在小學數學教學中培養學生概括能力

■ 武漢市黃陂區前川街第五小學 董文學

抽象與概括是隸屬于思維過程和科學方法兩個維度的內容，抽象是從眾多的事物中抽取出共同的、本質性的特征，而舍棄個別的、非本質的特征；概括是把從具有相同屬性的某些事物中抽取出來的本質屬性推廣到具有這些屬性的一切事物，從而形成關于這類事物的普遍概念。數學是抽象概括性很強的科學，在小學階段，學好數學這門學科，對學生抽象概括能力的培養，初步邏輯思維能力的形成，以及數學素養的提升，意義重大。因此，教師要注重在日常每一節課的教學中有意識地去培養和訓練學生的抽象概括能力。

一、強化學習材料的豐富性，提升抽象概括能力培養的針對性

數學中的概念及結論，往往是對大量具體而生動的對象進行抽象概括而來的，它代表了這些對象的本質特征。抽象與概括的過程，就是將豐富而具體的材料進行去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的加工與制作，從而實現感性認識上升到理性認識的過程。由于小學生的思維特點是從具體形象思維為主逐漸往抽象邏輯思維為主的方向發展的，對于他們來說，對數學概念及結論的抽象概括，更需要基于充分而具體的學習材料來展開。

在課堂教學中，教師要適應小學生思維發展的年齡特點，就要為學生提供全面而充分的學習材料，或引導學生搜集足夠的學習資源，讓他們從外表各不相同的許多數學材料中找出共同點，從而順利地抽象和概括出事物的本質屬性。

【案例】二年級上冊“角的初步認識”的教學

師：在日常生活中，經常會看到角。（出示剪刀、吸管、水管實物圖）請同學們仔細觀察，剪刀、吸管、水管上有角嗎？你能指一指嗎?

師：下面老師把同學們從這些圖形中看到的角找出來。（課件呈現實物上出現的角，之后留下角的圖形，而讓實物消失）

師：大家觀察一下，這些角有什么共同點？

本案例中，師生從三種典型實物中抽象出三個角的圖形，又從代表銳角、鈍角、直角三個角的圖形中抽象概括出角的特征：角有一個頂點、兩條邊。

在小學教材中，提供的學習材料往往比較典型。這種典型的材料雖然有利于學生進行抽象概括，但也容易讓學生誤把這些典型材料的非本質屬性抽象成本質屬性。所以教師在向學生提供各類學習材料時，還應有針對性地設計變式材料，以防止學生抽象概括時走進誤區。如上例“角的初步認識”中，教師還可呈現角的開口朝上、朝下、朝左等多種情況。再如，有的學生對“相互垂直”的概念往往習慣于理解為水平和豎直。究其原因，就在于在知識的形成過程中，教師僅提供了互相垂直的標準式，即：，沒有為學生提供變式，如：使學生未能在“兩條直線相互交成直角”這一本質意義上對“相互垂直”進行抽象概括。

需要提醒的是，教師提供的變式性材料，要有利于充分展現事物的非本質屬性而保留事物的本質屬性，要能讓學生在事物的各種表現形式和事物所在的不同情境中認清事物的本質屬性。當然，為突出學生對事物本質屬性的認識，教師可用反例來加深學生的印象，如在教學分數的初步認識時，可運用“隨意分”的反例加深學生對“平均分”的理解。

二、強化觀察比較環節的引導，提升抽象概括能力培訓的有效性

教師提供的學習材料或引導學生搜集的學習資源畢竟是“不會說話”的客體，教師必須引導主體（即學生）進行有意識的觀察和比較，才能找出材料中的相同點、不同點，從而把一般特征、本質屬性與個別特征、非本質屬性區別開來，把一般特征、本質屬性剝離出來進行抽象，再加以聯系分析，推廣到相同、相似事物中進行概括，最終形成概念與規律，形成數學結論。因此，對感知材料的認真觀察、細致比較是進行抽象與概括的前提和基礎。據此，教師在組織學習材料時，就要有意識地讓這些材料形成一個有序的結構，在方便學生進行觀察和比較的同時，也能更有效地培養學生的抽象概括能力。

【案例】五年級上冊分數基本性質的教學

（一）創設情境，引發猜想

教師講故事：山上有一群猴子，他們都愛吃猴王做的餅。一天，猴王做了三張同樣大的餅。猴王把第一張餅平均切成了兩塊，給了猴甲一塊。猴乙看見了，眼饞地說：“猴王，猴王，我要兩塊。”猴王笑瞇瞇地說：“別急，別急，給你兩塊。”只見猴王把第二張餅平均分成了四塊，給了猴乙兩塊。猴丙更貪心：“我要六塊，我要六塊。”猴王想了想，把第三張餅拿出來，平均切成了十二塊，果真給了猴丙六塊。

