以情貽知 以美啟真
——中考復習摭談

☉山東省濱州市北鎮中學初中部 邢成云

鄭毓信教授談到“語文教學是以情貽知，數學是以知貽情”，數學也不妨適時來點“以知貽情”，尤其是中考復習這個老生常談的教學話題，復習的內容由于不再新鮮，縱然是“打開書了然，關上書茫然”的低淺狀態，但學生面對時那種新課的激情難再，這種情緒勢必削弱復習的效果，復習這個老歌委實不好唱.基于這些認識，去年的中考復習，筆者嘗試了“以文化人”的行走方式，從外形上把課堂打造成帶有文化味的場域，無形中調度了學生復習的積極性，實踐證明，效果明顯.恰如瑞士心理學家皮亞杰所言：“興趣是能量的調節者，它的加入便發動了內在儲存的力量，足以使工作變得有樂趣.”本文通過一個“特殊三角形”的單元復習教學談談筆者的點滴之為，請同仁指正.

一、單元結構化

精致化結構，這是筆者復習教學的舉措之一，通過師生的交流活動使得視覺美與內涵美有機結合，立足整體把單元復習的核心線索（有的包括知識技能、思想方法等）勾勒出來，這種結構化、系統化的綱要信號，讓人一目了然，于胸生根，無形中調度了學生的復習心向，增進了學生積極的情感體驗，同時復習的脈絡套路得以滲透，形成了具有遷移性的板塊，為后續復習四邊形提供了可資借鑒的思路系統.

課時規劃：3課時（等腰三角形+等邊三角形+直角三角形），單元結構化當屬第1課時的前奏.

二、一圖一世界——與等腰第二次握手（第1課時）

教學說明：“擬題”是筆者復習教學的又一舉措，每天的復習課都有一個別樣的標題，力求讓學生在進入復習狀態前先眼前一亮，既能見證復習的主題，又蘊含著文學的意味，知情兼備，可有效調度學生復習的積極心向.

過程設計如下：

環節1：展圖.

圖1

（大腦風暴，見圖想性）見到圖1，同學們能想到哪些相關知識？

從性質、判定兩個基本維度展開，并揭示它們的互逆性，形成等腰三角形復習導圖（圖2）

圖2

教學說明：見到圖形的大腦風暴，迅速獲得關于圖形的聯想，基于圖形的研究角度而呈現，讓圖式揮盡洪荒之力，久而久之就會形成思考問題的有序化，傅學順先生稱之為：“見微知著，聯想快速反應法則.”作為幾何部分的復習，一圖為基，繁衍生息，簡約中蘊大氣，變化中見本質.同時這種知識喚醒的序列化、集約化，若再通過圖式展示出來，會愈加直觀明了，且知識的內在關聯蘊含其中，在發散中凝聚成“等腰”板塊，形成知識的整體縮影，能有效降低學生的外部認知負荷，便于學生應用時對知識的記憶與調度.這種內在的邏輯美與外在的視覺美的聯袂，彰顯出感性與理性融匯的光輝，有著濃濃的浪漫韻致.

環節2：在圖1中加補條件，使之變成更加特殊的等腰三角形，并研究揭示它們三邊之特殊關系.

邊特殊：等邊三角形，各邊關系1∶1∶1.

角特殊：（1）等腰直角三角形（頂角90°），各邊關系1∶

教學說明：立足一圖，再次賦予特殊性能，使之愈加特殊化，這也是局部之內“一般走向特殊”的進一步印證，通過個性思考、集思廣益的交疊活動感知并識得圖形學習的基本走向，這已經有了自編自擬的味道，看似漫天索問，其實是在滲透幾何圖形的研究策略，這種統領性的觀念是高位的，彌足珍貴的.另外，這一匯聚的過程中不乏等腰三角形性質與判定、全等與相似性質及判定等的聯手，核心的幾何知識貫通其中，是以點帶面的輻射性復習，實踐證明，效果良好.

環節3：盤點等腰三角形的基本圖并證明之.

