《雞兔同籠》微課案例設(shè)計(jì)及反思

矯高本

摘要 翻轉(zhuǎn)課堂能有效轉(zhuǎn)變師生角色，落實(shí)教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用。“雞兔同籠”教學(xué)的側(cè)重點(diǎn)是注重問題的研究，課前學(xué)生帶著新奇和興奮進(jìn)行自學(xué)，為新知的自主探究做了充分的準(zhǔn)備；課上學(xué)生帶著思考和自信進(jìn)行探究；課后留下的是解決問題的方法和策略，使整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)突出教材重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)，調(diào)動(dòng)起學(xué)生的創(chuàng)造性思維，從而提高課堂教學(xué)效率。

關(guān)鍵詞微課；翻轉(zhuǎn)課堂；雞兔同籠；數(shù)學(xué)

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1671—489X（2017）19—0062—03

1課程分析

課程及學(xué)情分析 “雞兔同籠”是我國古代著名的數(shù)學(xué)問題。本課選自新人教版教材四年級(jí)下冊(cè)第九單元“數(shù)學(xué)廣角”，其教學(xué)側(cè)重點(diǎn)旨在向?qū)W生滲透一些數(shù)學(xué)思想方法，并培養(yǎng)學(xué)生多角度解決問題的意識(shí)。

四年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)具備應(yīng)用逐一嘗試法、列表法解決數(shù)學(xué)問題的基本能力。然而，假設(shè)法的學(xué)習(xí)對(duì)于學(xué)生仍是難點(diǎn)，一方面，有個(gè)別學(xué)生已經(jīng)接觸過假設(shè)法，但多是機(jī)械記憶一些解題的模式，并未真正理解假設(shè)法的算理；另一方面，有的學(xué)生沒有接觸過假設(shè)法，理解起來具有一定的難度。基于此，教師要在教學(xué)中充分發(fā)揮引領(lǐng)作用，通過情境感受、化繁為簡、自主探究、組內(nèi)交流等形式，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考。

教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn) 本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生了解“雞兔同籠”問題，感受數(shù)學(xué)問題的趣味性；經(jīng)歷自主探究解決問題的過程，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性。教學(xué)的重點(diǎn)是讓學(xué)生掌握運(yùn)用列表法、假設(shè)法解決“雞兔同籠”問題。教育的難點(diǎn)是讓學(xué)生理解掌握假設(shè)法，會(huì)運(yùn)用假設(shè)法解決數(shù)學(xué)問題。

適用微課的理由 本節(jié)課注重問題研究，對(duì)“雞兔同籠”問題的研究不是在繁、難、深上下功夫，而是重點(diǎn)理解假設(shè)法的算理及其他的解題思路和策略，以及“雞兔同籠”數(shù)學(xué)模型在生活中的應(yīng)用。在傳統(tǒng)教學(xué)中，本課內(nèi)容豐富，既涉及數(shù)學(xué)文化的滲透，又要讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用多種解題策略，同時(shí)要體會(huì)假設(shè)方法的一般性。因此，學(xué)生在短短40分鐘內(nèi)做到假設(shè)法算理的理解并內(nèi)化，有一定的難度，對(duì)于建立“雞兔同籠”數(shù)學(xué)模型及在生活中靈活應(yīng)用更存在一定困難。本節(jié)課以微課的方式把難點(diǎn)提前介紹給學(xué)生，學(xué)生可以根據(jù)自己的理解程度反復(fù)觀看視頻，有利于不同程度的學(xué)生消化吸收知識(shí)點(diǎn)，更利于開展學(xué)習(xí)。

整體設(shè)計(jì)思路 課前微課主要是針對(duì)本節(jié)課的難點(diǎn)，即假設(shè)法算理的理解。微課中融合數(shù)學(xué)文化，首先對(duì)“雞兔同籠”問題的出處進(jìn)行介紹；接著出示例題，滲透化繁為簡的數(shù)學(xué)思想；然后利用動(dòng)畫演示，幫助學(xué)生理解假設(shè)法的算理；再介紹古人的方法，讓學(xué)生感受古人的聰明才智及數(shù)學(xué)文化的魅力，激發(fā)學(xué)生的愛國熱情；最后布置課前作業(yè)：你還能想出其他的辦法嗎？

課上，學(xué)生在學(xué)習(xí)微課之后，經(jīng)過充分自主探究，用自己的語言進(jìn)行介紹，加深對(duì)算理的理解，體會(huì)解決此類問題的多種策略。最后，教師出示幾道習(xí)題，讓學(xué)生從習(xí)題中發(fā)現(xiàn)共性問題，建立“雞兔同籠”的數(shù)學(xué)模型，使“雞兔同籠”問題與生活緊密聯(lián)系。

2微課設(shè)計(jì)

微課設(shè)計(jì)思路 微課題為“雞兔同籠——假設(shè)法”。微課的設(shè)計(jì)分為如下四步。

第一步：先出示古代著名的數(shù)學(xué)著作，如《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》《算數(shù)書》《孫子算經(jīng)》，吸引學(xué)生走進(jìn)古代數(shù)學(xué)課堂；調(diào)動(dòng)起學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣之后，由一位小朋友打開《孫子算經(jīng)》，出示“雞兔同籠”問題。

