“導數在函數中的應用”的設計、實踐與反思

☉青海省油田一中 應春風

導數在函數中的綜合應用常常以壓軸的形式在高考試題中出現，學生對導數、方程、不等式等知識的交匯綜合運用能力是此類考題考查的重點，筆者結合導數在函數中的應用這一內容進行了專題公開課的教學，主要為了學生能夠更好地掌握如何運用導數進行函數單調性、極值、最值研究的方法，同時也使學生能夠在這些基礎知識與方法的研究中更好地掌握四種數學思想方法.

一、教學過程

1.回顧基礎知識

師：導數在高中階段函數的研究與實際問題的解決中是一個工具，那么，導數究竟能與函數的哪些性質聯系在一起并應用于實際問題的研究呢？

（1）導數與函數的單調性.

對于函數y=f（x），若在某區間上f′（x）≥0且不恒為0，則f（x）在該區間上單調遞增，反之也成立；若在某區間上f′（x）≤0且不恒為0，則f（x）在該區間上單調遞減，反之也成立.

注：導數與恒成立問題結合在一起是比較常見的.

（2）極值點與導數.

函數y=f（x）在x0處取得極值的充要條件為：①f′（x0）=0；②y=f（x）在x0左右單調性發生改變.

注：兩條件必須同時具備.

變式：x0是函數y=f（x）的極值點是f′（x0）=0的______條件？舉例說明.

設計意圖：提問的方式使學生對導數與函數單調性、導數與極值的關系進行了有效的回顧，學生因此對導數的基本知識，以及導數在函數中的應用原理形成了更有深度的認識與思維.

2.例題解析

例1函數f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）的圖像關于原點對稱，當x=1時，f（x）有極大值2.

①求a、b、c的值；

②若x1、x2∈［-1，1］時，求證：|f（x1）-f（x2）|≤4；

③討論方程f（x）-2m=0的根的個數；

④如果函數f（x）的圖像在x∈［-1，1］時恒處于3x-2y+m=0的圖像上方，求m的取值范圍.

設計意圖：極值知識點和函數奇偶性的知識交匯使學生對知識的綜合運用能力得到了很好的鍛煉，學生對綜合題的樣式也因此更加熟悉，其中第②問對學生的知識轉化能力也起到了很好的鍛煉，只要證得函數在區間［-1，1］上滿足|fmax（x）-fmin（x）|≤4，問題即能得到解決.比較簡單的第③問考查了學生對函數與方程思想的應用，而第④問則應在將問題轉化成恒成立問題的基礎上再結合導數知識對函數的最大值進行求解.綜合諸多知識點及思想方法的練習使學生的綜合能力得到了有意義的鍛煉與提高.此題改變成函數g（x）后變成了含參數k的函數，可以設計成以下變式.變

設計意圖：著眼于基本題及其變式使學生在題目的不斷變化中體會到參數對問題的影響，并使學生在正確的分類討論中不斷完成思維的挑戰.

3.課堂小結

師：怎樣利用導數對函數的單調性、極值、最值等性質進行研究是我們本課復習的主要內容，大家有何收獲呢？

學生在教師的引導與啟發下對本課所復習的基礎知識與常見問題處理辦法進行了回顧與總結，學生對綜合問題的思考與處理也在學生的回答中一一展露，最后教師在學生小結的基礎上作了進一步的歸納.

