基于培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的課例
——以（滬科版）九年級(jí)（上）23.1銳角的三角函數(shù)教學(xué)為例

☉安徽省淮北市杜集區(qū)教育局教研室 朱啟州

☉安徽省淮北市杜集區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 李 麗

本文大膽嘗試在半徑為1的圓內(nèi)定義銳角三角函數(shù)，意在突出三角函數(shù)的幾何意義，突出數(shù)學(xué)核心思想方法——數(shù)形結(jié)合法，引導(dǎo)和啟發(fā)教師研究教村，基于核心素養(yǎng)進(jìn)行教學(xué).

現(xiàn)有教材大都以相似三角形為基礎(chǔ)，建立銳角三角函數(shù)的概念，教學(xué)中的難點(diǎn)是讓學(xué)生理解三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，與角所在的三角形的大小無(wú)關(guān).突破這一難點(diǎn)，常常需要花費(fèi)較大的精力.為此，筆者大膽嘗試在半徑為1的圓內(nèi)定義銳角三角函數(shù)，從而繞過(guò)教學(xué)難點(diǎn)，又繼承了現(xiàn)有教材銳角三角函數(shù)知識(shí)體系，拓展了學(xué)生的思維空間.下面是筆者在這方面的一點(diǎn)實(shí)踐探索，供讀者參考.

一、利用半徑為1的圓定義銳角三角函數(shù)的教學(xué)課例與點(diǎn)評(píng)

1.創(chuàng)設(shè)情境，激趣引新

問(wèn)題1：汽車(chē)免不了爬坡，爬坡能力是衡量汽車(chē)性能的重要指標(biāo)之一，汽車(chē)的爬坡能力是指汽車(chē)在通常情況下滿載時(shí)所能爬越的最大坡度.怎樣描述坡面的傾斜程度呢？

師：如圖1和圖2，直線a是水平線，A1B1、A2B2分別表示兩個(gè)不同的坡面，哪個(gè)更陡？你是怎樣想的？

圖1

圖2

生1：圖2中的坡面A2B2更陡，因?yàn)樗c水平面的夾角更大.

師：準(zhǔn)確地說(shuō)，坡面與水平面所夾的銳角越大，坡面越陡，我們把這個(gè)角稱(chēng)為坡角.還有哪些不同的方法，能說(shuō)明后者更陡嗎？

生2：在坡面上走相同的路程，升的越高坡面越陡.

師：好的，在生活中，我們都這樣認(rèn)為.誰(shuí)能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，把意思表達(dá)清楚嗎？

生3：如圖3和圖4，分別在A1B1、A2B2上取C1、C2，使A1C1=A2C2，作垂線段C1D1、C2D2，有C1D1

圖3

圖4

點(diǎn)評(píng)：這是滬科版教材中的一個(gè)引例，此例來(lái)自于生活，為學(xué)生熟悉并且與本課教學(xué)聯(lián)系密切.這種從日常生活中衡量坡面陡峭程度的問(wèn)題出發(fā)，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)化將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再借助數(shù)學(xué)的方法去解決問(wèn)題.這種“用數(shù)學(xué)的眼光觀察問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的思維去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的方法去處理問(wèn)題”就是數(shù)學(xué)理性.

2.自然探究，由然而生

師：（追問(wèn)）為什么要在坡面上取C1、C2？

生4：若是土坡，你能到地下的水平線上取點(diǎn)嗎？（理直氣壯）

師：值得肯定的是，這位同學(xué)還考慮到實(shí)際情況.也就是說(shuō)，如果就是一面內(nèi)的兩個(gè)角，還是可以的，對(duì)嗎？（學(xué)生都認(rèn)可這個(gè)說(shuō)法）

師：A1C1=A2C2都取1個(gè)單位長(zhǎng)，行嗎？

生：當(dāng)然可以.（有部分學(xué)生只是默認(rèn)）

師：那老師再將兩個(gè)角疊在一起，頂點(diǎn)與始邊（始邊在水平線上）重合，如圖5，以A為圓心，單位1為半徑畫(huà)圓，分別交兩角的終邊于C1、C2，C1D1、C2D2分別是到水平線的垂線段，同學(xué)們觀察圖形，有什么發(fā)現(xiàn)？

點(diǎn)評(píng)：我們常常想，這一點(diǎn)是學(xué)生的真實(shí)想法嗎？是自然生成的嗎？這一點(diǎn)是不容置疑的，因?yàn)闉榱吮容^哪個(gè)坡更陡，只要比較在坡面上移動(dòng)相同的距離時(shí)，上升的高度越高的坡越陡，于是用在坡面上移動(dòng)一個(gè)單位的距離時(shí)最為方便.上述念頭就會(huì)由然而生.

