基于“數學理解”，提升“核心素養”

☉江蘇省常熟市滸浦高級中學 陸 燁

教學中，我們經常聽到某些同行抱怨，學生知其然不知其所以然.這其實是學生的理解出現了問題，學生的任何一項學習都需要理解，就數學教學而言，數學理解是否有著更加深刻的內涵呢？這又給我們的教學帶來怎樣的啟示呢？以下是筆者的思考.

一、數學理解的內涵

數學是對結構和形式的研究，是一種模式的科學，它可以分為代數、幾何、統計等.高度的抽象性與嚴密的邏輯性是數學學科的基本特點，數學知識并非只是靜態的存在，其核心中蘊含著一系列具有延伸性質，并具有相互影響的邏輯關系.從數學知識的特殊性出發，數學理論研究者將數學理解分成兩類：“工具性理解”與“關系性理解”.

所謂“工具性理解”，這主要是從語義的角度展開理解，即某數學符號所表征的事物是什么，或某一規律對應的具體操作步驟是怎樣的.比如，復數的概念理解就是需要明確復數是什么數，可以有怎樣的形式進行表達，復數的運算法則是怎樣的等.

所謂“關系性理解”，這主要是從工具性理解出發，除有關符號意義及替代物結構的認識以外，我們還需認識怎樣獲取指代物的意義，并且對獲取過程的邏輯關系進行理解和認識.比如，針對“直線與平面平行”的工具性理解，就是直線和平面之間不存在公共點；可以通過直線與平面的平行關系，確認直線與直線平行；可以通過直線與直線平行的關系，確認直線與平面平行.而關系性理解，就是建立線面平行、線線平行和面面平行相互之間的關系，并通過有關的定理實現有效建構.比如，已知某直線l和某平面α平行，則可以確認平面α內有無數條直線和該直線l平行，在平面內選取某點A，則點A與直線l所確定的平面β和平面α的交線即為與該直線l平行的直線.

二、數學理解對數學教學的啟示

1.從系統的層面來整體化設計教學

數學知識的生成往往有兩種方式，一種是自下而上的概括生成，比如函數的單調性、奇偶性及復數的有關概念等；另一種是從上而下演繹而成，比如，線面平行的基本性質和判定定理等.在教學過程中，教師只有真正地站在系統的層面對數學課堂進行整體性的設計，才能有效把握知識邏輯方面的起點和增長點，進而讓學生明確知識間的有關聯系.為了引導學生逐步建立新舊知識之間的聯系，教師還要選擇適當的教學方法.只有當教師從系統的層面來設計教學，他們才能對學生理解知識的路線進行規劃，才能創造機會讓學生發現知識之間的銜接點，進而提升學生對知識的理解能力，促進學生對知識的縱橫理解.

比如，在對三角函數的教學進行設計時，教師要意識到三角函數的定義是其邏輯起點，無論是同角三角函數的關系，還是誘導公式，亦或是函數圖像，這些都是從最基本的定義衍生而來，因此定義應該是以上知識的關鍵點和增長點.教學過程中，教師應該引導學生從代數與幾何兩個角度來掌握定義，并由此生成一系列知識，同時還要幫助學生理順相關知識之間的關系，深刻領會相關的銜接點.因為建立新知的過程其實也就是鞏固和強化舊知的過程，這不僅有助于學生高效掌握新學內容，也有助于學生更進一步理解舊知識.

教學中，教師只有從整體層面來設計教學，才能有效把握知識的邏輯關聯，進而幫助學生形成更加穩固的知識結構，并促進學生知識遷移能力的發展.

2.關注學生數學知識的形成過程

數學知識之間本就具有極強的邏輯關系，這些關系縱橫交織，構成一個嚴謹的知識網絡.因此我們在教學中要踩準邏輯起點，引導學生關注知識的形成過程，這能夠幫助學生梳理知識關系，建立良好的認知圖式結構.

比如，教師指導學生學習復數概念時，就要明確其邏輯起點應該是實數運算性質，而關鍵點則為復數a+bi（a，b∈R）的形成過程，教師要讓學生在具體操作中進行體會.教師羅列“2×i-1”、“1.5+（-2×i）”、“”，學生對這些內容進行比較、分析和綜合，最終形成對復數基本形式的認識，在此基礎上，教師再組織學生對復數和實數進行比較，啟發學生對二者的關系進行研究分析，最終引導學生對復數的二元性進行概括，并對“實部”和“虛部”兩個部分進行定義和認識.

