“由淺入深”
——例談難題的弱化及解答

內(nèi)蒙古赤峰市赤峰二中高三（5）班 蒙香含

難解的題目大體上可分為兩類，一是因繁而難，表現(xiàn)為題干冗長、線索繁復(fù)；二是因難而難，表現(xiàn)為題干過簡、無從下手。前者只需耐心剖析，從中獲取、簡化有用信息大多可解。后者的“無從下手”或是因為題干線索之間的關(guān)聯(lián)難以找尋，或是因為題干中需要證明或求解的結(jié)論所涉及的范圍過于宏大。對于此類問題，解答的不二選擇是將其弱化為方便觀察解決的子問題，再通過子問題得到適用于原規(guī)律的解決方法。

以下是某網(wǎng)友高額懸賞的一個題目：

如圖所示，在銳角三角形ABC中，有一點P使得PA+BC=PB+AC=PC+AB，求證：(a+b+c)+2c。

乍看這道題目覺得應(yīng)該能力所及，但真正上手就覺其形態(tài)復(fù)雜又無從下手，與教師爭論后覺得應(yīng)該將其弱化處理，將“任意銳角”條件弱化為“等腰銳角”條件，這一改變使尋找點的位置變得容易操作，于是順利得到如下的解答。

如右圖，易知點P位于底邊的垂線上，不妨延長AP交BC于點D，且設(shè)PD=x，則又因為PA+BC=PB+AC，故有

易解（所謂易解，其實不太容易，應(yīng)將未知數(shù)分居兩側(cè)，這樣平方后可消除，即如下配湊：

點P固定后，即條件1運用完畢，可從結(jié)論入手進(jìn)行化簡工作，為了更好更方便地完成以下更為復(fù)雜的簡化過程，需要做如下準(zhǔn)備條件：

很顯然PD=x為△PBC的高，運用三角形面積公式處理左式，有：

運用半角公式及上文四個準(zhǔn)備條件，對等式右邊整理，易得：

顯然“左邊=右邊”，弱化后的命題得證。下面將運用上述原理對其一般情況進(jìn)行分析和證明。上文得證的原因是點被固定并成功與結(jié)論建立聯(lián)系，故原命題如能得證首先要確定點的位置，將運用解析法進(jìn)行分析和討論如下：

理論上解方程即可求得未知量確定點P的位置，并沿上文思路繼續(xù)下去。但由于計算量過大，結(jié)果過長，不具一般結(jié)論的特性，故只在此舉例做算理上的分析。

由上述理論可知B(0,0),C(7,0),A(3,4)，應(yīng)用條件，即代入上述方程可得：

由于無法進(jìn)行精確計算，故其結(jié)果的正確性使用計算機(jī)驗證有：

經(jīng)驗證符合上述比例關(guān)系，故該題目已得以證明。

綜上所述，再難的題目經(jīng)過弱化后的子問題都是易于解答的，將子問題的解答方法進(jìn)行調(diào)整處理，便可使我們找到解決母問題的方法，在解題過程中我們可以應(yīng)用數(shù)理軟件幫助計算。與我而言，找到解決一道難題的正確思路，相比于計算出最終結(jié)果而言更為重要。由淺入深，循序漸進(jìn)，柳暗花明又一村。

（由于計算量較大，所以此處計算使用了計算機(jī)，且結(jié)果精確到萬分之一）