“利用導數研究函數的單調性”教學設計及反思

梅華

摘要：導數是高等數學的基本概念，又是中學階段數學學習的一個主干知識，它是進一步學習數學和其他自然科學的基礎，更是研究函數相關性質的重要工具之一。本文闡述了“利用導數研究函數的單調性”這一課的過程，整個教學過程，從創設情境，激發興趣—探索新知，猜想釋疑—知識構建，深度理解—提升能力，發展思維—回顧反思，總結升華，五個方面入手，層層遞進，螺旋上升。

關鍵詞：情境；興趣；釋疑；反思

中圖分類號：G633.62文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）03-096-2

本節課教學目標：一是了解函數的單調性與導數的關系，能利用導數研究函數的單調性，會求不超過三次的多項式函數的單調區間。二是通過實例，借助幾何直觀、數形結合探索函數的單調性與導數的關系；通過初等方法與導數方法研究函數性質過程中的比較，體會導數在研究函數性質中的一般性和有效性，同時感受和體會數學自身發展的一般規律。

一、教學過程

1.創設情境，激發興趣

情境一：過山車章頭圖

情境二：觀看過山車視頻

【設計意圖】 通過章頭圖拉近學生與數學的關系，讓學生感受到生活處處有數學，也為本節課的研究埋下伏筆。過山車視頻的播放更能激發學生研究興趣，提高學生的探究欲望！

問題一：如何定義函數在某點x0處的導數？

問題二：如何研究一個函數f（x）在某個區間I上的單調性？

【設計意圖】 以過山車為載體引發學生思考，過山車在每個瞬間的變化能夠用導數來刻畫，而整個過程的變化又能體現函數的單調性，如此很自然的引發學生思考，二者都是對函數變化趨勢的刻畫是否有什么聯系，從而引出主題。

2.探索新知，猜想釋疑

學生活動一：

實驗：請同學們把直尺放在函數圖象上作為曲線的切線，移動直尺并觀察導數與函數單調性的關系

【設計意圖】 新課標倡導數學課堂要多讓學生操作動手，感受知識的生成過程，通過實驗操作既能培養學生的合作探究能力，更能讓學生自己主動引發對知識的思考，深化對知識的理解和感悟。

觀察：幾何畫板演示三次函數圖象驗證學生猜想

【設計意圖】 沿著過山車所對應的函數圖象研究下來，使整堂課渾然一體，也為后續三次函數的引入埋下伏筆。特別是生活中的過山車的視線就好比是三次函數所對應的切線，使生活和數學緊密相連，既體現了生活處處有數學，又體現了數學服務于生活的思想。

學生活動二：

問題三：能否從數的角度說明導數的正負與函數單調性的關系？

【設計意圖】 通過前面的直觀感知，使學生體會到導數與函數單調性的密切關系，要想全面深刻地認識這個結論還需從“數”的角度進一步說明，讓學生體會到數形結合思想方法的重要性。

3.知識構建，深度理解

一般地，對于函數y=f（x）

如果在某區間上f′（x）>0，那么f（x）為該區間上的增函數；

如果在某區間上f′（x）<0，那么f（x）為該區間上的減函數.

問題四：確定f（x）=x2-4x+3在哪個區間是增函數，哪個區間是減函數嗎？

（師生共同完成）

變式1：確定函數f（x）=2x3-6x2+7在哪些區間是增函數

（學生獨立完成，投影展示結果）

練習1：確定函數f（x）=x-lnx的單調增區間

備注：完善解題步驟

練習2：確定函數f（x）=sinx-12x，（x∈（0，2π））的單調減區間

【設計意圖】 在運用數學中讓學生體會在研究函數單調性方面，導數是一種超越，是一種延伸，是一種思想方法，它來源于函數單調性定義，更高于單調性定義。高一對函數單調性的判斷論證只能停留在具體個別的函數。而導數提供了一種“通法”，它是高一函數單調性的提升和總結。

4.提升能力，發展思維

問題五：函數在某區間上f′（x）≥0，那么能否得到函數在該區間上單調遞增？

問題六：如果函數在某區間上單調遞增，那么在該區間上是否一定有f′（x）>0？

【設計意圖】 在練習中提出導數與函數單調進一步關系的研究顯得順其自然，并能使學生更好的理解和掌握二者的關系，為后續學習奠定基礎。

練習3：證明函數f（x）=x+4x在（2，+∞）上單調遞增

練習4：證明函數f（x）=ex-x在（-∞，0）上單調遞減

變式2：討論函數f（x）=x3-ax+3的單調性

5.回顧反思，總結升華

通過本節課的研究，你收獲了哪些新知識？能解決哪些具體問題？本節課我們用到了哪些數學思想方法？你還想繼續研究什么問題？

【設計意圖】 通過小結，不光引導學生更好的理解和掌握本節課的研究內容，更能培養學生學習—總結—反思的良好習慣，不斷提高學生的數學素養，教師在最后的總結也是起到了畫龍點睛的效果。

作業：教材29頁練習1，2

二、教學設計說明及反思

1.關注生活，自然導入

本課的難點是引導學生發現導數與函數單調性之間的聯系，而這兩個概念都是非常抽象的，學生很難直接感知，所以在引入階段，利用生活中的常見問題，感知導數正負與函數單調性之間的聯系，從而輕松高效引入課題，成功激發學生的求知欲，也體現了“生活中處處有數學”的教學理念。

2.關注探究，合作生成

前面已經猜想出結論，但是該結論是否正確，還有待檢驗，學生首先想到的就是驗證已經學過的常見函數，從而深化對所得結論的理解。再從“形”回到“數”，進一步引導學生經歷從特殊到一般的過程，抓住導數和單調性的定義之間的聯系來提煉一般性的結論，由學生自主探究、分組展示，互相點評，變灌注知識為學生主動獲取知識，從而使之成為課堂教學活動的主體。

3.關注應用，數形結合

在演練強化應用的過程中，由“形”到“數”，規范了用導數研究單調性的書寫，加深了對結論的理解；在了解函數的性質基礎上，要求學生畫出三次函數的大致圖象，經歷由“數”到“形”的過程，并對導函數圖象與原函數圖象進行對比、深化理解，突顯了利用導數研究函數單調性的優越性；題目解完后再次畫出原函數圖象加以驗證，數形結合思想，貫穿始終，并且突顯了利用導數研究函數單調性的一般性。逐層推進，體現了導數法在研究函數單調性中的一般性和有效性，由形到數，由數到形，數形結合貫穿始終。