的問題中因為思考角度的不一樣得到了有意義的探究，囊括分組求和、錯位相減等情況的數列求和使得學生在一系列的變式中掌握了數列求和的更多方法，數列求和的本質方法也在不同角度的思考中很好地凸顯了出來.不僅如此，變式教學的合理運用使得一個問題得到了多角度的思考，學生在求異、思辨的思維空間中對不同情況進行比較、分析及反思，也很快清楚地掌握了這一類題目的解決辦法.而且，教師遵循“少練精講”這一原則下的變式教學使得很多反復、機械的訓練得以很好的避免，新課程所倡導的“減時提效”也真正得以實現，學生思維的寬度在多種方法、多類問題的接種中得到了很好的拓展.

3.變式教學能使學生思維的靈活度得到提升

問題4：已知關于x的方程4x-（k+4）2x+4=0，假設該方程有實數解，那么k的取值范圍是怎樣的？

變式1：已知關于x的方程4x-（k+4）2x+4=0，如果該方程在（0，1）內有實數解，那么k的取值范圍是怎樣的？

利用一元二次方程根的分布能夠很快將問題4解決掉，但變式1在卻在原問題的基礎上添加了區間（0，1）這一條件，采取根的分布對變式1進行討論也就相對比較復雜了，但分離變量的方法卻能使本題的解決更加簡單.因為區間這一條件的改變使得問題的最佳解題方法也隨之改變了，很多學生對其中的奧妙是無法理解的，變式教學在這種變化多端的問題中就能展現出更多的優勢了.利用變式教學指導學生在同一個問題中從“變”中尋求“不變”能使學生更快地掌握解決問題的通法，同時還能使學生在“不變”的問題中尋找“變化”并學會選擇最為適當的方法，這對學生思維靈活度的鍛煉是特別有意義的.

教師在變式教學中不能為了追求“變”而搞得過于形式化，也不能為了課堂教學看上去變化多端而刻意追求.教師采取變式教學時應關注各變式是否具備針對性與實效性，在結合學生實際情況的基礎上靈活運用變式教學，將課堂例題進行精心的設計并因此使得學生的思維靈活度得到更好的鍛煉，將學生眼前的發展與長遠的發展均設計在有意義的變式教學設計中，使得學生在不斷激活封存記憶的基礎上充分發揮出自己的內在力量，并因此實現數學的高效學習.F