淺析平面向量在圓錐曲線問題中的應用

馮永杰

（甘肅省隴南市兩當縣第一中學，甘肅 隴南）

圓錐曲線是解析幾何的重要內容，是整個高中數學的重點和難點，在歷年的高考中都占有較大的比例。這部分知識龐雜、解題計算量大、綜合程度高。掌握用向量作為工具，可以很便捷地解決一些解析幾何的問題。

一、軌跡及定值問題

（1）求點P的軌跡方程；

（2）由題可知 F（-1，0），設 Q（-3，t），P（m，n），則-3m-m2+tn-n2=1，由（1）有 m2+n2=2，則有 3+3m-tn=0，所以，OQ·知直線OQ和PF垂直，即過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F。

【點評】本題考查由向量關系提供點的坐標關系，通過運算求軌跡方程的方法，及解決動直線過定點的問題。體現了用向量處理這種關系的便捷性。

二、取值范圍及最值問題

（2017·浙江理）如圖，已知拋物線x2=y，點拋物線上的點過點B作直線AP的垂線，垂足為Q。

（Ⅰ）求直線AP斜率的取值范圍；

（Ⅱ）求|PA|·|PQ|的最大值。

【點評】本題以拋物線為載體，考查了解析幾何中求斜率及最值的方法，在求最大值的過程中，常規解法是利用兩點間的距離公式，經過運算簡化為函數問題來解決，其中運算量很大。可利用平面向量數量積的意義和運算性質，將問題直接轉化為函數求最值問題，向量的這種工具性優勢便發揮出來了。

三、存在問題的探索

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）設O為坐標原點，過點P的動直線與橢圓交于A，B兩點。是否存在常數λ使得為定值？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由。

（Ⅱ）①當直線AB的斜率存在時，設AB的解析式為y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）聯立

因 Δ=32k2+8>0，由韋達定理可知

這里只有當λ-1=0，才與k的取值無關，∴λ=1。

②當直線AB的斜率不存在時，AB即為CD，

【點評】本題考查利用向量的相關知識求橢圓的標準方程、直線方程等問題，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數形結合、化歸與轉化、特殊與一般、分類與整合等數學思想。

向量具有代數與幾何形式的雙重身份，是聯系多項知識的紐帶，成為中學數學知識的一個交匯點，解析幾何與平面向量的融合交匯是近幾年高考命題改革的熱點。在解析幾何中處理有關長度、角度、共線、平行、垂直、射影等問題以及軌跡、范圍、最值、定值、對稱等典型問題時，以平面向量作為工具，引導學生多角度進行思考，使問題思路更清晰，進一步培養學生分析問題和解決問題的能力。