關注三“點”：平行四邊形起始課教學與思考

☉江蘇省昆山市葛江中學 周曉秋

平行四邊形的起始課教學一直是各級教研熱點課題，很多地區賽課、研討課、示范課常常選此課題，很多期刊上也有這節課的教學實錄與教學反思.筆者近期有機會開設該課的教學研討課，參考了一些文獻、或網絡（QQ群）、或網上視頻課，并融入自己的一些思考，本文梳理該課的教學流程，并跟進思考，提供研討.

一、教學過程

教學環節1：創設情境，引入新課

復習舊知：我們學習平面幾何有一段時間了，最熟悉的是什么圖形？除了一般的三角形，我們還學習了特殊的三角形，有哪些特殊三角形呢？以等腰三角形為例，我們學習了等腰三角形的哪些內容？通過三角形的學習，積累了經驗與方法.學習了三角形之后，你們認為應該學習什么圖形？除了一般的四邊形還要學習什么？

教學預設：在提問上述舊知時，隨著學生的互動對話，學生對三角形進行了系統的學習，以特殊三角形——等腰三角形為例，引導學生回顧等腰三角形的學習經歷，明確幾何圖形的研究思路：定義——性質——判定——應用.引導學生類比三角形的特殊化，學生容易想到特殊的四邊形.在黑板上漸次生成如下板書：

展示圖片：在生活中有這樣一種特殊四邊形（如圖1、2），認真觀察，如果把圖形抽象出來，是什么圖形？

圖1

圖2

教學預設：教師展示圖片，從實際情境中抽象出數學模型，激發學習興趣；確定本節課研究對象為平行四邊形，引出本課課題“平行四邊形”.

教學環節2：畫圖活動，給出定義

給出定義：小學的時候，同學們已經認識了平行四邊形，怎樣的四邊形才是平行四邊形呢？

教學預設：學生回憶小學所學平行四邊形知識，教師板書定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫作平行四邊形.

畫圖活動：你能根據定義畫出一個平行四邊形嗎？

學生畫圖的同時，教師在黑板上板演作圖（如圖3）.

圖3

教學預設：教師類比三角形，指出平行四邊形的記法和讀法.剛才我們用文字語言和圖形語言表示了平行四邊形的定義，我們也可以用符號語言來表示平行四邊形的定義.

認識平行四邊形的要素：鄰邊、對邊、鄰角、對角、對角線.

回顧小學階段平行四邊形的定義，畫圖感知平行四邊形.

追問：知道了平行四邊形的定義，接下來我們應該繼續學習什么呢？

教學預設：通過平行四邊形的定義、記法、讀法的學習，引導學生在文字語言、圖形語言和符號語言間進行相互轉化.體會定義的雙重性，既可以作為平行四邊形的性質，又可以作為判定平行四邊形的依據.

教學環節3：猜想發現，證明性質

提問：我們應該從哪些角度，來研究平行四邊形的性質呢？觀察剛才畫出的平行四邊形，猜想平行四邊形的邊、角具有什么數量關系？請獨立思考，并寫出你猜想的結論.類比等腰三角形，確定平行四邊形的研究方向，從定義出發，再研究性質.

教學預設：圖形性質是研究圖形的構成要素——邊、角之間的關系.平行四邊形邊的位置關系在定義中已有所體現，重點研究邊、角之間的數量關系.學生通過觀察度量，提出猜想，先獨立思考，再小組討論，教師及時參與并指導.然后展示猜想，教師板書學生的猜想.

學生根據已有的學習經驗，容易用到度量操作驗證、對稱操作驗證、推理論證等方法.教具展示對稱操作驗證的過程，說明平行四邊形是中心對稱圖形.

由于上述問題比較開放，教師需要對“平行四邊形的對邊相等”這條猜想進行推理論證的教學預設是：如果學生提出連接對角線，教師追問：為什么要連接對角線？如果學生找不到證明思路，教師引導學生由結論（證明線段相等）出發，分析達到目標的方法（通過三角形全等證明邊、角相等），需添加輔助線，構造全等三角形，將四邊形問題轉化為三角形問題來解決.

在初步形成證明思路之后，學生獨立推理證明，適當安排學生上臺板書，并規范證明過程.講評時，鼓勵學生展示他們證明角相等時的不同方法，并跟進反思“殊途何以同歸”.

教學環節4：性質應用，例題講評

例1 如圖4，四邊形ABCD是平行四邊形.

（1）若∠B=50°，則∠A=___°，∠C=___°，∠D=___°.

（2） 若AB=2cm，BC=3cm，則?ABCD的周長為_____cm.

