江蘇高考卷解析幾何分析與復習反思

鄭玉梅

摘要：今年高考題出現的一題多解題，拓寬了學生的解題思路，培養了學生從不同視角分析問題和解決問題的能力。本文意在利用一題多解這種題型本質，最大化地挖掘高考試題的潛在價值，使我們在課堂教學中有針對性地組織內容，讓教學過程著眼于方法，立根于本質。

關鍵詞：高考；一題多解；策略

中圖分類號：G633.65文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）03-095-2

今年高考的解析幾何解答題，是一道平易近人的可求型交點問題，它改變了以往的大運算量，起點相對較低，更注重基礎知識和基本技能的運用。

題目如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為12，兩準線之間的距離為8。點P在橢圓E上，且位于第一象限，過點F1作直線PF1的垂線l1，過點F2作直線PF2的垂線l2。

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）若直線l1，l2的交點Q在橢圓E上，求點P的坐標。

一題多解

（1）略；（2）怎么求？思考方向不外乎兩個：代數法或幾何法。不難發現只要點P確定，則涉及的相關直線與點就全部確定，所以從P點的坐標入手成為解決本題的一個自然選擇。

解法1由（1）知，F1（-1，0），F2（1，0）。設P（x0，y0）因為P為第一象限的點，故x0>0，y0>0。

當x0=1時，l2與l1相交于F1，與題設不符。

當x0≠1時，直線PF1的斜率y0x0+1，直線PF2的斜率y0x0-1。

因為l1⊥PF1，l2⊥PF2，所以直線l1的斜率為-x0+1y0，直線l2的斜率為-x0-1y0，

從而直線l1的方程：y=-x0+1y0（x+1），①直線l2的方程：y=-x0-1y0（x-1）。②

由①②，解得x=-x0，y=x20-1y0，所以Q（-x0，x20-1y0）。

因為點Q在橢圓上，由橢圓的對稱性可知，Q和P關于y軸對稱或者關于原點對稱。x20-1y0=±y0，即x20-y20=1或x20+y20=1。又P在橢圓E上，故x204+y203=1。

由x20-y20=1x204+y203=1，解得x0=477，y0=377；x20+y20=1x204+y203=1，無解。

因此點P的坐標為（477，377）。

能否回避對斜率是否存在的討論呢？若用向量來處理，就沒有這些麻煩。

解法2設Q（x1，y1），由PF1⊥QF1，得PF1·QF1=0，即（x0+1）（x1+1）+y0y1=0。

同理可得（x0-1）（x1-1）+y0y1=0，兩式相減，得x1=-x0，所以x20-y0y1=1，

所以Q（-x0，x20-1y0）。以下略。

此處可能也會有同學采用三角設點。

解法3由（1）知，設P（2cosα，3sinα），Q（2cosβ，3sinβ），因為P為第一象限的點，所以α∈（0，π2），β∈（0，2π）。由PF1⊥QF1，得PF1·QF1=0，

即（2cosα+1）（2cosβ+1）+3sinαsinβ=0，

同理，由PF2⊥QF2，得（2cosα-1）（2cosβ-1）+3sinαsinβ=0，

兩式相減，得cosα=-cosβ，又α∈（0，π2），所以β∈（π2，π）或β∈（π，3π2），

若β∈（π2，π），則β=π-α，得sinβ=sinα，代入上式得，

3sin2α-4cosα+1=0（利用sin2α+cos2α=1），sin2α=37，cos2α=47，

又α∈（0，π2），所以sinα=217，cosα=277，所以，點P的坐標為（477，377），

若β∈（π，3π2），同理，發現不符合題意。綜上，P（477，377）。

【說明】 利用三角設點，找到縱坐標的關系，當然，也可以借助誘導公式的使用，直接找到α、β的關系分情況求解。當然，有可以抓圖形特征。

所以PF1-PF2=QF2-QF1 ②，

由①-②，PF2=QF1，由橢圓的對稱性（或第二定義）可知，Q和P關于y軸對稱或者關于原點對稱。

以下同。

解法5因為PF1⊥QF1，PF2⊥QF，所以∠PF1Q=∠PF2Q=90°，

即∠PF1Q+∠PF2Q=180°。所以，四點P、F1、Q、F2在以PQ為直徑的圓上。

設圓心為M，則M為線段PQ的中點且線段在F1F2的中垂線上（y軸）上，設M（0，t），設P（x0，y0），x0>0，y0>0，則Q（-x0，2t-y0），

由P、Q均在橢圓上，x204+y203=1（-x0）24+（2t-y0）23=11+t2=x20+（y0-t）2，

所以P（477，377）。

一題多思

不難發現解法1、2、3在本質上沒什么區別，都是最平實的思路，通過設點，轉化為純坐標運算，依托于直線與橢圓聯立，一算到底使問題得以解決，可以視為通性通法。值得注意的是解法1中要對斜率是否存在進行討論。

解法4和解法5都是建立在對幾何圖形特征的分析上，直接找到P、Q坐標的關系，最終回到解析幾何的核心——坐標法解決。

在以上5種解法里，函數與方程思想貫穿始終，有的算的多、算的巧，有的想的多，算的少，歸納一下有兩個要點：

1.數形結合意識很重要：解析幾何仍是一種“幾何”，對圖形特征的分析必不可少，一定要仔細分析圖中的點、線、角特征，因為這些元素都有可能構成等量關系；

2.計算能力要足夠強：解幾的本質是坐標法，代數運算必不可少，計算量的大小與解題方向的選擇關系密切，但在考試中我們無暇顧及比較不同算法的優劣，就只能遵循“只要解題方向正確，就一算到底”的原則。

2018備考啟示

在高考創新試題層出不窮的大環境下，回顧前幾年的解析幾何題，筆者認為可以得到以下幾點啟示：

1.繼續注重基礎知識與基本技能的訓練

學生基礎扎實，能力自然提升。備考時，不能一味的重難題和偏題，而忽視基礎。教師要對每個知識點和方法點做到心中有數（高考考什么？怎么考？學生應該掌握到什么程度？學生學習的難點在哪？障礙將在哪里產生？分化點在哪里？如何分析難點等），教學中要注重課本的回歸、重視通性通法的總結，基礎知識和基本技能的落實。

2.注重以能力立意

面對圓錐曲線的計算問題，廣大學子為什么會如此恐懼呢？究其根源，原因一般在兩個方面：一、解幾對解題方法的選擇要求比較高，選擇合適的切入點可以簡化運算；二、對計算方法和技術能力的要求比較高。但不少學生的現狀是：計算能力的練習量不夠，計算練習的有效性不夠，計算技巧的把握還很欠缺，更重要的是，很多學生打心眼里反感，排斥，甚至從未試圖計算出準確的答案來。對于掌握解析幾何方法不多、計算技能和技巧少的考生來說，無疑是一道難以逾越的鴻溝。教學中，教師要能站在思想與方法、區別與聯系、延伸與拓展的高度揭示解決問題的一般規律，形成方法體系，消除學生的恐懼，引導學生“反思再發現”，深化學生的理解，提高復習效率；

3.注重思想方法的滲透

解析幾何教學的每一個環節要都要重視數形結合思想的滲透，當然，也包括函數與方程思想、轉化與化歸思想等等，還有極其重要的轉換思想，要把思想滲透到分析與探究問題解決的細節過程中，思想及時總結，方法及時歸納，以提升認知理解能力和優化能力。