“變”字當(dāng)頭，提升數(shù)學(xué)思維能力

江蘇省淮陰師范學(xué)院附屬中學(xué) 徐 璐

變式訓(xùn)練是一種非常有效的教學(xué)手段，教師通過(guò)變更問(wèn)題情境或改變思維角度，引導(dǎo)學(xué)生從不同途徑尋求解決問(wèn)題的方法，能夠高效地幫助學(xué)生發(fā)散思維，提高其獨(dú)立分析與解決問(wèn)題的能力。因此筆者認(rèn)為，教師在數(shù)學(xué)課堂上應(yīng)當(dāng)善于利用變式訓(xùn)練的手段，引導(dǎo)學(xué)生多問(wèn)、多思、多用，激發(fā)思維的積極性與深刻性。

一、多題一解，求同存異

多題一解指的是通過(guò)收集、比較一些存在內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生找到解決這類問(wèn)題的通性通法，求同存異，感悟其共性內(nèi)容。多題一解的變式訓(xùn)練能夠有效促進(jìn)學(xué)生認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì)，提高他們推理、概括的思維能力。

比如筆者在對(duì)《一次函數(shù)》這一節(jié)的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時(shí)，列舉了以下三個(gè)習(xí)題讓學(xué)生們進(jìn)行解答：（1）已知一次函數(shù)圖象過(guò)（0，4）、（-2，0）兩點(diǎn)，求該一次函數(shù)的解析式；（2）已知一次函數(shù)的圖象過(guò)（3，-3）點(diǎn)，并且與直線y=-2x+1相交于x軸上一點(diǎn)，求一次函數(shù)的解析式；（3）一次函數(shù)圖象過(guò)（3，0）點(diǎn)，且與正坐標(biāo)軸所圍成的圖形面積為9，求一次函數(shù)的關(guān)系式。筆者通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)上述三個(gè)問(wèn)題進(jìn)行比較與分析，最終發(fā)現(xiàn)了這類問(wèn)題共性的解決思路：首先根據(jù)已知條件寫(xiě)出含有待定系數(shù)的函數(shù)表達(dá)式，然后從已知條件中找到x、y的兩對(duì)值代入函數(shù)關(guān)系式中，得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程，求解未知系數(shù)，最后再代入函數(shù)關(guān)系式中即可得解。三個(gè)問(wèn)題的情境雖然不同，但問(wèn)題的本質(zhì)是相同的，例如問(wèn)題（1）明確給出了一次函數(shù)圖象上的兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，問(wèn)題（2）與問(wèn)題（3）雖然只給出了其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，但是另一個(gè)點(diǎn)通過(guò)對(duì)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化也可以得到，“與直線y=-2x+1相交于x軸上一點(diǎn)”可以得到一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），“與正坐標(biāo)軸所圍成的圖形面積為9”可以求得一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的另一點(diǎn)為（0，6）。

在上述教學(xué)活動(dòng)中，筆者通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多題一解的變式訓(xùn)練，促進(jìn)他們?cè)诒容^中感悟問(wèn)題的共性之處，使學(xué)生們深入理解了待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的問(wèn)題情境與具體解決思路，取得了很好的教學(xué)效果。

二、一題多解，觸類旁通

一題多解指的是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)同一問(wèn)題尋求不同的解決途徑，用多種方法思考問(wèn)題。這種變式訓(xùn)練方法能夠使學(xué)生的思路更加開(kāi)闊，提高其發(fā)散性思維能力，促進(jìn)學(xué)生觸類旁通，多向思考。