除了上述導圖中列出的“角分線+高線、中線+高線、角分線+中線”，還有常見的以下三類：

（1）Rt△+斜邊中線（圖3中的△ACD與△DBC）.

圖3

（2）角分線+平行線（圖4中的△EBC，圖5中的△OCD，圖6中的△ADC，圖7中的△ABC）.

圖4

圖5

圖6

圖7

（3）雙垂直+角分線（圖8中的△CEF，圖9中的△MBC）.

圖8

圖9

教學說明：盤點基本圖形不是拼盤式堆砌，而是基于三角形三條重要線段之間以及平行線等的不同組合，通過圖式的引領作用把相關的基本圖統攝起來，形成知識模塊，是對核心幾何知識的凝聚，本身既是基本圖式，又是一道道題目，形成了梳理零散知識、熟悉基本技能、顯化基本方法、滲透基本思想、發展整體思維的綜合場景.

環節4：返扣基本圖的演練.

（1）如圖10，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分線交于點P，過點P作DE∥BC，分別交AB、AC于點D、E，則圖中等腰三角形的個數是（ ）.

A.5個 B.4個 C.3個 D.2個

圖10

圖11

（2）如圖11，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于點D，E為AC的中點，連接DE，則△CDE的周長為（ ）.

A.20 B.12 C.14 D.13

圖12

圖13

（4）如圖13，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于點E，試猜想AB、AD、BC之間的數量關系并證明.

教學說明：利用幾何部分充滿基本圖的特點，設置相關問題，通過具體題目返扣基本圖，彰顯基本圖的導向之用，便于學生集約知識、積累經驗、系統思想，同時砥礪了聯想能力、發展了發散思維.其中前三個問題比較簡單，從不同的角度展現了等腰三角形基本圖式的價值，題目（4）上了一個臺階，有較大的挑戰性，方法思路的豐富，集中體現了圖式模型的作用，但模型需要構建，可作平行線、可截取等線段、可延長后相交等不拘一格，但同歸于與原角平分線聯手構造出等腰三角形的模型，充分展現了圖式模型的靈活使用，這是一道拓展思維含量高、智能價值高的好題！

環節5：小結與作業.

小結：凝聚圖式，提升認識（略）.

作業：（1）重新梳理等腰三角形以及更特殊的等腰三角形等基本圖形.

（2）整理課堂上自己未解決好的題目.

三、試看考題哪里來——等邊三角形考題面面觀（第2課時）

教學說明：這一課時定位于師生共同研究正三角形的中考題.中考題對于學生而言，似乎有著一定的神秘感，一談中考題就感覺不簡單，為了讓學生了解中考題就是稀松平常之題，消除對中考的畏難情緒，本屆中考復習，筆者不時采用師生共同編題的活動方式，與學生一同編題，編出中考題，在親身親歷中，感觸中考題的親近，不是“此曲只應天上有，人間能有幾回聞”的高蹈神曲，而是源于我們平民之手的小調，效果明顯.

數學教育家威弗賴登塔爾指出：數學知識應由學習者本人去發現或創造，教師的任務是幫助和引導學生進行“再創造”，而不是把現成的知識灌輸給學生.復習由于沒有統一的文本，老調重彈易淪為平淡，若立足再創造，從“一點、一圖、一式”出發等諸如此類，給平靜的復習課投以石子，蕩起學生思維之漣漪，引導學生通過添加、補充、組合、逆轉等手段，不斷創編出“新”的問題，然后教師再適時地點化說明，這就是某某市、某某年的中考題，學生的愉悅之情溢于言表，那種積極的情緒會化作向上的力量，推動著學生心悅誠服地去復習，去義無反顧地攻堅克難.這一活動已不是擬一個標題那樣的雕蟲小技了，是對學生深層情感的挖掘，是對學生創新意識的涵育，具有數學內在的魅力，這種魅力會爆發出學生積蓄已久的思維潛能，形成繽紛異彩的各樣題目.

過程設計如下：

環節1：如圖14，正三角形是一類常見的三角形，圍繞它的試題更是層出不窮，你能設計一個基于正三角形的簡單問題嗎？（出示正三角形，開放問題）

預設：基于性質與判定兩個方面，從邊、角、線、對稱等角度提出問題.

