“利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)設(shè)計(jì)及反思

梅華

摘要：導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的基本概念，又是中學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)主干知識(shí)，它是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他自然科學(xué)的基礎(chǔ)，更是研究函數(shù)相關(guān)性質(zhì)的重要工具之一。本文闡述了“利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性”這一課的過程，整個(gè)教學(xué)過程，從創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣—探索新知，猜想釋疑—知識(shí)構(gòu)建，深度理解—提升能力，發(fā)展思維—回顧反思，總結(jié)升華，五個(gè)方面入手，層層遞進(jìn)，螺旋上升。

關(guān)鍵詞：情境；興趣；釋疑；反思

中圖分類號(hào)：G633.62文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2018）03-096-2

本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)：一是了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。二是通過實(shí)例，借助幾何直觀、數(shù)形結(jié)合探索函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；通過初等方法與導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)性質(zhì)過程中的比較，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性，同時(shí)感受和體會(huì)數(shù)學(xué)自身發(fā)展的一般規(guī)律。

一、教學(xué)過程

1.創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣

情境一：過山車章頭圖

情境二：觀看過山車視頻

【設(shè)計(jì)意圖】 通過章頭圖拉近學(xué)生與數(shù)學(xué)的關(guān)系，讓學(xué)生感受到生活處處有數(shù)學(xué)，也為本節(jié)課的研究埋下伏筆。過山車視頻的播放更能激發(fā)學(xué)生研究興趣，提高學(xué)生的探究欲望！

問題一：如何定義函數(shù)在某點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)？

問題二：如何研究一個(gè)函數(shù)f（x）在某個(gè)區(qū)間I上的單調(diào)性？

【設(shè)計(jì)意圖】 以過山車為載體引發(fā)學(xué)生思考，過山車在每個(gè)瞬間的變化能夠用導(dǎo)數(shù)來刻畫，而整個(gè)過程的變化又能體現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性，如此很自然的引發(fā)學(xué)生思考，二者都是對(duì)函數(shù)變化趨勢(shì)的刻畫是否有什么聯(lián)系，從而引出主題。

2.探索新知，猜想釋疑

學(xué)生活動(dòng)一：

實(shí)驗(yàn)：請(qǐng)同學(xué)們把直尺放在函數(shù)圖象上作為曲線的切線，移動(dòng)直尺并觀察導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系

【設(shè)計(jì)意圖】 新課標(biāo)倡導(dǎo)數(shù)學(xué)課堂要多讓學(xué)生操作動(dòng)手，感受知識(shí)的生成過程，通過實(shí)驗(yàn)操作既能培養(yǎng)學(xué)生的合作探究能力，更能讓學(xué)生自己主動(dòng)引發(fā)對(duì)知識(shí)的思考，深化對(duì)知識(shí)的理解和感悟。

觀察：幾何畫板演示三次函數(shù)圖象驗(yàn)證學(xué)生猜想

【設(shè)計(jì)意圖】 沿著過山車所對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象研究下來，使整堂課渾然一體，也為后續(xù)三次函數(shù)的引入埋下伏筆。特別是生活中的過山車的視線就好比是三次函數(shù)所對(duì)應(yīng)的切線，使生活和數(shù)學(xué)緊密相連，既體現(xiàn)了生活處處有數(shù)學(xué)，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)服務(wù)于生活的思想。

學(xué)生活動(dòng)二：

問題三：能否從數(shù)的角度說明導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系？

【設(shè)計(jì)意圖】 通過前面的直觀感知，使學(xué)生體會(huì)到導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的密切關(guān)系，要想全面深刻地認(rèn)識(shí)這個(gè)結(jié)論還需從“數(shù)”的角度進(jìn)一步說明，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)形結(jié)合思想方法的重要性。

3.知識(shí)構(gòu)建，深度理解

一般地，對(duì)于函數(shù)y=f（x）

如果在某區(qū)間上f′（x）>0，那么f（x）為該區(qū)間上的增函數(shù)；

如果在某區(qū)間上f′（x）<0，那么f（x）為該區(qū)間上的減函數(shù).