第二步：由于原數(shù)據(jù)較大，為了便于研究，將其換成較小的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生初步體會(huì)化繁為簡的思想，有助于提升對(duì)于問題的理解。

第三步：演示動(dòng)畫，動(dòng)畫的過程旨在幫助學(xué)生理解假設(shè)法的算理，通過雞腳和兔子腳的變換，明確數(shù)量關(guān)系，體會(huì)假設(shè)法的思想：接著提出問題：你能想到古人是怎樣解決“雞兔同籠”問題的嗎？

第四步：展示古人的抬腳法，感受古人的聰明才智、古代數(shù)學(xué)文化的魅力。

3課堂核心活動(dòng)

探索用猜測(cè)列表法解決“雞兔同籠”問題 思考交流，展示列表法，通過從不同的數(shù)據(jù)開始，讓學(xué)生列表體會(huì)如何縮小范圍，從表中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，找到問題的答案，體會(huì)列表法的局限性。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生經(jīng)歷探索列表法的過程，實(shí)際是一個(gè)不斷認(rèn)知假設(shè)法的過程，列表中第一個(gè)數(shù)據(jù)的出現(xiàn)，本身用的就是假設(shè)的思想。學(xué)生通過一步一步調(diào)整，逐步找到規(guī)律，培養(yǎng)了邏輯推理能力。同時(shí)，隨著數(shù)據(jù)加大，給列表帶來難度，促使學(xué)生思考更具有邏輯性和一般性的解決方法。

【活動(dòng)實(shí)錄】

生1：我從雞有1只、兔有7只開始列表，發(fā)現(xiàn)有30只腳，多了4只腳；進(jìn)行調(diào)整，減少1只兔子，增加1只雞，這樣就變成28只腳，還多2只腳；又增加1只雞，減少1只兔子，這樣正好是26只腳。因此，有3只雞，5只兔。

師：1只雞和7只兔是從哪里來的？

生1：假設(shè)的。

師：為什么你在調(diào)整時(shí)減去1只兔子，增加1只雞，而不是減少雞，增加兔子？

生1：因?yàn)槟_多。

師：多的是誰的腳？

生1：多的是兔子的腳，所以要讓兔子的只數(shù)減少，雞的只數(shù)增加。

師：還有從其他的情況開始假設(shè)的嗎？

生2：我從雞有4只、兔有4只開始列表的，發(fā)現(xiàn)有24只腳，少了2只腳；于是進(jìn)行調(diào)整，增加1只兔子，減少1只雞，就正好是26只腳。

師：你為什么從雞有4只、兔子有4只開始列表？

生2：因?yàn)檫@樣可以更快捷一點(diǎn)兒，找起來范圍更小。

師：無論是從哪一個(gè)數(shù)據(jù)開始假設(shè)，通過不斷調(diào)整，我們都可以找到答案。那從表格中，你們發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

生：每增加1只雞、減少1只兔子，就減少2只腳；增加1只兔子、減少1只雞，就增加2只腳。

用假設(shè)法解決“雞兔同籠”問題 假設(shè)法是一種應(yīng)用比較廣泛的思考法，解決“雞兔同籠”問題過程中運(yùn)用假設(shè)法在教學(xué)中是個(gè)難點(diǎn)。因此，本課課前借助微課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生了解假設(shè)法的思想方法，理解上有了一定的基礎(chǔ)，在學(xué)生匯報(bào)講解時(shí)，可以讓其他學(xué)生給予適時(shí)的提問和補(bǔ)充，以幫助學(xué)生更加清楚地理解算理、突破難點(diǎn)。同時(shí)，使學(xué)生明白假設(shè)法與列表法相比，解題時(shí)不受數(shù)據(jù)大小的影響，更具有一般性，為后面建立“雞兔同籠”數(shù)學(xué)模型打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

【活動(dòng)實(shí)錄】學(xué)生匯報(bào)假設(shè)法。

生1：我用的是假設(shè)法，假設(shè)籠子里所有的動(dòng)物都是雞，則每只雞有2只腳，8只雞有2×8=16只腳，少了26-16=10只腳。因?yàn)榘衙恐煌米涌闯呻u時(shí)少算了2只腳，所以有10÷（4-2）=5只兔，8-5=3只雞。

師：你們對(duì)于他的方法有什么問題嗎？互相提一提。

生2：26-16=10是什么意思？

生3：10÷（4-2）是什么意思？

生4：我用到的也是假設(shè)法，但我假設(shè)的是籠子里所有的動(dòng)物都是兔子，則每只兔子有4只腳，8只兔子有4×8=32只腳，多了32-26=6只腳。因?yàn)榘衙恐浑u看成兔時(shí)多了2只腳，所以有6÷（4-2）=3只雞，則8-3=5只兔。