生5：我發(fā)現(xiàn)C1D1

生6：我發(fā)現(xiàn)線段C1D1、C2D2的大小與坡角一樣，也能表示坡面的陡緩程度.

生7：我發(fā)現(xiàn)一個(gè)銳角只能畫(huà)出圖中的一條垂線段.

生8：我發(fā)現(xiàn)一個(gè)銳角與圖中的垂線段是一一對(duì)應(yīng)的.

圖5

圖6

師：大家觀察的真仔細(xì)，表達(dá)得也很好.如圖6，在半徑為1的圓中，銳角α始邊為ON，終邊與圓只有一個(gè)交點(diǎn)P，垂線段MP對(duì)角α而言是唯一的，對(duì)吧.所以我們把垂線段MP的長(zhǎng)度叫角α的正弦，記作：sinα=MP.

把線段OM的長(zhǎng)度叫角α的余弦，記作：cosα=OM.

點(diǎn)評(píng)：引入中教師將引例中的兩個(gè)角疊合在一起，從而讓兩個(gè)不相關(guān)聯(lián)的圖形產(chǎn)生了聯(lián)系，圖形由靜態(tài)變?yōu)閯?dòng)態(tài)，有效引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)推斷和理解三角函數(shù)的幾何意義.數(shù)學(xué)作為人類(lèi)文化的一部分，它的知識(shí)、方法、思想、語(yǔ)言、精神等，是人類(lèi)理性思維的根.

3.鞏固練習(xí)，升華認(rèn)識(shí)

問(wèn)題2：利用半徑為1的圓，求30°角的正弦、余弦值.

師：5位同學(xué)到黑板前板演，其余同學(xué)在紙面上完成.

師：請(qǐng)5位同學(xué)分別給板演的5位同學(xué)批閱，并給出評(píng)價(jià).然后將其中一位同學(xué)的解答用實(shí)物投影儀展示在屏幕上.

圖7

解：如圖7，在Rt△OMP中，∠POM=30°，OP=1，則由勾股定理，可得OM

問(wèn)題3：一個(gè)15°的角，在放大100倍的放大鏡下看，它的正弦、余弦、正切值會(huì)變嗎？為什么？

生1：可能會(huì)變，因?yàn)榉糯蠛筮@個(gè)角就不是15°.

生2：不會(huì)變，因?yàn)榉糯蠛蟮膱D形與原圖形相似，所以這個(gè)角還是15°.

師：一個(gè)說(shuō)會(huì)變，一個(gè)說(shuō)不會(huì)變，老師認(rèn)為說(shuō)的都在理，那該聽(tīng)誰(shuí)的呢？

生3：不會(huì)變，畫(huà)圖就知道了，就當(dāng)黑板上角α就是15°，放大后只是邊畫(huà)長(zhǎng)了，角不會(huì)變，PM、OM、NQ都只有一個(gè)，所以它的正弦、余弦值不會(huì)變.

師：說(shuō)的太好了！剛才誰(shuí)說(shuō)的會(huì)變，你來(lái)反駁幾句.

生1：是我錯(cuò)了，當(dāng)時(shí)我沒(méi)想清楚，心想一放大，角說(shuō)不定會(huì)怎樣變.

師：數(shù)學(xué)是最講誠(chéng)信的，真理會(huì)越辯越明.

點(diǎn)評(píng)：練習(xí)的重要目的是為了診斷與反饋，進(jìn)而進(jìn)行必要的矯正與深化，達(dá)到“生飯做熟，熟飯做透”的目的.令人意想不到的是學(xué)生的作為溢出教師的教學(xué)預(yù)設(shè)，這就是寶貴課堂生成資源，教師因勢(shì)利導(dǎo)地讓學(xué)生爭(zhēng)辯，潛移默化地進(jìn)行了社會(huì)主義核心價(jià)值觀的教育.

4.引伸拓展，出井觀天

師：對(duì)銳角α，如圖8，sinα=MP，cosα=OM.

通過(guò)觀察，你能發(fā)現(xiàn)銳角α的三角函數(shù)哪些結(jié)論？并簡(jiǎn)單說(shuō)明理由.

生1：很顯然sinα、cosα都是正數(shù).