問題四：確定f（x）=x2-4x+3在哪個(gè)區(qū)間是增函數(shù)，哪個(gè)區(qū)間是減函數(shù)嗎？

（師生共同完成）

變式1：確定函數(shù)f（x）=2x3-6x2+7在哪些區(qū)間是增函數(shù)

（學(xué)生獨(dú)立完成，投影展示結(jié)果）

練習(xí)1：確定函數(shù)f（x）=x-lnx的單調(diào)增區(qū)間

備注：完善解題步驟

練習(xí)2：確定函數(shù)f（x）=sinx-12x，（x∈（0，2π））的單調(diào)減區(qū)間

【設(shè)計(jì)意圖】 在運(yùn)用數(shù)學(xué)中讓學(xué)生體會(huì)在研究函數(shù)單調(diào)性方面，導(dǎo)數(shù)是一種超越，是一種延伸，是一種思想方法，它來源于函數(shù)單調(diào)性定義，更高于單調(diào)性定義。高一對(duì)函數(shù)單調(diào)性的判斷論證只能停留在具體個(gè)別的函數(shù)。而導(dǎo)數(shù)提供了一種“通法”，它是高一函數(shù)單調(diào)性的提升和總結(jié)。

4.提升能力，發(fā)展思維

問題五：函數(shù)在某區(qū)間上f′（x）≥0，那么能否得到函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增？

問題六：如果函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞增，那么在該區(qū)間上是否一定有f′（x）>0？

【設(shè)計(jì)意圖】 在練習(xí)中提出導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)進(jìn)一步關(guān)系的研究顯得順其自然，并能使學(xué)生更好的理解和掌握二者的關(guān)系，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

練習(xí)3：證明函數(shù)f（x）=x+4x在（2，+∞）上單調(diào)遞增

練習(xí)4：證明函數(shù)f（x）=ex-x在（-∞，0）上單調(diào)遞減

變式2：討論函數(shù)f（x）=x3-ax+3的單調(diào)性

5.回顧反思，總結(jié)升華

通過本節(jié)課的研究，你收獲了哪些新知識(shí)？能解決哪些具體問題？本節(jié)課我們用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？你還想繼續(xù)研究什么問題？

【設(shè)計(jì)意圖】 通過小結(jié)，不光引導(dǎo)學(xué)生更好的理解和掌握本節(jié)課的研究?jī)?nèi)容，更能培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)—總結(jié)—反思的良好習(xí)慣，不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，教師在最后的總結(jié)也是起到了畫龍點(diǎn)睛的效果。

作業(yè)：教材29頁(yè)練習(xí)1，2

二、教學(xué)設(shè)計(jì)說明及反思

1.關(guān)注生活，自然導(dǎo)入

本課的難點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的聯(lián)系，而這兩個(gè)概念都是非常抽象的，學(xué)生很難直接感知，所以在引入階段，利用生活中的常見問題，感知導(dǎo)數(shù)正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性之間的聯(lián)系，從而輕松高效引入課題，成功激發(fā)學(xué)生的求知欲，也體現(xiàn)了“生活中處處有數(shù)學(xué)”的教學(xué)理念。

2.關(guān)注探究，合作生成

前面已經(jīng)猜想出結(jié)論，但是該結(jié)論是否正確，還有待檢驗(yàn)，學(xué)生首先想到的就是驗(yàn)證已經(jīng)學(xué)過的常見函數(shù)，從而深化對(duì)所得結(jié)論的理解。再?gòu)摹靶巍被氐健皵?shù)”，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過程，抓住導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的定義之間的聯(lián)系來提煉一般性的結(jié)論，由學(xué)生自主探究、分組展示，互相點(diǎn)評(píng)，變灌注知識(shí)為學(xué)生主動(dòng)獲取知識(shí)，從而使之成為課堂教學(xué)活動(dòng)的主體。

3.關(guān)注應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合

在演練強(qiáng)化應(yīng)用的過程中，由“形”到“數(shù)”，規(guī)范了用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性的書寫，加深了對(duì)結(jié)論的理解；在了解函數(shù)的性質(zhì)基礎(chǔ)上，要求學(xué)生畫出三次函數(shù)的大致圖象，經(jīng)歷由“數(shù)”到“形”的過程，并對(duì)導(dǎo)函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象進(jìn)行對(duì)比、深化理解，突顯了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的優(yōu)越性；題目解完后再次畫出原函數(shù)圖象加以驗(yàn)證，數(shù)形結(jié)合思想，貫穿始終，并且突顯了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般性。逐層推進(jìn)，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)法在研究函數(shù)單調(diào)性中的一般性和有效性，由形到數(shù)，由數(shù)到形，數(shù)形結(jié)合貫穿始終。