中考數學壓軸題的特點及復習策略

浙江省臨海市永豐鎮中學 翁靈春

中考數學壓軸題歷來是篩選數學優等生的重要手段，學生能不能解壓軸題，是數學能否取得高分和取勝中考的關鍵因素，因此不能忽視數學壓軸題的重要性。就目前中考數學復習的情況來看，很多教師已經充分地認識到了數學壓軸題的重要性，在復習的過程中有意識地加大訓練力度，但是其訓練效果并沒有得到明顯的提高。要想在復習中提高學生中考數學壓軸題的解題能力，就應讓師生雙方都意識到中考數學壓軸題的特點，從而進行有目的性的學習。

一、中考數學壓軸題的特點

初中階段是學生邏輯思維發展的最關鍵時期，數學知識的點點滴滴都是對學生數學學習能力的培養、對數學思想的滲透，總體來說都是對學生綜合能力的培養和鍛煉。中考數學壓軸題不是對學生具體知識點的掌握情況的考查，也不是對學生的具體解題思想方法的運用情況的掌握程度進行考查，而是要綜合考查學生的能力和素養。所以中考數學壓軸題所涉及的知識點的范圍十分廣泛，對相應的數學思維方法的考查也比較全面。總的來說，中考數學壓軸題的特點主要有以下幾點：考查學生對基礎知識和基本技能的掌握情況；考查學生靈活運用數學知識解決生活實際問題的能力；考查學生巧妙運用數學思想和數學方法的綜合能力；考查學生進行數學研究的能力。

二、中考數學壓軸題的復習策略

1.在掌握基礎知識的基礎上轉變思維方式

數學知識之間有著千絲萬縷的聯系，相輔相成，復雜的數學知識必須以基礎數學知識為基礎，對于學生而言，只有全面深入地了解和掌握數學基礎知識，才能有效理解問題、解決問題，增強解題能力。由此可見，基礎的定義、概念和公式的融會貫通，才是解題能力提高的關鍵。

一般來說，學生對于壓軸題的態度都是比較輕視的，他們認為壓軸題一定是偏難的題目，因而直接放棄做壓軸題。但實際上，壓軸題是由很多基礎概念組成的，只有在全面理解基礎概念的基礎上，才能將所學知識正確運用到壓軸題的解決當中，走出解題的誤區和僵局。

其次，在學生熟練掌握基礎知識的基礎上，還要學會轉變思維方式，從而巧妙解決數學問題。變換是幾何與代數問題都會用到的解題方法，在圖形的旋轉、平移、對稱等問題以及代數的恒等變換中都會用到轉換思想。

如：a，b，c，d均為正整數，求證：存在一個三角形，其三邊之長為

2.問題的有效分解

中考數學壓軸題涉及數學學習中的很多細小知識點，具有很強的綜合性，面對這樣的問題，就必須學會把大問題進行分解，分解變成多個小問題，再利用學生對各個知識點的掌握情況逐一進行解決，從而實現對壓軸題目的解決。因此，在中考復習的過程中，教師要有意識地培養和鍛煉學生分解壓軸題的能力，在實際的訓練中增強訓練力度。

以2011年江蘇省泰州市的中考數學壓軸題為例，具體題面如下：如圖，在平面直角坐標系xOy中，邊長為a（a為大于0的常數）的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點P，頂點A在x軸正半軸上運動，頂點B在y軸的正半軸上運動（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點O），頂點C、D總在第一象限。

（1）當∠BAO=45°時，求點P的坐標；

（2）求證：無論點A在x軸正半軸上、點B在y軸正半軸上怎樣運動，點P都在∠AOB的平分線上；

（3）設點P到x軸的距離為h，試確定h的取值范圍并說明理由。

分析：對題目進行解析不難發現，這道題要考查的知識點主要包括正方形的性質、全等三角形的判定和性質、角平分線性質、三角函數等，因而我們只要把題目分解成幾個小知識點就不難應付了。（1）當∠BAO=45°時，利用正方形對角線性質，能證明四邊形OAPB是正方形，從而求出P點的坐標。（2）要證明P點在角平分線上，想到角平分線的性質逆定理，因而過P點添作x軸和y軸的垂線，利用三角形全等證明線段相等，從而得以證明。（3）點P到x軸的距離與PE的長度是相等的，而PA與PE之間的夾角必然在0°到45°的范圍之內，設這一夾角為α，這一距離將能通過PA·cosα來計算，其長度范圍自然也確定了。

3.數形結合，破解壓軸題

數形結合在解決幾何問題與函數問題中是常用的方法，會使問題形象直觀化，有時在壓軸題的解決過程中，把題目中的數字與圖形結合起來是一種相當有效的方法。將抽象的語言文字轉化為形象的數學圖形，從而降低題目的難度。有些時候，幾何問題與代數問題不能運用對應的方法進行解決，而要進行有效的轉化，運用不同的角度和思維，用幾何方法解決代數問題或用代數方法解決幾何問題，就能有效降低題目難度，將復雜的問題變得簡單化，提高解題的效率。

例如，已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象如右圖所示，若關于x 的方程ax2+bx+c-k=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍為（）

A.k＞3 B.k＜3 C.k=3 D.無法確定

解析：這種類型的題目一旦給出，一般情況下，都是對數形結合思想進行考查。就本題而言，如果直接根據b2-4ac的符號來進行解答情況的判定，那么這個題目就無法求解。因此必須應用數形結合的思想將原方程變形，變形后的方程為ax2+bx+c=k，將這兩個方程看作兩個函數圖象的交點問題，可以列出這樣的式子：①y=ax2+bx+c，②y=k。然后結合圖象，可知只有當y=k＜3時，函數一定與拋物線有兩個不同的交點，由此就可以確定答案為B。

總之，中考數學壓軸題是對初中學生閱讀能力、分析問題能力、轉譯和改造能力的考查，把復雜問題變為簡單化、綜合變為基本，善于轉化與聯想的能力以及對信息的連貫合理處理、加工信息能力的考查。因此，只有在全面掌握中考數學壓軸題特點的基礎上，才能運用科學合理的方法進行問題的解決。

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