3.開展數學研究方法及思想的教學

數學研究方法及思想是數學知識的靈魂所在，這些因素對于數學知識具有統攝作用.教師在教學中幫助學生習得研究方法，樹立數學思想，就能將原本異常龐大的知識結構壓縮成一個小小的芯片，存儲于學生的大腦中，這樣的處理顯然會大幅提升學生的腦容量.正如某些數學理論研究者所言：和對數的引入大幅延長數學家的壽命一樣，數學研究方法及其思想則有效擴展了大腦的存儲空間.

比如，在指導學生認識基本不等式時，我們如果引導學生以數形結合的思想來進行統攝處理，可以讓他們概括出線段x+y=a（a∈R）與坐標軸交于A、B兩點，則Rt△OAB內接矩形面積有最大值（如圖1），當且僅當形成正方形時有最大的面積.而“積定和有最小值”，從數形結合的思想來理解，用雙曲線xy=b（b是非零實數）上的某個動點M向著坐標軸構建垂線可得矩形OBMN（如圖2所示），矩形的周長有最小值等.

圖1

圖2

數形結合的思想可以幫助學生溝通基本不等式與函數、解析幾何與三角函數之間的關系，學生由此將進一步完善知識之間的關聯，在此基礎上，學生將整合最值的求解方法，他們對基本不等式的理解也將再上一個新的臺階.

三、提升數學理解的教學設想

1.通過多元表征來提升理解

學生對知識的獲取都是由其心理表征的建立開始的，作為數學知識的代言人，這種心理表征將與其他數學概念搭建聯系，從而建立起多元化的心理表征，一方面，將增大知識聯結的數量，另一方面，這也有助于學生強化新舊認知的整合度.

比如，有關等差數列的概念認識，我們先讓學生從文字角度來記住其概念表征，然后再引導學生從表示式的角度來進行表征，還可以在坐標系中引導學生對其展開表征.這些不同的表征將為等差數列的概念理解創造必要條件，同時不同的表征方式之間又自成體系，方便學生進行圖式建構，這樣既能增加等差數列有關概念點的聯結數量，還能增強聯結的強度.

2.通過變式教學來強化理解

在數學教學中，多元表征的教學有助于學生增加更多的聯結數量，而變式教學則能強化聯結的強度.

比如，在利用基本不等式研究最值問題時，研究的起點是“已知a+b=1（a，b＞0），求ab的最大值”和“已知ab=1（a，b＞0），求a+b的最小值”.我們在變式教學時，可以這樣來變形“已知，求ab的最大值”，亦可以變形為“已知a+b=1（a，b＞0），求3a+3b的最大值”，還可以變形為“已知lna+lnb=1，求a+b的最小值”等.諸如此類的變式還有很多，教師靈活地進行選擇，有效地將其呈現在課堂上，能強化學生對不等式最值問題的理解，而且學生還將結合基本不等式對函數、幾何等與之相關知識的聯結更加熟悉，這樣的處理有助于學生理解水平的提升.

3.通過反思過程來增進理解

主動而深刻的反思能有效增進學生的理解.當然，我們也必須認識到：如果只有一次反思，學生很難將有關認識內化為自己的心理結構.因此，教師要讓反思成為學生的一種習慣，而且更要讓學生領會反思的本質，即反思不是簡單的回頭看，它應該是學生以批判性的目光來審視自己的認知過程，并由此提煉出認知經驗，完善認知結構，實現新舊知識的重組與整合，進而搭建成較為完善的網絡結構，最終提升學生理解的質量.

綜上所述，提升數學理解是我們教學的追求，而要實現這一目的，我們在教學中要創造廣泛聯結的空間，為學生創造固化聯結的機會，讓學生在應用中深化理解.

1.馬復.數學理解的兩種類型［J］.數學教育學報，2001（3）.

2.趙緒昌.數學教學應是數學思維活動過程的教學［J］.數學通報，1996（4）.F