有理數(shù)加法法則應(yīng)用失敗分析及教學(xué)建議

☉山東淄博市周村區(qū)王村中學(xué) 鄭學(xué)濤

一、問題提出

有理數(shù)的加法是義務(wù)教育數(shù)學(xué)第三學(xué)段的基石，學(xué)生學(xué)習(xí)有理數(shù)加法運算不僅對后續(xù)的整式、方程、函數(shù)等知識的學(xué)習(xí)具有重要的影響，嫻熟地使用法則也是發(fā)展學(xué)生運算能力、培養(yǎng)學(xué)生基本數(shù)學(xué)思想和方法論的重要渠道.有理數(shù)加法法則中蘊(yùn)藏的分類討論思想、數(shù)學(xué)建模思想、程序思想不但是數(shù)學(xué)內(nèi)涵的重要組成部分，更是培養(yǎng)學(xué)生堅持真理的價值觀、嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)態(tài)度和克服困難的意志品質(zhì)等核心素養(yǎng)的重要介質(zhì).在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對有理數(shù)加法法則的應(yīng)用非常失敗，常見的問題主要有：（1）不知道有理數(shù)加法法則為何而來，如何使用；（2）總是先計算后判斷結(jié)果的符號或干脆不判斷，尤其對于異號兩數(shù)相加尤為嚴(yán)重；（3）計算失敗后不知自己的問題出在哪兒（法則成為擺設(shè)）并羞于向教師尋求幫助；（4）計算速度偏慢.

二、原因分析

1.思考力不足導(dǎo)致學(xué)生不知法則為何而來，無法正常支配.

思考力是對所要解決問題和使用工具內(nèi)涵的透析以及對外關(guān)系的甄別，是對問題解決系統(tǒng)整體的宏觀把握及工具支配的預(yù)備，可以狹義解釋為學(xué)生分析問題的強(qiáng)度.思考力不足導(dǎo)致學(xué)生對計算和法則缺乏理性認(rèn)識，不知道法則為何而生，為什么分條呈現(xiàn)，如何借助法則的“對立統(tǒng)一性”區(qū)分計算路徑使算法“對號入座”，法則與原有加法有什么關(guān)系.對這些問題含糊不清導(dǎo)致信息表征和路徑匹配失敗，不能在法則和具體計算之間建立實質(zhì)聯(lián)系，甚至認(rèn)為法則是沒用的.根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論，剛剛進(jìn)入初中階段的學(xué)生大多處于具體運算階段，其思維的特點是具有守恒性，思維活動需要具體的內(nèi)容支持.初中以前學(xué)習(xí)的加法其實質(zhì)是“算術(shù)”.“算術(shù)”來源于實際生活，其計算依據(jù)源于諸如7個蘋果+8個蘋果或掰手指的經(jīng)驗.而升入初中之后，數(shù)系擴(kuò)充到有理數(shù)，負(fù)數(shù)與正數(shù)具有了同等的運算地位，但學(xué)生沒有將負(fù)數(shù)進(jìn)行更多的生活意義賦予的機(jī)會，計算思維中，思考的天平總是偏向非負(fù)有理數(shù)一側(cè)，新問題下的思維活動無法得到足量具體內(nèi)容的支撐，量變不足，質(zhì)變無從談起，新法則與舊經(jīng)驗無法合體并疊加，對新法則的思考和認(rèn)知其實是一種假性建構(gòu)，是思考力不充足的具體表現(xiàn).

2.執(zhí)行力不足導(dǎo)致學(xué)生不知法則如何應(yīng)用，原地踏步.

