解決概率問題應把握的關系

摘 要：本文從概率題的三方面關系引導學生把握概率問題的內在規律和特點，形成科學的學習方法和解題技巧。

關鍵詞：概率；關系；方法

概率題是高考的熱點題型之一，概率題的背景材料也各種各樣。解決概率問題，學生與老師各有難處，學生容易把互斥事件、對立事件等知識點的概念混淆；老師進行課堂教學時，概念題的解釋已經足夠充分了，可學生仍然聽不明白。以下就如何把握好三方面關系來突破概率學習這一難題談談個人的看法。

一、 “至少有一……”的概率問題與對立事件的關系

由于事件A∪A是一個必然事件，對互斥事件A與B有P（A∪B）=P（A）+P（B），故P（A∪A）=P（A）+P（A），于是有P（A）=1-P（A），如果對這個公式靈活運用，那么這道題的計算就可以簡便許多，如果不能直接計算某事件概率，那就通過求事件的對立事件概率獲得。面對這類題型，首先要辨別此事件是否為互斥事件和對立事件，再決定用哪種概率公式來計算：次，出現關鍵詞“至多”“至少”的問題常考慮用對立事件的概率公式計算。

【例1】 現有十個特征完全一樣的六面體骰子每次同時拋這10個骰子，拋5次，求骰子至少一次全部是同樣點數的概率 。

分析：這道題迷惑性較強，但把握住“至少有一次”，轉化為對立事件就容易理解了。

解：題干中對立事件為“所拋五次，每次點數不完全一致”。“而拋一次，點數不完全相同的”的概率為6×1610=169，從而求得其拋5次，朝上點數不完全一致的概率為1-169，所以拋5次至少有一次朝上點數一致的概率為1-1-1695。

二、 “至少有一……”的概率問題與二項式定理的關系

“至少有一次”出現在題目里往往會使題目帶有迷惑性，不易理解，可以轉換思路，運用其與互斥事件有一個發生的概率結合相關公式計算。

【例2】 現有10個標有1，2，3，4，5，6的自制骰子，每次將其同時拋出，求得其朝上面為同一數字的概率 。

分析：例1那種解法很常用，然而讀者并不能完全理解，其實抓住“至少有一次”這個關鍵點，解決問題就相對方便些。

解：“朝上面數字全部一致”的互斥事件有以下幾種：“剛好且只有一次朝上數字面全部一致”、“剛好且有2次朝上面數字全部一致”、“剛好且有3次朝上面數字全部一致”、“剛好且有4次朝上面數字全部一致”和“剛好且有5次朝上面數字全部一致”，故求得其概率為：

C151-1694·169+C251-1693·1692+C351-1692·1693+C451-169·1694+C551695=1-169+1695-C051690·1-1695=1-1-1695。

注：這種解法看似繁瑣，但學生易理解。

三、 等可能性事件的概率問題與排列、組合的關系

假設實驗中會出現n種不同的結果，而事件A所含有的結果有m種，則其發生的概率為P（A）=mn，從排列。組合的角度看，n實際上是某些事件的排列數、組合數。因此這種等可能性事件的概率問題和有關排列組合的計算是一回事。但應特別注意計算時要嚴防遺漏、決不重復。

【例3】 實驗安排3個男同學和3個女同學并列站成一排，從第二個人（從左往右看）其的任何一個人，其前面的所有人中男同學不比女同學少的概率。

分析：本題的關鍵是求出“從第二人（從左往右看）起的任何一個人，其前面的所有人中男同學總數不比女同學總數少”的排法種數。

解：題目中6名同學的排列方式方法計算為6！=720，而題干中所求自第二人（從左到右）起任何一個，排在其前面的人中女同學比男同學多的排列方式有以下5種：每種情形中的3男3女又可分別進行全排列，共有5×（3！）×（3！）=180種排法。

男男男-女-女-女

女男-女-女

女-男-女

女-男男-女-女

女-男-女

故所求概率為5×（3！）×（3！）6！=180720=14。

總之，不管是概率題還是數學的其他題型，只要能根據題型的特點，選擇與之相適應的方法，必可簡潔求解。所以在平時的教學中，我們不僅要“授之以魚”，更要“授之以漁”；同時，積極引導學生去探索各種題型的內在規律和特點，形成科學的學習方法和解題技巧。只有這樣才能調動學生數學學習的積極性，提高學習的效率與信心。

作者簡介：

謝曉玲，福建省三明市，三明市第九中學。