導數考點“廣而告之”

☉江蘇省如皋市第二中學 黃 榮

縱覽歷年高考命題，對導數的考查力度不斷增大，尤其是導數的應用通常以壓軸題的形式出現，常考不衰，并且常考常新，而與導數有關的基本運算和導數的幾何意義也頻頻亮相.常言道：考場就是戰場，知己知彼，方可百戰百勝！考題年年變，考點卻“巋然不動”.那么哪些考點需要引起大家的注意呢？

一、導數的有關計算

應用導數解決問題，首先要學會對函數求導，要牢記基本函數的求導公式和求導法則.靈活應用基本函數的求導公式和求導法則，這是復習導數的第一步.

例1（1）（fx）=x（2018+lnx），若f（′x0）=2019，則x0等于______.

（2）設函數（fx）的導數為f（′x），且（fx）=f′）sinx+cosx，則f′（）=______.

點評：本題靈活考查了求導公式的基本應用，第（1）題中已知函數的導數值求自變量的值體現了方程思想；而第（2）題中的f′（）是個常數，需求出它的值，解題過程同樣體現了方程思想.在導數問題中，函數思想與方程思想往往“結伴而行”.

二、導數的幾何意義

函數在某一點處的導數的幾何意義，就是函數所表示的曲線在該點處的切線的斜率.導數的幾何意義每年必考，命題時常常以小題形式出現，要么直接寫出切線方程，要么求某參數的值.

例2已知曲線f（x）=xlnx在點（e，f（e））處的切線與曲線y=x2+a相切，則a=______.

解析：因為f′（x）=lnx+1，所以曲線f（x）=xlnx在x=e處的切線斜率為k=2，則曲線f（x）=xlnx在點（e，f（e））處的切線方程為y=2x-e.

由于切線與曲線y=x2+a相切，故y=x2+a可聯立y=2xe，得x2-2x+a+e=0，由Δ=4-4（a+e）=0，解得a=1-e.

點評：函數解析式已知，切點也已知，所以利用導數法求出這條切線并非難事.又因為它與二次函數曲線y=x2+a相切，故可用二次函數判別式法求解.當然，對于二次函數問題，再次利用導數來解也不難，讀者可試一試！

三、利用導數求函數的極值或最值

導數的終極用途是研究函數的性質，其中包含利用導數求函數的極大（小）值，以及求函數在連續的閉區間上的最值.利用導數求函數的極值或最值，這種解決函數問題的方法能使復雜問題變得簡單化、程序化，凸顯導數的應用，深受命題者青睞，從而成為高考數學炙手可熱的命題熱點.

（1）求f（x）的單調區間；

（2）若f（x）的極小值為-e3，求f（x）在區間［-5，+∞）上的最大值.

令g（x）=-ax2+（2a-b）x+b-c，因為ex＞0，故y=f′（x）的零點就是g（x）=-ax2+（2a-b）x+b-c的零點且f′（x）與g（x）符號相同.

又因為a＞0，所以當-3＜x＜0時，g（x）＞0，即f′（x）＞0，當x＜-3或x＞0時，g（x）＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）的單調遞增區間是（-3，0），單調遞減區間是（-∞，-3），（0，+∞）.

因為（fx）的單調遞增區間是（-3，0），單調遞減區間是（-∞，-3），（0，+∞），所以（f0）=5為函數（fx）的極大值，故（fx）在區間［-5，+∞）上的最大值取（f-5）和（f0）中的最大者，而（f-5）==5e5＞5=（f0），所以函數（fx）在區間［-5，+∞）上的最大值是5e5.

點評：（1）求極值、最值時，要求步驟規范，含參數時，要討論參數的大小.（2）求函數在無窮區間（或開區間）上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調性，并通過單調性和極值情況，畫出函數的大致圖像，然后借助圖像觀察得到函數的最值.

四、導數與函數單調性

我們知道，導數最簡單的應用就是求函數的單調區間，而已知函數的單調性可以確定函數式中特定字母的值或范圍，這種導數應用的“雙向性”一直是近年高考的必考點.

（1）若函數h（x）=（fx）-g（x）存在單調遞減區間，求a的取值范圍；

（2）若函數h（x）=（fx）-g（x）在［1，4］上單調遞減，求a的取值范圍.

由于h（x）在（0，+∞）上存在單調遞減區間，故當x∈（0，+∞）時，-ax-2＜0有解，即有解.設G（x）=，所以只要a＞G（x）min即可.而，所以G（x）min=-1.所以a＞-1.又因為a≠0，所以a的取值范圍為（-1，0）∪（0，+∞）.

（2）因h（x）在［1，4］上單調遞減，故當x∈［1，4］時，恒成立.

點評：可導函數f（x）在（a，b）上是單增（或單減）函數?對于任意x∈（a，b），都有f′（x）≥0（或f′（x）≤0），且f′（x）在（a，b）的任意子區間上都不恒為零.這是解這類問題的理論依據，利用這個理論依據，我們可把原問題轉化為不等式能成立問題，或者不等式恒成立問題，這種轉化與化歸的數學思想正是高考命題的考查目標，體現了高考“能力立意”的思想，在平時的復習中應引起高度重視.

五、利用導數處理含參數的恒成立問題

恒成立問題中的參數取值范圍，也是高考的命題熱點之一，其解決方式較多，但導數法是首選，利用參變量分離法，再嘗試從導數知識入手，往往能鋒回路轉天地寬，柳暗花明又一村，這就再一次說明導數在教材中的引入，拓寬了高考的命題空間，這類問題具有一定思維層次的題目，我們同樣不可掉以輕心.

例5已知函數f（x）=alnx-bx2，a，b∈R.若不等式f（x）≥x對所有的b∈（-∞，0］，x∈（e，e2］都成立，求實數a的取值范圍.

解析：由題意可得bx2≤alnx-x.

因為x∈（e，e2］，所以

由b∈（-∞，0］，故對任意的x∈（e，e2］，都有≥0，即alnx≥x對一切x∈（e，e2］恒成立，即對一切x∈（e，e2］恒成立.

點評：破解不等式恒成立問題通常需要“一構造一分類”：“一構造”是指通過不等式的同解變形，構造一個與背景函數相關的函數；“一分類”是指對不等式恒成立問題，常需對參數進行分類討論.有時也可以利用分離參數法，即將不等式分離參數，轉化為不含參數的函數的最值問題，利用導數求該函數的最值，一般地，a＞f（x）對x∈D恒成立，只需a＞f（x）max；a＜f（x）對x∈D恒成立，只需a＜f（x）max.本文最后值得一提的是，高考對導數的考查主要側重于導數的工具性和利用導數解決問題的靈活性.因此，我們只有多訓練、多總結、多反思，才可達到理想的復習效果.H