執(zhí)行力是指有效利用資源并在規(guī)則指令的支配下循序漸進(jìn)、按部就班地完成目標(biāo)的操作能力.執(zhí)行力表現(xiàn)為力求每一步都有法可依、有法必依.有理數(shù)加法法則闡釋的是具體的計算步驟，它是實現(xiàn)問題解決的關(guān)鍵.執(zhí)行力不足，會導(dǎo)致學(xué)生不按法則進(jìn)行計算或只執(zhí)行法則中的某一部分，如只執(zhí)行“算”的部分，而不先判斷符號，導(dǎo)致計算失敗.有理數(shù)的法則分為四部分，分別是符號相同的兩個數(shù)相加、符號不同且絕對值不相等的兩個數(shù)相加、互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加、一個數(shù)同零相加，這四部分是四條路徑，也是一個倒置的分類討論的結(jié)果，學(xué)生需要通過具體的數(shù)來判斷所要處理的計算屬于哪一類，但學(xué)生獲取法則之后面對具體的數(shù)，往往不去判斷要進(jìn)行的計算屬于哪一部分，更不愿意選擇路徑、執(zhí)行路徑.還有的學(xué)生習(xí)慣于回到教師最初引導(dǎo)學(xué)生探究法則的數(shù)軸上進(jìn)行向左或向右的操作獲取結(jié)果，這都是學(xué)生的執(zhí)行力不足的現(xiàn)象.法則成了形同虛設(shè)之物.此外，如果思考力出現(xiàn)問題，那么執(zhí)行力度越大，錯誤的程度就越大，造成背道而馳的局面，因此思考力直接決定執(zhí)行力.

3.行動力不足導(dǎo)致學(xué)生停滯不前，計算失誤重復(fù)出現(xiàn).

行動力是指根據(jù)預(yù)完成的學(xué)習(xí)目標(biāo)，能夠不斷調(diào)整自己的學(xué)習(xí)行為、突破自己的惰性思維，在過程中表現(xiàn)出較強(qiáng)的自制力，努力實現(xiàn)自己想做好但還沒做好的事情，有條不紊地下定決心保證自己的目標(biāo)一定實現(xiàn)的力度.前文提到，學(xué)生困惑于為什么要總結(jié)出一套有理數(shù)的計算法則、法則是怎樣得出的、應(yīng)該怎樣有效利用，在學(xué)習(xí)完之后仍然一知半解的情況下缺乏進(jìn)一步學(xué)習(xí)的行動力，不去徹底搞清楚問明白，自己的認(rèn)知和計算獲得的經(jīng)驗無法形成有效的對接，都是片段的存在，學(xué)生對有理數(shù)的計算永遠(yuǎn)無法實現(xiàn)真正的突破.在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，幾乎所有的學(xué)生都缺乏改錯題和反思出錯原因的能力，無法真正吃一塹長一智，做再多的練習(xí)也是浪費時間，計算還是偏慢，這也是行動力缺失的一種表現(xiàn).當(dāng)然，學(xué)生的行動力也和外力的作用有一定的關(guān)系，如果教師對學(xué)生的要求嚴(yán)格，引導(dǎo)細(xì)致，也能間接提高學(xué)生的行動力.

誠然，學(xué)生對于有理數(shù)加法法則使用失敗不能完全歸因于學(xué)生，教師數(shù)學(xué)教學(xué)觀不成熟，教學(xué)方法不夠精致，教師對學(xué)生心理特點、學(xué)習(xí)特質(zhì)把握失真，都會影響最終的教學(xué)效果.

三、教學(xué)建議

有理數(shù)加法計算是一個系統(tǒng)的程序操作.不能將其僅僅歸于運算技能而將其與數(shù)學(xué)思想撇開.數(shù)的計算是一種運動，這種運動可用點的運動表示出來（借助數(shù)軸）.在教學(xué)中，教師一定要循序漸進(jìn)讓學(xué)生完成有理數(shù)加法法則的生成，填補(bǔ)數(shù)系的擴(kuò)充所帶來的對學(xué)生思維沖擊的空白.根據(jù)上面的分析，有理數(shù)加法法則的教學(xué)要著重解決以下四個問題：第一，為什么要總結(jié)出這樣長的法則；第二，有理數(shù)加法法則是如何得出的；第三，有理數(shù)加法法則應(yīng)該如何應(yīng)用，步驟如何分解；第四，讓學(xué)生進(jìn)行基于法則使用的計算失誤反思.具體的教學(xué)建議如下：

1.夯實基礎(chǔ)作好前序知識的教學(xué).