師：同學們，你們聽完故事后，覺得哪只猴子分得的餅最多？

（二）動手操作，初步感知

學生把準備好的三張同樣大小的圓片代替猴王做的餅，分別按照折、畫、涂的步驟，表示出每只猴子所得的餅，并用分數表示涂色部分。如下圖：

師：大家觀察和比較一下，哪只猴子分得的餅最多？（同樣多）可以看出這三個分數大小相等。

（三）比較歸納，揭示規律

（1）請同學們觀察上面等式：從左往右看，分子是怎么變的？分母是怎樣變的？你發現了什么？你們再從右往左看，又有什么規律？

（2）師：分數的分子、分母如果同時乘0或同時除以0，會是什么結果？

（3）師：你們能不能用一句話來概括這兩個發現？

師生共同完善規律，教師總結，揭示這一規律就叫分數的基本性質。

上面的案例中，教師就是通過講故事、畫圖形和提問題等多種方式引導學生觀察數學現象的。因為只有在觀察的基礎上進行思考和分析，才能得出正確的答案，抽象概括出合乎邏輯的數學規律。

三、強化學生表述能力的訓練，提升學生抽象概括語言的準確性

在課堂學習時，學生在對事物的本質屬性進行抽取、推廣以形成對某一事物普遍認識，或是用語言描述抽象概括出數學結論的過程中，容易出現一些偏差。確切地說，就是經概括形成的概念，由于學生認識水平的局限或語言描述能力的限制，未能準確覆蓋住它所指向事物的所有個例而出現以偏概全的錯誤。這時，教師就要仔細傾聽學生的表述，發現問題時，要及時采取措施進行引導，幫助學生學會科學、準確地進行概括。

在“圓的認識”一課中，為探索圓的直徑與半徑的關系，學生根據它們的定義，通過對圓片進行折一折、量一量或想一想的方式進行邏輯推理，抽象概括出直徑與半徑的關系并表述為：直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的二分之一。這時，教師拿出大小相差甚遠的兩個圓片，指著其中的小圓，笑著質疑：它的直徑是這個大圓半徑的2倍嗎？明顯的差別讓學生立馬意識到剛才的表述有問題，最終更正為：在同圓或等圓中，直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的二分之一。

再如，在上例教學“分數的基本性質”時，學生曾得出這樣的初步結論：分數的分子、分母同時乘或除以一個相同的數，分數的大小不變。當時老師以提示性的問題引導學生思考：“如果分數的分子分母同時乘或除以0，會是什么結果？”讓學生及時認識到結論的漏洞所在——乘或者除以一個相同的數時，不能乘或者除以0。這樣的提示，也能讓學生知道如何改正錯誤，如何用縝密的語言進行概括，得出科學的規律。

語言是思維的物質外殼。學生通過對多個具體對象的觀察比較最終抽象概括出結論時，需要用語言進行表述。數學語言表述得是否準確，是否嚴密，將會影響到結論的準確性和概括的科學性。因此，教師要重視對學生表述能力的訓練，要把學生語言能力的培養也作為數學教學的重要內容之一，認真對待。

四、強化能力層級發展的規律性，逐步提升學生抽象概括能力

小學生六年的學習是一個由易到難、循序漸進的過程。在數學教學中，教師引導學生進行抽象、概括時，一定要根據學生的年齡特點和當前思維水平，逐步提高目標要求，由淺入深，由低級到高級，有序提升，讓學生抽象概括能力的培養過程體現出階段性和層次性的規律。

我國現代心理學奠基人之一朱智賢認為，少年兒童的數學概括能力可依次分為直觀概括、具體形象概括、形象抽象概括、初步的本質抽象概括、代數命題概括五個層級的水平，而小學生概括能力主要處于前面四個層級。

低年級學生對事物的認識具有直觀性、形象性的特點。在教學中，教師應根據他們思維發展的年齡特性，先引導他們對事物進行一、二層級水平的初步抽象概括訓練，即讓他們根據事物的表征進行分析和比較，舍棄那些不同的個別屬性，而把那些彼此相同的一般屬性綜合起來，形成某個具體概念。例如一年級小朋友認識自然數“1”時，教師可讓學生觀察主題圖：1所學校、1面國旗、1位老師等；之后，可提供更多的圖片，如1朵花、1只小鴨、1瓶礦泉水等；在學生觀察完這些圖片后，教師再提問：它們的數量都是幾？你還能舉出數量是“1”的具體事物嗎？通過這樣的逐步引導，學生就能從具體事物里抽象出自然數“1”了。

到了中年級、高年級，隨著學生生活經驗的增長、知識水平的提高和思維能力的提升，教師就需要及時地引導學生對事物進行較高層級的抽象概括，即可進行三、四級水平的抽象概括訓練。教師可引導學生盡力去提取事物的本質屬性，形成各種抽象概念或規律。例如：四年級數學上冊教學“速度路程時間之間的關系”時，教師出示：（1）小車的速度是80千米/時，2小時可行多少千米？（2）李老師騎自行車速度是225米/分，10分鐘可以行多少米？在學生完成這兩道題的練習后，教師可讓學生觀察這兩道題有什么共同特點。學生經過觀察、比較、分析與綜合后，抽象概括出其中的數量關系式：速度×時間＝路程。經過這樣的抽象概括的不斷訓練，學生對行程問題中數量之間關系的認識就更為深入和清晰了。

學生數學抽象概括能力的培養是一個循序漸進的過程，需要教師在小學階段進行有序而系統的訓練。作為教師，一定要在數學課堂教學中備足學習資源，引導學生仔細觀察數學現象，在認真比較、全面分析、科學總結數學概念和數學規律的過程中發展學生思維，提升學生能力。