比如筆者在對(duì)《圖形的全等》這一節(jié)內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時(shí)，讓學(xué)生們嘗試用盡可能多的方法解決如下問(wèn)題：如圖，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE=∠CDE，求證AB=CD。這一問(wèn)題有很多的解法，例如存在解法一：如圖（1），作輔助線BF⊥DE于點(diǎn)F，CG⊥DE于點(diǎn)G，進(jìn)而利用AAS公理可以證明△BFE≌△CGE，所以BF=CG。同樣利用AAS公理可以進(jìn)一步證明得到△ABF≌△DCG，所以得到AB=CD。此外，學(xué)生們通過(guò)添加不同的輔助線可以得到不同的解決方法，比如如圖（2）所示，作CF∥AB，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，首先證明△ABE≌△FCE，得到AB=CF，又因?yàn)椤螰=∠BAE, ∠ABE=∠D，所以∠F=∠D，CD=CF，進(jìn)而得到AB=CD。又比如如圖（3），延長(zhǎng)DE至點(diǎn)F，使EF=DE，進(jìn)而由SAS公理得到△BEF≌△CED，所以BF=CD,∠D=∠F。又因?yàn)椤螪=∠F=∠BAE，所以△ABF是等腰三角形，進(jìn)而得到BF=AB=CD，得解。

在上述教學(xué)活動(dòng)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生們進(jìn)行了一題多解的變式訓(xùn)練，使學(xué)生們發(fā)現(xiàn)添加不同的輔助線可以得到不同的解決思路，拓展了學(xué)生的思維，同時(shí)促進(jìn)他們善于通過(guò)轉(zhuǎn)化從各種途徑去解決問(wèn)題，提高思維的靈活性，豐富了數(shù)學(xué)課堂。

三、一題多問(wèn)，發(fā)展擴(kuò)充

一題多問(wèn)指的是教師對(duì)課本例題、習(xí)題進(jìn)行“改裝”或引申，通過(guò)變式對(duì)原來(lái)的問(wèn)題進(jìn)行發(fā)展與擴(kuò)充，既延展了問(wèn)題的寬度，更深化了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)新知的認(rèn)識(shí)，無(wú)形中加深了學(xué)生對(duì)問(wèn)題的深度理解。這一變式訓(xùn)練的方法有助于培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)與探究能力，提高其創(chuàng)造性思維。

比如筆者在對(duì)《二次函數(shù)》這一節(jié)內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時(shí)，采用了一題多變的教學(xué)策略。筆者首先引出了如下例題：如圖：已知拋物線y=x2+bx+c的對(duì)稱軸為x=-1，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，0）。（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使PA+PD的值最小？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)。對(duì)于這一問(wèn)題，學(xué)生們用待定系數(shù)法很快求得拋物線解析式為y=x2+2x-3，繼而可得到其對(duì)稱軸及B點(diǎn)坐標(biāo)。由于A、B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，連接BD，BD與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)。緊接著筆者提問(wèn)道：“那么在拋物線上是否存在點(diǎn)E，使S△ABC=S△ABE？若存在，求出E點(diǎn)的坐標(biāo)。” 通過(guò)對(duì)原來(lái)問(wèn)題進(jìn)行變式，筆者引導(dǎo)學(xué)生們進(jìn)一步鞏固了軸對(duì)稱的性質(zhì)、平面圖形的面積計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)。

在上述教學(xué)活動(dòng)中，筆者通過(guò)一題多問(wèn)對(duì)相關(guān)習(xí)題進(jìn)行了深度挖掘，不僅促進(jìn)學(xué)生們?cè)谧兪接?xùn)練的過(guò)程中扎實(shí)牢固地掌握了基礎(chǔ)知識(shí)，激活了學(xué)生的思維，同時(shí)也提高了他們的探究與歸納能力，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，高效完成了既定的教學(xué)目標(biāo)。

綜上所述，多題一解、一題多解、一題多問(wèn)等策略都是重要的變式訓(xùn)練手段，能夠幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，深化鞏固知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生探究、推理、歸納、聯(lián)想等思維能力，同時(shí)，在這樣的教學(xué)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)自然也在教師的點(diǎn)滴教學(xué)中得以提升。總之，教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容與目標(biāo)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行相關(guān)的變式練習(xí)，對(duì)于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)具有重要的意義，當(dāng)代教師應(yīng)當(dāng)善于通過(guò)“變”字提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力！