圖14

圖15

例如，正三角形的性質有哪些？如何判定它是正三角形？

又如，給定邊長，如2，求周長、面積、高線、中線、角分線、中位線、內切圓半徑、外接圓半徑等.

環節2：通過添線，編出自己的題目，全班交流.

學生成果1：如圖15，在正△ABC中，BD是AC邊上的中線，延長BC至E，使得CE=CD.

（1）判斷△BDE的形狀.

（2）若CD=1，求DE的長度及△BDE的面積.

（3）求證：△DCE∽△BDE.

（4）求證：DE2=EC·EB.

（5）作出△BDE的外接圓及內切圓，并在（2）的情況下求出它們的半徑.

教學說明：本題的題干就是八上教材第93頁的復習題，營造環境喚起了學生的記憶，并立足整個初中學段有了原有基礎上的發展性結論，這就是“老題新用”.

學生成果2：在正△ABC中，D、E分別在邊BC、AC上，如圖16，若AD與BE的交點為O，BD=CE，你還能發現哪些正確結論？

（1）全等形：△BDA≌△CEB，△ABE≌△CAD.

（2）相似性：△AOE∽△ACD，△BOD∽△BCE，△BOD∽△ABD，△AOE∽△BAE.

（3）特殊角：∠AOE=60°.

（4）等積式：AO·AD=AE·AC；BO·BE=BD·BC；AE2=EO·EB；BD2=DO·DA.

（5）特殊圖形：O、D、C、E四點共圓；B、D、E、A四點共圓.

教學說明：在筆者的引導下，學生展開廣泛的聯想，借力以前接觸過的問題，形成了一個從全等到相似，從特殊角到特殊圖形，從線段相等到等積式等龐大的結論體系，充分發揮了典型圖式聚焦核心知識的作用.

圖16

學生成果3：P是正△ABC內一點，如圖17.

（1）若邊長為2，求點P到三邊的距離和.

圖17

教學說明：正三角形內一點問題是非常常見的問題，問題1釣出了面積法；問題2有一定難度，是對圖形旋轉變換的深度考查，其實三角形內還有一個很著名的點——費爾馬點：到三角形的三個頂點的距離之和最短的點，在中考中時有出現，筆者在此以一道中考題展示，作為對成果3的補充，以延伸題供課后研究，擴大學生視野.

例題（2009年湖州中考題）若P為△ABC所在平面上一點，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則點P叫作△ABC的費馬點.

（1）若P為銳角△ABC的費馬點，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，則PB的值為________；

（2）如圖18，在銳角△ABC的外側作等邊△ACB′，連接BB′.求證：BB′過△ABC的費馬點P，且BB′=PA+PB+PC.

其實，對正三角形而言，費馬點就是其中心.

環節3：小結與作業.

小結：理清擬題的基本方法.

必做作業：回顧編題過程，梳理編題常見方法，并完成課堂沒有完成好的題目，積累擬題和解題的基本經驗.

選做作業：兩個正三角形的組合會演繹出哪些題目，請學有余力的同學課后研究.

教學說明：引導學生創編考題，除以上諸多功能外，還有一點需要指出，就是便于知識形成關聯，知識進入體系中才會有張力、有魅力.此聯有兩層含義：一是單元知識的內聯；二是相關知識的通聯.既然是復習就不要囿于狹小的知識圈地，要前瞻后聯，進入初中學段系統，才能把四基盤活.

圖18

四、等腰好伴侶——重逢直角三角形（第3課時）

過程設計如下：（思路基本同于等腰三角形）

環節1：（大腦風暴，見圖想性）見到圖19，同學們能想到哪些相關知識？

圖19

預設：判定它是什么圖形（從邊、角、線三個角度）.它有哪些性質？（邊、角、線的基本角度）

邊的關系：勾股定理.

角的關系：兩銳角互余.

線的關系：三線（高線：射影定理、面積組合、相似模型；中線：斜邊中線；角分線：2個等腰模型）與內切圓半徑、外接圓半徑等.

