在變式教學中提升中學數學的學科魅力

福建省清流縣實驗中學 伍紅英

一、在概念教學中變式，提升學生的概括思維能力

概念教學比較枯燥、單調，許多老師都比較困惱，不愛上概念教學課，學生也不愛聽概念課。對于數學概念來說，本身定義的理解很重要，更重要的是揭示它的內涵與外延，這又比較抽象，老師很難解釋清楚，一旦不清楚，學生思維就產生混亂而失去興趣。

比如，在某個變化過程中，有兩個變量x和y，如果給定一個x值，相應的就確定一個y值，那么我們稱y是x的函數，其中x是自變量，y是因變量。就這么長的一段話闡述了函數的概念，那么我們怎么樣才能解釋y是x的函數？對函數概念中唯一性的理解很重要。如果老師讓學生一直從字面上進行理解或單調重復的朗讀概念，學生肯定越來越糊涂，直到下課也不知道什么是函數？此時，老師可以做如下變式：

一方面從解析式的角度入手

（1）y=x時，y是x的函數嗎？為什么？

（2）y=x2時，y是x的函數嗎？為什么？

（3）y=x2+1時，y是x的函數嗎？為什么？

（4）y2=x2時，y是x的函數嗎？為什么？

另一方面從圖像的角度入手

下列圖像不能表示y是x的函數的是()

上面的問題呈現了式子的變式與圖像的變化，在變化中既有一定的相同或相似，又有一定的變異成份，學生很容易抓住函數概念中本質的東西進行理解，又能恰到好處激起學生的探究興趣。教師在概念教學時能這樣深入去解讀教材，設計合理的變式教學,會更有利于學生形成正確、清晰、完整的數學概念。

二、在公式和定理教學中變式，提升學生多向變通的思維能力

公式、定理是數學知識中的重要內容，它們是解決數學問題的重要理論基礎，如果對公式、定理的理解只停留于機械的文字背誦，就會造成簡單的題出錯，難題又不會做。比如，在教學不等式的性質2與性質3時，學生類比等式的性質進行學習，對于性質的文字內容比較容易就記下來，但是在實際解題中錯誤率往往很高。如果教師能在教學中做好變式，效果就決然相反，例如：

（1）若 3a＞3b，則 a___b

（2）若 a＞b，則 -a___-b

（3）若 a＞0，則 3a___4a

（4）若（a-1）x＞a-1，則 x___1

由正數到負數，由數字到字母，由單項式到多項式，不斷的變式、引申、層層深入，解題由簡單到復雜，思維由窄變寬，同時滲透分類思想。在老師的指引下，學生對數學問題進行了深入的思考和探究，從而幫助學生辨析公式、定理，進一步提高學生應用公式、定理進行數學的推理、論證和演算的能力，也培養了學生多向變通的思維能力。

三、在習題教學中變式，提升學生靈活解決問題的能力

在多年教學中，發現不少學生思維定勢嚴重，解題時思考不到位，一臉茫然。如果在習題教學中，注重對習題進行變式，既可以減輕學生的負擔，避免“題海戰術”，又可以使學生的思維能力、分析能力、解題能力等多方面得到訓練與提高。

1.一題多變。

通過一題多變，讓學生明白解題不是為了解決一個問題，目的是解決一類問題，從長遠角度來看，堅持一題多變訓練，可以開拓學生的解題思路，培養學生的發散思維，利于學生的終身發展。

在教學根據不等式組的解集確定字母的值的例題中，可以做如下變式訓練：

上面幾題都要解不等式組，通過求不等式組的解集，找到字母的取值范圍，不改變這個問題的本質，而不斷變換問題的形式讓學生來解決，在解決問題過程中讓學生體會到它們之間的聯系與區別，從而得到這一類型問題的解決方法，這樣在一定程度上克服了思維僵化，減少了思維惰性，以后遇到這類問題就有信心去思考和解決，還幫助學生樹立了學習的自信心。

2.多題一解。

很多數學習題表面上看似不同，但它們的內在本質是一樣的，如果教師在教學中注重對這類題目的收集、整合，再展示給學生，引導學生尋求通法通解，會有利于提升學生解決問題的能力。

例如，如圖（1）所示，要在街道旁修建一個自來水站，向居民區A、B輸送自來水，水站應建在什么地方，才能使所用的輸水管道最短．

變式 1：如圖（2），兩點 A（0，2），B（6，6），點P是x軸上的一點，求PA+PB的最小值_____。

變式：2：如圖（3），在正方形 ABCD中，E 是 AB 上一點，BE=2，AE=6，P 是 AC上一動點，則PB+PE的最小值是_____.

圖（1）

圖（2）

圖（3）

圖（4）

變式 3：如圖（4），四邊形 OABC 為正方形，邊長為4，點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，點D在OA上，且D的坐標為（2，0），P是 OB 上的一動點，則 PD+PA的最小值是______。

這幾道題都是用“兩點之間線段最短”這一基本知識來解決，這句話學生們非常熟悉，但是用它來解決問題時，學生卻不知從何入手。教師如果能通過上面幾題的變式，引導學生進行解答，學生會很順利的掌握這一類型題目的求解方法。讓學生覺得原來比較困難的題目，現在很容易就學會了，從而激發了學生學習數學的興趣。

3.一題多解。

一題多解就是讓學生從不同的角度思考，運用不同的知識和方法解決同一個問題，堅持做這樣的訓練能激發學生的潛能，提高學生解決問題的能力。

例如，甲、乙兩人騎自行車分別從相距100千米的A、B兩地相向而行，如果他們都保持勻速行駛，則他們各自到A地的距離S(km)都是騎車時間t(h)的一次函數，1 h后乙距A地80千米，2 h后甲距A地30千米.問經過多長時間兩人相遇？

解：V甲=15千米/每小時，V乙=20千米/每小時

方法一：列算式，100÷（15+20）

方法二：列一元一次方程，設經過x小時相遇，則20x+15x=100

方法三：圖像法，對于乙：當t=0時，S=100；當t=1時，S=80，所以直線經過（0，100）和（1，80）兩點.對于甲：當 t=0時，S=0；當t=1時，S=30.所以直線經過（0，0）和（2，30）兩點，畫出圖像找到交點求解。

方法四：根據函數圖像確定甲、乙的函數表達式，聯立兩個表達式，再求解方程組的解即可。

方法五：根據實際意義，甲離A地的距離實際上就是甲行走的路程，即S=15t，乙離A地的距離實際就是乙剩下的路程，即S=100—20t，再聯立成二元一次方程組求解.

這個例題展示了列算式法、列一元一次方程法、圖像法、列一次函數關系式法、列二元一次方程組法，讓學生從不同的角度思考問題、解決問題，使學生感受到原來數學問題可以有這么多種解決方法，激發出強烈的求知欲望。

變式教學讓數學有了思維的亮度，又有了思維的高度。所以數學教學中教師要不斷學習、不斷總結、不斷完善，精心設計、合理使用變式教學，讓學生在無窮的變化中領略數學的魅力，從而進一步發展學生靈活解決問題的能力。

[1]劉長春，張文娣.中學數學變式教學與能力培養.

[2]北師大版初中數學教材.