師：看這兩種方法有什么共同的特點(diǎn)？

生：都是把籠子里的動(dòng)物看成一種，每只兔和每只雞的腳數(shù)都差2。

師：我們看假設(shè)法和列表法，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：假設(shè)法就相當(dāng)于列表中有0只雞、8只兔或O只兔、8只雞，把所有的動(dòng)物看成一種。實(shí)際上列表法就是一種假設(shè)法。

師：如果現(xiàn)在讓我們解決《孫子算經(jīng)》中的原題，你會(huì)用哪種方法？為什么？

生：假設(shè)法。因?yàn)檫@道題的數(shù)據(jù)比較大，如果用列表法非常麻煩，而且假設(shè)法不會(huì)受數(shù)據(jù)大小的影響。

介紹古人解決“雞兔同籠”問題的方法

【設(shè)計(jì)意圖】了解古人解決“雞兔同籠”問題的方法，感受假設(shè)法的巧妙性，深化學(xué)生對(duì)于假設(shè)法的認(rèn)識(shí)，豐富解題策略。

【活動(dòng)實(shí)錄】

師：你知道古人是怎樣解決“雞兔同籠”問題的嗎？

課件演示動(dòng)畫：抬腳法。

師：看了動(dòng)畫，你想說點(diǎn)什么？

生1：我覺得古人太聰明了，他們用到的方法也是假設(shè)法。

生2：假設(shè)法在我們生活中應(yīng)用非常廣泛，還很靈活。

4應(yīng)用練習(xí)與測(cè)評(píng)

應(yīng)用練習(xí)題的設(shè)計(jì)出示龜鶴問題、租船問題等問題，在學(xué)生解題過程中，將“雞兔同籠”問題與生活實(shí)際建立聯(lián)系。

【設(shè)計(jì)思路】數(shù)學(xué)教學(xué)的宗旨是為學(xué)生生活所用，因此，除了教會(huì)學(xué)生解決問題，建模的過程對(duì)于提高他們的解題能力和應(yīng)用意識(shí)則更加重要。本環(huán)節(jié)旨在教給學(xué)生任何事情都要學(xué)會(huì)透過現(xiàn)象看本質(zhì)，生活中的許多問題看似與其無關(guān)，本質(zhì)卻屬于“雞兔同籠”這個(gè)數(shù)學(xué)模型，因此加深對(duì)“雞兔同籠”問題本質(zhì)的理解。

學(xué)生解題情況及評(píng)價(jià) 通過“龜鶴”“大船小船”等不同變式的呈現(xiàn)，使學(xué)生初步感知“雞兔同籠”問題只是一個(gè)“模型”，雖然問題的情境在變化，但問題的本質(zhì)數(shù)量之間的關(guān)系是不變的。學(xué)生在解決這些問題的過程中，逐漸形成“雞兔同籠”問題解題策略和思路，開始初步建構(gòu)起關(guān)于“雞兔同籠”問題的數(shù)學(xué)模型，再將模型演繹到各種生活現(xiàn)象和問題情境中，從而促使模型進(jìn)一步內(nèi)化，完成模型的建構(gòu)與應(yīng)用。

5反思與設(shè)想

真正讓學(xué)生親身經(jīng)歷列表、嘗試和不斷調(diào)整的過程由于學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平不同，因此在同樣的列表過程中，學(xué)生會(huì)有不同的解題方法。在交流時(shí)，有些學(xué)生用逐一列表的方法，有些學(xué)生則用居中列表法，教師對(duì)此都給予學(xué)生充分的肯定。同時(shí)，讓學(xué)生體會(huì)雞兔只數(shù)的變化和總腿數(shù)變化之間的內(nèi)在聯(lián)系，這樣學(xué)生能慢慢地發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律。在具體的解決問題過程中，根據(jù)已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生逐步探索不同的解決方法，找到解決問題的策略。

注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教師在每一堂課都應(yīng)該關(guān)注的內(nèi)容，有意識(shí)地向?qū)W生滲透基本的數(shù)學(xué)思想方法，就可以鍛煉和提高學(xué)生的思維。在教學(xué)中，學(xué)生先后運(yùn)用猜測(cè)法、列表法、假設(shè)法等分析和解決問題，在激烈的思維碰撞中進(jìn)一步提升，為今后深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

對(duì)于翻轉(zhuǎn)課堂的思考 接觸翻轉(zhuǎn)課堂以來，聽到的聲音褒貶不一。筆者認(rèn)為最有發(fā)言權(quán)的應(yīng)該是真正實(shí)踐過的人。翻轉(zhuǎn)課堂這種模式并不適用于所有的課堂，但對(duì)于“雞兔同籠”問題，卻真正實(shí)現(xiàn)了內(nèi)容上的補(bǔ)充，加深了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解。本節(jié)課重在讓學(xué)生理解假設(shè)法，而列表法和古人抬腳法用到的實(shí)際都是假設(shè)法，學(xué)生必須經(jīng)歷一個(gè)運(yùn)用多種方法解決該類問題的過程，而這個(gè)過程在一節(jié)課中落實(shí)是非常困難的，因此必須給他們足夠的時(shí)間和空間去實(shí)踐、去探索。不斷調(diào)整解題策略，逐步探討出不同的方法，找到合理解決問題的策略。