正交矩陣的性質初探

陜西省西安文理學院 樊 榮

一、正交矩陣的定義

定義1 一個n階實矩陣A叫作正交矩陣， 如果AA'-A'A=E。

注：（1）一個n階實矩陣A叫作正交矩陣， 如果A'=A-1。

（2）若n階實矩陣A的n個行（列）向量是兩兩正交的單位向量，則為正交矩陣。

定義2 在n階對角陣A中，若a11=a22=…ann=λ，λ∈R，則稱此時的A為數量陣。記A=λE，其中E為n階單位陣。

定義3 若n階方陣A滿足AT=A，其中AT為A的轉置陣，則稱A為對稱陣。

定義5 若同階A，B 方陣滿足AB=BA=E，其中E為同階單位陣，則稱A與B互為逆方陣，記逆矩陣A-1=B或者B-1=A。

二、正交矩陣的性質

性質1 設A，B均為正交矩陣，則：（1）|A|=±1。（2）A'，A-1，A＊，AB 都是正交矩陣。

性質2 設A為正交矩陣，則其特征值的模等于1，且屬于A的不同特征值的特征向量互相正交。

性質3 設A為正交矩陣，

（1）若|A|=-1，則A一定有特征值-1。

（2）若|A|=1， 且n為奇數，則A一定有特征值1。

性質4 設A是n階正交矩陣，α是歐式空間Rn中的列向量，

性質6 （1）設A為對稱正交矩陣，則A必為對合矩陣，從而A的特征值只能等于±1。

（2）設A為上（下）三角的正交矩陣，則A必為對角矩陣，且主對角線上的元素為±1。

性質7 設A為非對稱的正交矩陣， 則A的特征值不可能全為實數。

性質8 設A為正交矩陣，

（1）若|A|=1，則A的任意子式與其代數余子式相等。

（2）若|A|=-1，則A的任意子式與其代數余子式僅差一個符號。

三、例題說明

由性質2知α2+β2=1， 所以得

故x，y的模長相等且互相正交。

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