二、教學反思

1.二輪復習教案應著眼于知識整合和思想滲透而科學設計

基礎知識、數學思想方法、數學知識的綜合及知識之間的內在關聯都是每年高考試題設計中尤其注重的幾個方面，大部分學生在高三第一輪的復習中已經基本掌握高中所學的數學知識并形成了一定的知識體系，很多學生也已經積累了比較豐富的解題方法與經驗，但很多學生在第一輪復習過后仍不能將知識點前后串聯起來，從本質上說這是學生對數學知識所蘊含的思想與本質的理解不夠深入.因此，教師在二輪復習教學中應著眼于基礎知識與方法的不斷深入，因此促成學生對數學知識之間聯系的深入理解，并逐步建立起較為清晰而富有條理化的知識結構系統.導數、函數奇偶性、單調性等諸多基本知識融合的本課例題也體現出了數形結合、轉化與化歸、函數與方程、分類討論等諸多的數學思想與方法.比如，分類討論這一高考命題中的熱點一般都會與參變量問題融合體現，本課例題的變式中就編制了要求學生多作分析和思考的該類問題：該題需要分類討論嗎？為什么需要？應怎樣確定分類標準？怎樣討論？學生在幾個小題的訓練中對數學思想方法的實質也越發熟悉，并因此逐步學會融會貫通.因此，教師在復習教學中應幫助學生學會打破知識之間的界限，并逐步提升思維水平.

2.二輪復習教案應著眼于點到面的輻射而設計

教師在二輪復習的教案編寫中，首先應對復習的內容作出科學、合理的整體構想，確定課堂復習教學的核心，并以此為主線預設復習的內容與形式，在后續教學中依此有序展開復習.筆者在本課的設計中立足導數所具備的工具性這一特征進行了一系列的變式設計，圍繞例1這一母題而衍生的五個子題實現了由點到面的輻射，也因此將學生的思維帶向了更深、更遠的水平層面.

3.二輪復習應注重學生思維的訓練

二輪復習一般都會注重課堂復習容量的增加，但這并不代表課堂講授與練習的過多追求，事實上，教師應該在復習教學中對非重點問題敢于取舍，并將學生感覺困惑的問題、模糊不清的問題、缺漏的問題、高考熱點問題一一解決，使得學生在教師有針對性的教學舉措中獲得思維容量的擴充，同時，教師應始終圍繞重要的方法、知識、數學思想方法及近年來的高考熱點題型進行重點講授并督促各環節的落實.本節課圍繞導數與函數的最值、極值關系設計并變化出了九個小題，本課的教學重點與主題得到了很好的強化，近年來的很多高考題都是在平日練習的基礎上改變了設問方式或互換條件與結論等手段而呈現的，因此，教師在平時教學中如果能夠對一些可以改變的題目進行變式與題組訓練，往往能夠使學生對此類問題的本質與通性通法形成更加牢固的認知與理解.比如，變式1與變式2的設計能夠使學生對最值的思想方法的認識得到強化，變式3與變式4的設計能夠有效地提升學生對知識的靈活轉化，而變式4與變式5之間的比較與推廣又使學生的思維得到了很好的拓展.

4.二輪復習教學應著眼于學生這一學習主體的發展

容量大且具備一定難度的高三數學二輪復習課堂教學必須調動學生的主動性才能實現高效課堂的真正構建，教師在復習教學中應為學生營造出寬松、和諧而平等的學習氛圍，并使每一位學生都能感受到自己的主體地位，只有這樣，學生在數學學習中的自信心才能逐步建立并穩步提升.比如，本課例題中的基礎知識的回顧與解決相對來說是比較簡單的，可以讓數學能力中下等的學生來回答，以此來提升他們的學習興趣.再者，教師在設計教學過程時應以學生發展為中心，并將師生互動式、對話式的教學方式落實到教學過程中，使學生在積極主動的探究活動中不斷培養出堅持不懈、努力鉆研的人格品質與毅力.不過，教師適當的點撥和講解在復習教學中仍然是必須的.比如，筆者在本課例題中最后一個變式的教學中組織了學生的小組合作與討論并對學生進行了適時的點撥，這使得課堂復習教學的高效性得到了有力的保障.

教師在二輪復習教學中應本著鞏固、完善、綜合與提高的指導思想落實教學.鞏固是對知識系統的強化，完善是對知識的查漏補缺，綜合是對知識連接點的體會，提高則是學生思維能力、概括能力、分析解題能力的不斷進步，這些所有的環節都是知識體系逐步建構而完善的過程，是學生數學綜合能力養成與提高的過程.除此以外，教師在二輪復習教學中還應緊緊圍繞學生思維的發展這一核心進行教學，并使得課堂復習更為科學而有效.F