問題引入藝術在高中平面解析幾何中的應用研究
——以人教版高中數學為例

☉安徽省無為中學 胡支云

一、問題引入概念解析

在傳統的教學活動中，老師是絕對的主導，教學活動的進行可以說是完全依賴于教師的思維，學生作為被動的接受者，其學習能力、接受能力基本上就決定了各自的學習成績.

與此不同的是，新課程標準對學生的要求不再局限于課本知識點的掌握情況，更重要的是通過有效的教學行為提升學生的自主學習能力，教學活動都是圍繞這一個目標進行設計和開展的.在這樣的教學方式中，教師需要在引入課程知識點時采用“提問題”的方式，引導學生帶著問題去學習新知識.在這樣的新教學模式下，學生個人的領悟能力是其學習效果的關鍵.新課改要求每一個學生達成課程目標的機會是均等的，因此對于每一個學生個體而言，在教師的正確引導下，都應達成學習目標.

二、問題引入方法

（一）類比法

相近的知識點之間往往存在相似性，因此類比的思想方法對于學習過程很有幫助.在高中數學的教學過程中，相當一部分數學問題的發現或提出是從具體的現實問題出發，通過類比聯想得出的.

比如，圓、橢圓、拋物線、雙曲線等二次曲線的解析式存在較高的相似性，因此，在教學過程中，教師可以對課程內容進行重新編排，從不同曲線的內涵、表達式、性質等方面進行對比學習，從某一個曲線的學習擴展到其他曲線，相互借鑒，引入問題.

（二）游戲法

在引入課程內容時，為了增強趣味性，教師可以適當地加入探索性的趣味游戲，借此提升學生學習的興趣，營造輕松的課堂氛圍，讓學生在這樣的環境中學習與思考，最大程度地減弱數學學科的枯燥性質.

（三）案例法

與傳統的問題引入方法相比，通過案例演繹的方法將知識內容傳遞給學生更具吸引力，增強學生的直觀認知.比如，在講授直線與圓的位置關系時，教師可以以固定航向的船只是否觸礁為例，向學生介紹直線與圓的不同位置關系，引導學生思考各位置關系的判定條件，增強學生的學習主動性.

（四）懸念設置法

在問題導入教學過程中，教師一定要注意問題的設計要與學生的認知水平相符合，設置一定的懸念，激發學生的求知欲.比如，在講授“拋物線”一章時，教師可以設置如下問題：

同學們在初中時就已經學習過二次函數，知道二次函數的性質及圖像.二次函數的圖像與咱們這節課要學的拋物線相比存在一定的聯系，大家試著去歸納出這兩種不同的圖形之間的聯系.

這樣一個探索性質的問題是不能在課本上直接找出答案的，需要學生去自主思考，能較大程度地激發學生的探索欲，課堂教學效果大大提升.

三、平面解析幾何教學設計

下面以人教版高中數學必修2教材第三章“圓與方程”第二節“直線與圓的位置關系”為例，采用問題引入的方式設計教學過程，對引入過程進行了分析.

（一）教學目標

1.技能目標

（1）結合具體實例，引導學生理解直線與圓的三種位置關系，抽象其定義；

（2）能根據定義判斷直線與圓的不同位置關系.

2.方法目標

引導學生經歷觀察、實驗、談論等研究活動，使學生體會探索問題的一般方法.

3.情感目標

（1）通過具體的情景引入課程，激發學生的學習興趣；

（2）讓學生親身體會數學活動，在活動中獲得成就感.

（二）教學方法

由于幾何問題對學生的形象思維要求較高，需要學生具備一定的聯想能力，因此在講授這部分內容時，教師應著重采用“問題引入”的教學方法，通過層層遞進的教學活動來引導學生的思維發展，在活動中逐漸掌握知識點.

（三）教學過程

1.知識點回顧（類比法）

在課程開始之前，教師可以問同學們以下幾個問題：

（1）兩點間的距離公式是怎樣的？點到直線的距離公式又如何表達？

（2）點和圓的位置關系有哪些？分別有什么判斷依據？

通過提問，讓學生迅速回憶起之前所學的內容，尋找這些知識點與這節課內容的聯系，類比思考，在課程開始之前就能對這節課的知識有初步的認識，對老師提出的問題能有自己的想法，進而對本節課的教學做出有效的鋪墊.

通過思考與交流，同學們很容易就能得出答案：

（2）點和圓的位置關系有3種，分別是點在圓外、點在圓上以及點在圓內：

若已知點到圓心的距離d大于圓半徑r，則該點在圓外；

若已知點到圓心的距離d等于圓半徑r，則該點在圓上；

若已知點到圓心的距離d小于圓半徑r，則該點在圓內.

除此之外，還可以歸納成點的坐標（x，y）與圓心坐標（a，b）之間的數量關系：

2.案例探究（案例法）

案例呈現：假設有一個小島，其周圍布有暗礁，暗礁分布呈圓形，以小島的中心為圓心，半徑為30km.現在小島中心正東方向70km處有一艘輪船，在小島中心正北方向40km處有一港口.若輪船筆直駛向港口，可不可能出現觸礁的情況？

案例分析：對案例進行抽象，將其轉化為數學問題，以小島中心為圓心，其與輪船所在直線為x軸，小島中心所在垂線為y軸，建立平面直角坐標系，如圖1.易知，本案例就是要分析港口與輪船所連直線與暗礁圍成的圓是否有交點.

圖1

案例演繹：在平面幾何中，直線與圓的關系有圖2所示的幾種：

圖2

若d小于r，則直線與圓相交；

若d等于r，則直線與圓相切；

若d大于r，則直線與圓相離.

案例解答：通過上述分析，只需求出直線的解析式，運用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，與已知圓的半徑對比，結合圓與直線位置的判定準則，求解出最終的結果.

四、結束語

通過對大量的教學實踐進行觀察與分析，筆者認為精心設計的問題引入能為教學環節開一個好頭，是教學設計極為關鍵的一個環節.精彩的、生動的問題引入教學設計能使得學生學習的興趣與專注度大幅度增長，引導學生自主思考，自主學習，促進學生就存在的問題展開交流，推動學生創新能力的提升.

當然，采用“問題引入”教學方法就需要數學教師具備“講故事”的能力，設計趣味性較強的問題情境，引導學生進入教學情境.因此，廣大數學教師需要改變傳統的教學思維與教學方法，擺正與學生間的地位關系，在教學過程中不斷反思總結，推動數學教學的創新發展.

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2.走進高中新課改——數學教師必讀［M］.南京：南京師范大學出版社，2008（2）.

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