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，把每節(jié)課教學(xué)的知識置于整體知識體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識和整體知識的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性［1］.數(shù)學(xué)是一個邏輯群組和迭代關(guān)系的生命體，數(shù)學(xué)的生命就是數(shù)學(xué)知識基于生產(chǎn)、生活的需要和邏輯延拓的自然生長.建構(gòu)主義認(rèn)為，新知識是在學(xué)生原有知識之上的同化與順應(yīng).那么作為先行組織者，教師在授課時要賦予數(shù)學(xué)生命力，讓學(xué)生認(rèn)識到原有的加法計算經(jīng)驗已經(jīng)不能解決現(xiàn)有的問題，然后引導(dǎo)學(xué)生探索新的規(guī)則并合取原有成分.而對有理數(shù)加法法則的探究、歸納、理解和應(yīng)用離不開前序知識在學(xué)生思維上形成的積極影響，因此必須夯實學(xué)生基礎(chǔ)，扎實做好前序知識的教學(xué)工作.前序知識最重要的四個點為：負(fù)數(shù)的加入、數(shù)軸的產(chǎn)生、相反數(shù)及絕對值的計算和使用.教學(xué)中要讓學(xué)生通過實例認(rèn)識到負(fù)數(shù)產(chǎn)生的必要性，要盡可能讓學(xué)生把負(fù)數(shù)與正數(shù)放到同等的價值地位上；借助數(shù)軸的產(chǎn)生讓學(xué)生明白正數(shù)和負(fù)數(shù)的對稱性及有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示，為通過數(shù)軸上點的運動探究有理數(shù)的計算法則埋好伏筆，實際上這也是數(shù)形結(jié)合的一次嘗試，在相反數(shù)和絕對值的教學(xué)中，更要讓學(xué)生借助數(shù)軸理解互為相反數(shù)的兩個數(shù)及一個數(shù)與其絕對值在數(shù)軸上的相對位置，并以此推動概念的記憶和使用，為學(xué)生理解法則作好準(zhǔn)備.同時，教師要不斷滲透數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想（主要指絕對值），這些隱性知識不但影響學(xué)生對有理數(shù)法則的理解和應(yīng)用，對學(xué)生高級思維形態(tài)的構(gòu)建也至關(guān)重要.

2.作好有理數(shù)加法法則的歸納和概括的教學(xué).

建構(gòu)主義認(rèn)為，知識是活動經(jīng)驗的合理化解釋，而活動經(jīng)驗是學(xué)生通過某種經(jīng)歷獲得的.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗需要在“做”的過程和“思考”的過程中沉淀，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動過程中逐步積累的［1］.因此必要的情景活動是幫助學(xué)生積累基本活動經(jīng)驗并升華為法則的心理和知識準(zhǔn)備.但是在課堂中，發(fā)現(xiàn)能夠真正進(jìn)入問題情境進(jìn)行深度探究的學(xué)生往往寥寥無幾，多數(shù)情況下學(xué)生的基本活動經(jīng)驗是教師怕耽誤時間硬塞給學(xué)生的，是一種客觀的堆積，而不是學(xué)生主動的創(chuàng)造.這樣的經(jīng)驗甚至不叫間接活動經(jīng)驗，對學(xué)生的學(xué)習(xí)幫助微乎其微，為此，教師一定要將利用數(shù)軸上的點的移動探究有理數(shù)加法法則的活動真正還給學(xué)生，讓盡可能多的學(xué)生參與到“向左走、向右走”的體驗與感受中，教師在學(xué)生具備了相關(guān)的充足經(jīng)驗之后，先讓學(xué)生談?wù)劯惺懿⒃噲D總結(jié)，然后教師在這個關(guān)鍵節(jié)點處給予學(xué)生充分的指導(dǎo)，將經(jīng)驗升華為正式的法則，讓法則的生成水到渠成，合情合理，還極具人情味.在此過程中，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，問題由學(xué)生發(fā)現(xiàn)、辦法由學(xué)生提出、法則由學(xué)生歸納，教師永遠(yuǎn)是學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、服務(wù)者，良好學(xué)習(xí)氛圍的營造者，學(xué)生是知識學(xué)習(xí)的主動參與者、知識的構(gòu)建者、自生能力發(fā)展的進(jìn)步者［2］.

