微分方程在實際生活中的應用

包麗平

摘 要：微分方程是數學的一個非常重要的分支，很多物理和化學的基本定律都由微分方程提供，而在生物學和經濟學中微分方程可以模擬復雜系統的行為。微分方程數學模型來自人們的實際生活，在現實生活中微分方程數學模型能解決非常多的實際問題，幾乎在人類社會的每一個角落都展示了其無窮的威力，尤其是在物理、化學、工程技術、軍事、經濟、醫學與生物等領域都有著非常重要的作用。本文主要提出這些領域中的一些問題，進行微分方程建模，然后通過解這些微分方程來解決這些實際問題。

關鍵詞：微分方程 數學模型 實際生活 應用

中圖分類號：G71 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2018）08（b）-0177-02

客觀世界的一切事物的運動和變化在數學上的反映，便有變數（或變量）概念。事物的運動和變化又是相互依賴、相互制約的，反映在數學上，就是變量之間的關系，從而又形成了函數的概念。由于大量的實際問題中，稍微復雜一些的運動過程往往不能直接寫出他們的函數，卻容易建立變量及其導數（或微分）間的關系式，即微分方程。通過求解這種方程，同樣可以找到指定未知變量直接的函數關系。因此，微分方程是數學聯系實際，并應用于實際的重要途徑和橋梁，是各個學科進行科學研究的強有力的工具。因而，研究微分方程具有很重要的應用價值和實際意義。

1 微分方程數學模型應用

1.1 微分方程在物理學中的應用

數學作為物理學的重要工具與語言，對物理學的教學和研究起著十分重要的作用。物理現象的概括、物理概念的提出、實驗數據的歸納整理、邏輯推理分析的進行等過程都離不開數學。微分方程作為數學的重要分支，在對物理學中的力學、熱學、量子力學、電磁學等諸多規律的探究過程中都有著不可替代的作用。

給出邊界條件我們可以求出電勢分布情況。Poisson-Boltzmann方程被廣泛運用于各種電解質溶液體系性質的計算和分子模擬中，特別是生物體系中各種大分子在溶液中電荷分布和溶液自由能的計算。

1.2 微分方程在軍事中的應用

在世界第一次大戰期間，F.W.Lanchester就建立了多個估計戰爭結局的微分方程數學模型，這些模型研究了確定性的影響因素、雙方參戰人數的多少和每個士兵平均戰斗力的強弱。所以在過去的戰爭方式單一時期，微分方程數學模型能很好地預測戰爭的局勢。

如果交戰雙方在t時刻的兵員數量分別為x=（x）t，y=（y）t，雙方的傷亡率均與雙方兵員數量成正比，在不考慮士氣的情況下，研究交戰規律。

設交戰的A方t時刻的兵員數量為x，B方兵員數為y，則t時刻各方的傷亡率分別為：，其中比例系數，分別為A，B各方的戰斗威力。表現為裝備及技術水平越高，系數，b越大，因而給對方的殺傷越大。把t時刻各方的傷亡率化成積分形式，然后積分可得ax2-by2=c。

1.3 微分方程在經濟中的應用

微分方程在經濟學理論中還可以分析商品的市場價格與需求量之間的關系，還可預測商品的銷售量、再生資源的產量、分析國民收入、投資、儲蓄等經濟問題.

1.4 微分方程在生物醫學中的應用

微分方程已逐漸滲透到醫學研究的各個領域，微分方程描述了事物的動態過程，可以揭示疾病的發生規律，如傳染病、醫學圖像處理、乳腺癌DCE-MRI分析等都應用到微分方程。

假設傳染病傳播期間其地區總人數不變，為常數n。開始時染病人數為x0，在時刻t的健康人數為y（t），染病人數為x（t），由于總人數為常數，有x（t）+y（t）=n。設單位時間內一個病人能傳染的人數與當時的健康人數成正比，比例常數為k，稱k為傳染系數，我們可以得到下面的方程。這個模型稱為SI模型，即易感染者和已感染者模型。

SIR模型曾被Kermack等用于檢測本世紀初在印度孟買發生的一次瘟疫，其理論曲線與實際數據相當吻合。

2 結語

本文主要介紹了經常用到微分方程的4個領域中例子。在物理方面，與生產活動與人們自身感覺到的像光、熱、聲、力學以及電磁場理論都離不開微分方程。在戰爭方面，現在戰爭過程中彼此之間手段越來越多，不確定性因素越來越多，故我們可以利用微分方程以及概率論的結合，運用隨機微分方程來分析戰爭的情況。傳統單一的戰爭和現在手段多樣化的戰爭都可以用微分方程來預測其結局.在經濟學方面，如預期的市場模型、Black-Scholes期權定價模型等都是微分方程數學模型。在生物醫學方面，除了本文舉例的傳染病模型外還有細菌的繁殖模型、藥物動力學模型以及流行病數學模型都是微分方程模型。微分方程這個具有生命力的數學分支，分布在我們生活的各個角落。

參考文獻

[1] 田俊改.常微分方程在經濟管理中的地位研究[J].高等數學研究，2010（1）：49-51.

[2] 梁曉云，曾衛明，羅立民.基于偏微分方程的醫學磁共振圖像去噪[J].信息處理，2004，20（3）：318.

[3] 張樹民.微分方程在物理中的應用[J].渤海大學學報，2010，31（2）：154-156.

[4] 廖莉.常微分方程在數學建模中的應用[J].課程教育研究，2017（38）：139-140.

[5] 林振文.數字圖像處理中偏微分方程的應用方式[J].北京印刷學院學報，2017，25（7）：175-177.