圖4

圖5

例2 如圖5，在?ABCD中，E、F為對角線BD上的兩點，且BE=DF.

求證：AE=CF.

教學預設：學生先獨立完成，然后進行展示，說明理由，鞏固性質.對于例2，學生獨立思考，先行證明，教師巡視并作個別指導.然后再找一位同學展示證明思路與證明過程，鼓勵不同做法，最后總結方法.總結證明線段相等的方法，除了全等三角形，利用平行四邊形的性質也是證明線段或角相等的又一重要工具.

教學環節5：課堂小結，梳理反思

預設如下小結問題：

（1）本節課你學到了哪些知識？

（2）探究性質經歷了哪些過程？體會到哪些數學思想方法？

（3）對于平行四邊形，你認為還要研究哪些內容？

教學組織：讓學生回顧思考，積極交流展示，在此基礎上，教師總結：本節課，我們類比等腰三角形的學習，按照“定義——性質——判定——應用”的研究思路，學習了平行四邊形的定義和性質.通過“觀察——猜想——驗證”的研究方法，將四邊形問題轉化為三角形問題，探究出了平行四邊形邊、角的性質.與此同時，我們看到，類比和轉化等數學思想方法是研究幾何圖形的有力手段.在師生小結的基礎上，完善形成板書（見下面“板書設計”）.

附：板書設計

平行四邊形的性質（第1課時）一、定義兩組對邊分別平行的四邊形叫作平行四邊形.【例題講評區】研究思路：定義-性質-判定-應用A D B研究方法：四邊形類比轉C化三角形記作：?ABCD二、性質1.平行四邊形的對邊相等.2.平行四邊形的對角相等.思想方法：觀察-猜想-驗證

二、教學思考

1.深刻理解教學內容，找準知識生長點

備課之初，我們需要對教學內容深入理解，包括全面研習國家層面的課程標準、不同版本的教材上這部分內容的素材，以及對平行四邊形第1課時的內容劃分.比如，學生在小學階段就學習平行四邊形，但初中學段對平行四邊形的要求是不一樣的，按張奠宙先生所說“小學階段學習數學是‘消費’數學，而到了中學，就要開始‘還債’，追問理由，進行推理論證”.這也是平面幾何學習的價值或精神所在.找準知識生長點之后，可以從學生熟悉的生活圖片（富含平行四邊形的圖片）引入新課，抽象出平行四邊形，從定義出發畫圖直觀感受并猜想和證明相關性質.成為這節課新知引入和探索的邏輯鏈條.

2.精準研究班情學情，明確教學用力點

經常借班上課的老師會有這樣的感受：相同的內容在不同的班級（即學情不同）上出來的效果往往相差甚大.可見精準研究班級學生的學情，即學生的最近發展區對于明確教學用力點是十分關鍵的.在上文課例中，我們針對本班學情，“舍棄”了有些教材上在第1課時學習的“平行線之間的距離”這個知識點，而用力點放在師生互動對話探究出平行四邊形的性質，讓平行四邊形性質的證明與思想方法的感悟得到了時間保證.

3.選配典型例題習題，聚焦訓練發力點

平行四邊形的性質一共兩課時，第1課時研究平行四邊形的定義及平行四邊形邊、角的性質；第2課時研究平行四邊形對角線的性質，并應用性質解決簡單問題.本節課是第1課時，主要從邊、角兩方面探究平行四邊形的性質，進一步積累幾何圖形的研究思路和研究方法，在探究中將四邊形問題轉化為三角形問題，對于培養演繹推理、訓練數學思維、積累活動經驗等方面起到重要作用.由于本課在探索并證明平行四邊形的性質上所需教學時間較多，所以例題教學環節就不宜選配太難的習題，這不僅僅是因為平行四邊形起始課、新授課的要求，更主要的是要突出本課的課時教學目標（掌握平行四邊形的邊、角性質）.順便提及，當下有些“習題單”式的導學案，混淆了新授課、起始課、習題課的教學目標，在學習一個新概念、新性質的起始階段，就選配了很多“好題、難題”，反而“敗壞”了學生的學習興致，把本來很簡單、美妙的數學概念或性質，變成“面目可憎”的難題的習題教學.這是值得我們反思的.

1.劉東升，沈紅艷.經營轉場：折紙串起平行四邊形起始課教學［J］.中學數學（下），2016（10）.

2.鄭毓信.“開放的數學教學”新探［J］.中學數學月刊，2007（7）.

3.章建躍.構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考［J］.數學通報，2013（6）.H