3.作好學(xué)生加減法則的通俗化理解的教學(xué).

法國數(shù)學(xué)家托姆（R.Thom）曾指出：“實際上無論人們的意愿如何，一切教學(xué)法根本上出自某一數(shù)學(xué)哲學(xué)，即便是很不規(guī)范的教學(xué)法也是如此”［3］.學(xué)術(shù)的語言往往嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)而不容易理解，通俗的語言（含俏皮的解釋）往往能夠吸引學(xué)生的注意，讓學(xué)生快速記憶法則并熟練應(yīng)用，這種通俗的語言也可以認(rèn)為是將法則與學(xué)生日常生活中已經(jīng)十分熟悉的得心應(yīng)手的事務(wù)處理方式之間建立一種同理化的合取.數(shù)學(xué)不應(yīng)該被理解為一種費解、難懂而又違背常識的東西，實際上數(shù)學(xué)是常識的精微化［4］.如學(xué)生歸納出法則之后，對于同號兩數(shù)相加容易理解，而對法則中異號兩數(shù)相加的理解及應(yīng)用總是出現(xiàn)問題，教師可以用這樣的生活常識給學(xué)生解釋：異號兩數(shù)相加的結(jié)果如同少數(shù)服從多數(shù)，誰到原點的距離長誰就說了算，結(jié)果的符號就跟多的一樣；至于學(xué)生最容易出現(xiàn)計算失誤的一步先判斷符號后計算（學(xué)生往往先算后判斷符號），教師可這樣解釋：有理數(shù)的加法法則應(yīng)用如同早上起床穿鞋走路，判斷符號如同先穿襪子，算數(shù)如同后穿鞋，沒有人能夠先穿鞋后穿襪子.這樣的解釋不但能夠加速學(xué)生記憶還能活躍課堂氣氛.要注意的是這樣的解釋要適度，不能干擾數(shù)學(xué)課堂嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臍夥?

4.作好有理數(shù)加法法則如何使用的引導(dǎo)教學(xué).

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：在基本技能的教學(xué)中，不僅要使學(xué)生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學(xué)生理解程序和步驟的道理［1］.有理數(shù)的加法法則是一種倒置的分類討論的結(jié)果，需要學(xué)生首先判斷數(shù)的屬性，然后執(zhí)行.而由于剛剛升入初中的學(xué)生思考力、執(zhí)行力、行動力都十分薄弱，如果把有理數(shù)的法則讓學(xué)生直接作為高級準(zhǔn)則應(yīng)用，那么會有兩種結(jié)果，第一，學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒，越來越失去信心；第二，學(xué)生可以模仿教師，而沒有掌握法則的工作原理，是一種偽建構(gòu)知識的表現(xiàn)，容易出現(xiàn)不首先判斷符號等現(xiàn)象.有理數(shù)加法法則絕不是簡單的套路化，因此教師引導(dǎo)學(xué)生如何使用有理數(shù)加法法則顯得尤為重要.例題教學(xué)中應(yīng)體現(xiàn)“問題情境—建立模型—求解驗證”的過程，這個過程有利于理解和掌握相關(guān)的知識和技能，感悟數(shù)學(xué)思想，積累活動經(jīng)驗［1］.以5+（-7）為例，教師要設(shè)置以下的引導(dǎo)問題：第一，這是有理數(shù)的加法嗎？第二，相加的兩個數(shù)分別是什么數(shù)（正數(shù)和負(fù)數(shù)）？第三，這樣的情況符合有理數(shù)加法法則中的哪一條？第四，如何執(zhí)行這一條？結(jié)果的符號是怎樣的？第五，最后的結(jié)果是多少？根據(jù)有理數(shù)加法法則的敘述，對計算題多次進(jìn)行計算分解.磨刀不誤砍柴工，教師一定不要怕耽誤時間，有理數(shù)加法法則分為四部分，那么教師要準(zhǔn)備四種類型的計算，且根據(jù)信息加工理論，每一種類型需要進(jìn)行7次學(xué)生才能形成正常的條件反射，所以每種類型的題目至少要有7個，一節(jié)課總共約30道計算題.此外，使用法則的過程也是一種思維鍛煉的過程，教師還要借助如何使用法則的過程培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性的特質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生分類討論和程序性思維的進(jìn)一步完善.