邊角關系：三角函數.

教學說明：恰如笛卡爾之言：“從最簡單、最易懂的對象開始，依照先后次序，一步步達到更為復雜的對象.”筆者從一圖出發，引導學生廣泛聯想，然后循邊、角、線的基本脈絡梳理出來，不僅有利于“弄清家底”，形成穩固的知識基地，而且有助于理解與記憶、便于提取與應用.天文學家開普勒說：“聯想是自然奧秘的參與者，是最好的老師.”實踐見證了“聯想、遷移”的運用之妙，在中考數學復習中發揮了重要的作用，增強了學生學習的主動性，提高了學習效率，優化了學習效果.

環節2：（題組——演練中見證聯想）如圖20.

（1）若CD⊥AB，垂足為D，則∠ACD與∠B的關系為______，再找出圖中的這類關系_______.

（2）若AC=4，BC=3，則AB=______，CD=_____.

（3）若E為AB的中點，且CE=5，則AB=______.

（4）圖中有_______對相似三角形，若BC∶AC=3∶4，則BD∶CD=_______，BD∶AD=_______.

（5）若sinA=1∶3，則tanB=_______.

（6）若∠A=30°，BD=1，則△ABC外接圓的半徑為_______，內切圓的半徑為_______.

（7）若BE平分∠ABC分別交CD、CA于點F、E，如圖21，判定△CEF的形狀.

圖20

圖21

（8）在圖21的基礎上，作EM⊥AD，垂足為M，連接MF，判斷四邊形CEMF的形狀.

（9）在圖21的基礎上，作CM平分∠ACD交AB于點M，如圖22.

圖22

求證：（1）FM∥AC；（2）BM2=BD·AB.

教學說明：題組復習，也是筆者的舉措之一，通過層層推進、有機關聯的題目，把核心的知識技能、方法思想等融于其中，凝聚成一個有機的整體系統鏈，彰顯互補之結構合力，使得題盡其能，聚攏零散于各年級教材中有關直角三角形的知識，以練促思，喚醒記憶.在學生解答后，再返扣以上聯想到的性質，形成理論與實踐的不斷對接，并通過題組中各題目的漸次發展揭示出知識之間的內在關聯與綜合度，把直角三角形置于整個初中學段系統中，尤其是它與等腰三角形的遙相呼應得到充分展現，這種特殊三角形的自洽見證了直角三角形的核心價值.尤其是后程，立足雙垂圖，在不斷的添線中，一道道靚麗的題目爭奇頭艷，開滿枝頭，通過這一核心圖把幾何的核心知識聚合起來、貫通起來，成為演練的大本營.

限于篇幅，后面的環節略.

一個單元的復習，基本展現了筆者的復習定調，這些舉措有了浪漫情懷的底色，使得理性與感性共融，嚴謹與藝術并存，效果良佳，筆者體會如是，實踐證明亦如是.人教社數學室主任章建躍博士論及“應試確實有技巧，但獲得技巧的途徑有天壤之別.一種是靠大量做題賣苦力，其結果可能是‘講過練過的不一定會，沒講沒練的一定不會’；另一種是靠智慧而實現的‘四兩撥千斤’，其結果一定是高奏高考的凱旋之歌.”［1］筆者的以上之為意在追求的是后一種途徑.

五、結束語

數學是嚴謹的科學，但適時來點浪漫的情調也不失一種調劑，一種激趣勵志的情緒濡染，可化作復習的強大動力，精神飽滿地面對，樂此不疲的復習，效果就在不言中了.我們再次聆聽一下蘇聯教育家卡斯特金的教誨：“未經人的積極情感強化的知識，將使人變得淡漠.由于它不能撥動人的心弦，很快將會被遺忘.”我們若善于融情于知，就容易調度學生的積極情緒參與其中，這種心態將化作向上的力量，火熱地、浪漫地完成復習大任，潛移默化中完成德育滲透.

1.章建躍.高分是怎樣得來的［J］.中小學數學（高中），2009（09）.H