圖8

生2：我發(fā)現(xiàn)0

生3：我發(fā)現(xiàn)1OP，于是sinα+cosα>1；而sinα+cosα<2是顯然的.

生4：我發(fā)現(xiàn)sin2α+cos2α=1，在Rt△OMP中，OM2+MP2=OP2，而OP=1，所以sin2α+cos2α=1.

師：同學(xué)們真能干，發(fā)現(xiàn)這么多結(jié)論，這些都是同角三角函數(shù)關(guān)系.

師：如果銳角α逐漸增大，那么sinα、cosα、tanα是怎樣變化的？

生5：sinα隨銳角α的增大而增大；cosα隨銳角α的增大而減小.至于為什么，觀察圖形是一目了然的.

師：同學(xué)們觀察的真仔細(xì)，有些連老師都沒(méi)想到，你們真了不起.

點(diǎn)評(píng)：從三角函數(shù)的幾何意義出發(fā)，借助數(shù)形結(jié)合，很容易理解銳角三角函數(shù)的一些重要性質(zhì)，更進(jìn)一步理解三角函數(shù)的意義，這種注重精確、定量、邏輯推理的思維方式就是數(shù)學(xué)理性.

師：時(shí)間過(guò)得真快，又到快下課的時(shí)間了.想一想，這節(jié)課你學(xué)到了什么？有哪些感受？你們還有什么疑問(wèn)或沒(méi)明白的地方，大膽說(shuō)出來(lái).

生1：我知道銳角的正弦、余弦意義，了解到它們的一些性質(zhì)，會(huì)計(jì)算一些特殊角的正弦、余弦值等.

生2：我知道斜坡的銳角的正弦、余弦與坡角一樣，也能反映坡面的陡緩程度；還知道銳角的正弦、余弦值只與角的大小有關(guān).

生3：課前我依課本預(yù)習(xí)過(guò)，不是這樣說(shuō)的，但都是殊途同歸，這節(jié)課讓我長(zhǎng)見(jiàn)識(shí)了.

師：真是一個(gè)愛(ài)學(xué)習(xí)的好孩子，預(yù)習(xí)是一個(gè)好習(xí)慣.還有哪些同學(xué)也預(yù)習(xí)了？（30多位同學(xué)都舉起了手）

師：大家談的都很實(shí)際，說(shuō)明我們都是有思想的人.老師想讓大家課后把本課所學(xué)的知識(shí)用思維導(dǎo)圖的形式表達(dá)出來(lái)，好嗎？看誰(shuí)畫(huà)的更清晰、明了、有價(jià)值.

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)應(yīng)用環(huán)節(jié)，教師充分發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，引導(dǎo)學(xué)生自主思考、充分交流、充分發(fā)表見(jiàn)解，教師充分發(fā)揮引領(lǐng)作用，將師生之間的合作這一寶貴資源用到極致，學(xué)生在思想交流與碰撞中收獲自信與快樂(lè)，學(xué)生臉上洋溢著成功的喜悅.

二、結(jié)束語(yǔ)

有詩(shī)云：“好雨知時(shí)節(jié)，當(dāng)春乃發(fā)生.隨風(fēng)潛入夜，潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲.”教師通過(guò)情境的創(chuàng)設(shè)，誘發(fā)學(xué)生思考沖動(dòng)，在生生、師生交流中激發(fā)出智慧火花，在教師的引領(lǐng)下，通過(guò)學(xué)生積極運(yùn)用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行理性思考，在思考中學(xué)生不斷獲得新的認(rèn)識(shí)，新的學(xué)習(xí)成果，這就是真實(shí)的數(shù)學(xué)課堂.話又說(shuō)回來(lái)，不是每節(jié)課都能實(shí)現(xiàn)同樣的結(jié)果，也許下節(jié)課面對(duì)不一樣的學(xué)生，不會(huì)產(chǎn)生要借助單位圓定義三角函數(shù)，而會(huì)產(chǎn)生不一樣的念頭，不得而知.正所謂：一生一世界，一課一乾坤.

1.吳之季，蘇淳.義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)（九年級(jí)上冊(cè)）［J］.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2012.

2.崔群，孫朝仁.初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)實(shí)物類(lèi)工具開(kāi)發(fā)的基本原則［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（9）.

3.朱啟州.一堂數(shù)學(xué)“翻轉(zhuǎn)”復(fù)習(xí)課引發(fā)的思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（9）.H