5.作好有理數(shù)加法法則闡釋和應(yīng)用的圖式教學(xué).

根據(jù)皮亞杰的兒童認(rèn)知發(fā)展理論，初一的新生剛剛進(jìn)入具體運算階段，而它的前一階段是前運算階段，其本質(zhì)特點是表象圖式明顯，因此教師可以根據(jù)學(xué)生這一特點將有理數(shù)加法法則及應(yīng)用過程以程序圖的方式表示與文字遙相呼應(yīng)，其具體的表示方法如圖1.教師在講解例題時在這個程序圖的一旁，與這個程序圖的流程保持一致.如果純文本的信息使學(xué)生感到難以分辨，那么類似于“跳方”的路線圖能夠使學(xué)生的思路更加清晰，便于學(xué)生理解和應(yīng)用有理數(shù)加法法則.

圖1

6.作好學(xué)生的錯題改正的檢查工作并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思.

“靡不有初，鮮克有終”，是指人做事情總是有個好的開頭但難有一個好的結(jié)尾，而在有理數(shù)加法的學(xué)習(xí)中，錯題改正和查找出錯原因是好的結(jié)尾.心理學(xué)研究也認(rèn)為錯誤應(yīng)該被積極看待，因為錯誤是兒童思考的結(jié)果.通過錯題改正和查找出錯原因，厘清在應(yīng)用有理數(shù)加法法則的過程中哪一步出錯，并在以后的計算中格外注意，事半功倍.對比駕駛機(jī)動車，如果不遵守交通規(guī)則就有生命危險的常識，讓學(xué)生再次體驗加法法則的重要價值和必要性.教師要敦促學(xué)生形成改錯題、寫反思的習(xí)慣，用外力推動學(xué)生行動力的百分百落地.在學(xué)習(xí)完本章知識之后，教師要讓學(xué)生撰寫小論文《我看有理數(shù)》，引導(dǎo)學(xué)生梳理有理數(shù)加法與以往加法的不同，以獲取法則工作的自我解釋，使知識添加個性化色彩，對學(xué)生日后的學(xué)習(xí)大有裨益.

四、結(jié)束語

有理數(shù)的法則不但承載了運算的依據(jù)，還承載了人們簡單處理計算的愿望，它更是發(fā)展學(xué)生適應(yīng)社會的必備品格和培養(yǎng)學(xué)生關(guān)鍵能力的重要媒介.教師要借助初一新生積極性高、表現(xiàn)欲強(qiáng)的特點，以知識、經(jīng)驗、思想、能力的發(fā)展為課堂的明線，以人類認(rèn)識事物的一般步驟為暗線（為什么、是什么、怎么辦、結(jié)果是），深入淺出.有理數(shù)加法法則不是思維的桎梏，而是思維的向?qū)В處熞ㄟ^自己的精心設(shè)計把它變成火熱的思考力、精準(zhǔn)的執(zhí)行力和適切的行動力.

1.中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

2.蒲大勇.從“法則是無用的”說開去［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2015（12）.

3.齊民友.數(shù)學(xué)與文化［M］.大連：大連理工大學(xué)出版社，2008.

4.R E 莫里茲，著.數(shù)學(xué)家行言錄［M］.朱劍英，譯.南京：江蘇教育出版社，1982.